فيديو الدرس: الاحتمال الشرطي: الجداول المزدوجة الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نتعامل مع مبدأ الاحتمال الشرطي باستخدام التكرارات المرتبطة الممثلة في الجداول المزدوجة.

٢١:٥٨

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نتعامل مع مبدأ الاحتمال الشرطي باستخدام التكرارات المرتبطة الممثلة في الجداول المزدوجة.

ماذا يعني الاحتمال الشرطي؟ يعرف الاحتمال الشرطي بأنه احتمال وقوع حدث أو ناتج بناء على وقوع حدث أو نتيجة سابقة. على سبيل المثال، لدينا الحدث ﺃ يمثل سقوط الأمطار في الخارج، والحدث ﺏ يمثل تأخر قطارك. في الاحتمال الشرطي، نفكر في هذين الحدثين معًا ونطرح أسئلة مثل: ما احتمال تأخر وصول قطارك بشرط سقوط الأمطار في الخارج؟ نعبر عن ذلك بهذه الصورة، وهذا الخط الرأسي يعني «بشرط».

إحدى الطرق التي يمكننا بها تذكر نواتج مثل هذه الأحداث هي كتابتها في جدول مزدوج. وهو جدول يوضح تكرار متغيرين. وعلينا أن نتمكن من إكمال الجداول المزدوجة وحساب الاحتمالات باستخدامها. دعونا نر كيف نفعل ذلك.

موقع صممه معجبون يختص بالبرنامج التلفزيوني «أميز إن سبيس» يجمع بيانات عن عدد أنواع المخلوقات الفضائية الجديدة التي قابلتها سفينتان فضائيتان في كل موسم عرض. بيانات المواسم واحد واثنين وسبعة معروضة في الجدول الآتي مقسمة بين السفينتين الفضائيتين: زيتا وجودا. أوجد احتمال مقابلة سفينة الفضاء جودا نوعًا فضائيًّا جديدًا مختارًا عشوائيًّا. أجب لأقرب ثلاث منازل عشرية.

نريد إيجاد احتمال مقابلة سفينة الفضاء جودا لنوع فضائي جديد مختار عشوائيًّا. لم يحدد السؤال أيًّا من المواسم؛ لذا سنتعامل مع المجموع. نبدأ بتذكر أن احتمال وقوع حدث يمكن حسابه بقسمة عدد الطرق التي يمكن أن يقع بها هذا الحدث على العدد الكلي للنواتج الممكنة. إذن، في هذه الحالة، سنوجد إجمالي عدد الأنواع الفضائية التي قابلتها سفينة الفضاء جودا. ثم نقسمه على العدد الكلي للأنواع الفضائية التي قابلتها السفينتان معًا.

بالنظر إلى قيم المجموع، نجد أن سفينة الفضاء جودا قابلت إجمالًا ٧٢ نوعًا فضائيًّا. والمجموع ٨٣. وعليه، فإن احتمال مقابلة سفينة الفضاء جودا لنوع فضائي جديد مختار عشوائيًّا يكون بقسمة ٧٢ على ٨٣، وهو ما يساوي ٠٫٨٦٧٤، وهكذا مع توالي الأرقام. وبالتقريب لأقرب ثلاث منازل عشرية، نحصل على ٠٫٨٦٧.

إذن، تلك هي الطريقة التي نحسب بها احتمال حدث بسيط باستخدام جدول مزدوج. دعونا الآن نلق نظرة على كيفية حساب الاحتمالات الشرطية من هذه الجداول.

بشرط ظهور نوع فضائي جديد في الموسم السابع، أوجد احتمال مواجهته للمركبة الفضائية جودا. إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

تشير كلمة «بشرط» إلى أننا سنحسب احتمالًا شرطيًّا. إذا افترضنا أن ﺃ هو حدث مواجهة المركبة الفضائية جودا للأنواع الفضائية، وﺏ هو حدث وقوع هذا في الموسم السابع. سنستخدم هذا الخط الرأسي للتعبير عن كلمة «بشرط.» وسنوجد احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ. وتحدد كلمة «بشرط» معايير هذا الاحتمال. فالسؤال يدور حول النوع الفضائي الذي ظهر في الموسم السابع. لذا، فإن ما يعنينا فقط هو هذه النقاط الثلاث من البيانات. ومن هذه القائمة، نلاحظ أن عدد الأنواع الفضائية التي واجهتها المركبة الفضائية جودا ثمانية.

يمكننا إيجاد الاحتمال بقسمة عدد الطرق التي يمكن أن يقع بها الحدث على العدد الكلي للنواتج. والعدد الكلي هنا هو ١٣. إذن، احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ يساوي ثمانية مقسومًا على ١٣، وهو ما يساوي ٠٫٦١٥٣٨، وهكذا مع توالي الأرقام. وبالتقريب لأقرب ثلاث منازل عشرية، نجد أن احتمال مواجهة المركبة الفضائية جودا لنوع فضائي جديد بشرط حدوث ذلك في الموسم السابع يساوي ٠٫٦١٥.

دعونا نلق نظرة على مثال آخر لإيجاد الاحتمالات من الجداول المزدوجة.

يحتوي الجدول الآتي على بيانات من استبيان لمحترفي ألعاب سئلوا إذا ما كانت منصة الألعاب المفضلة لديهم هي الهاتف الذكي أو وحدة التحكم أو الحاسوب. قسم محترفو الألعاب حسب الجنس. أوجد احتمال اختيار محترف ألعاب عشوائيًّا يفضل وحدة التحكم. قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية. بشرط أن أحد محترفي الألعاب يفضل اللعب باستخدام وحدة التحكم، فأوجد احتمال أن يكون ذكرًا. قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

نتذكر أولًا أنه إذا كنا نريد إيجاد احتمال وقوع حدث ما، فإننا نقسم عدد الطرق التي يمكن أن يقع بها هذا الحدث على العدد الكلي للنواتج. يطلب منا الجزء الأول من هذا السؤال إيجاد احتمال اختيار محترف ألعاب عشوائيًّا يفضل استخدام وحدة التحكم. ولم يحدد ما إذا كان هذا المحترف من الذكور أو الإناث. لذا، سنحسب المجاميع.

نبدأ بحساب العدد الكلي لمحترفي الألعاب الذين يفضلون استخدام الهاتف الذكي. وهو ٥٢ زائد ٤٨؛ أي ١٠٠. وبالمثل، لحساب العدد الكلي لمحترفي الألعاب الذين يفضلون استخدام وحدة التحكم، نجمع ٣٧ و٢٣ وهو ما يعطينا ٦٠. وأخيرًا، العدد الكلي لمحترفي الألعاب الذين يفضلون استخدام الحاسوب وهو ٤٨ زائد ٣٥، وهذا يساوي ٨٣. يمكن إيجاد العدد الكلي لمحترفي الألعاب محل الاستبيان بجمع كل القيم الموجودة في هذا العمود. ذلك يعني ١٠٠ زائد ٦٠ زائد ٨٣، وهو ما يساوي ٢٤٣.

والآن، تذكر أننا نريد إيجاد احتمال اختيار محترف ألعاب عشوائيًّا يفضل استخدام وحدة التحكم. وهو ما يوضحه الصف الثاني. أما العدد الكلي للنواتج أو العدد الكلي لمحترفي الألعاب محل الاستبيان الذي حسبناه هنا يساوي ٢٤٣. إذن، احتمال اختيار محترف ألعاب عشوائيًّا يفضل استخدام وحدة التحكم هو ٦٠ مقسومًا على ٢٤٣، وهو ما يساوي ٠٫٢٤٦٩، وهكذا مع توالي الأرقام. وبالتقريب سيساوي ذلك ٠٫٢٤٧.

أما المطلوب في الجزء الثاني من هذا السؤال فهو إيجاد احتمال أن يكون محترف الألعاب ذكرًا بشرط أن يفضل استخدام وحدة التحكم. عبارة «بشرط» هنا تشير إلى أننا سنستخدم الاحتمال الشرطي. نفترض أن الحدث ﺃ هو اختيار محترف ألعاب ذكر والحدث ﺏ هو حدث تفضيل استخدام وحدة التحكم، وسنستخدم رمز الشرطة الرأسية ليوضح أننا نحاول إيجاد احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ. وهذا يعني تضييق نطاق البيانات بشكل ما.

يخبرنا السؤال أن محترف الألعاب يفضل اللعب باستخدام وحدة التحكم. ومن ثم، يمكننا تضييق نطاق البيانات على هؤلاء الأشخاص الذين يفضلون اللعب باستخدام وحدة التحكم. ونريد إيجاد احتمال أن يكونوا ذكورًا. إذن، سنقسم عدد محترفي الألعاب الذكور الذين قالوا إنهم يفضلون استخدام وحدة التحكم على العدد الكلي لمحترفي الألعاب الذين يفضلون استخدام وحدة التحكم. أي ٣٧ مقسومًا على ٦٠. وذلك يساوي ٠٫٦١٦٦٦، وهكذا مع توالي الأرقام، وبالتقريب لأقرب ثلاث منازل عشرية فإن ذلك يساوي ٠٫٦١٧. إذن، احتمال أن يكون محترف الألعاب ذكرًا بشرط أن يفضل اللعب باستخدام وحدة التحكم، هو ٠٫٦١٧.

في المثال التالي، سنتعلم كيفية استخدام صيغة الاحتمال الشرطي.

يتنافس سامح ودينا على رئاسة اتحاد الطلاب في مدرستهما. يوضح الجدول الآتي الأصوات التي حصل عليها كل منهما من ثلاثة صفوف. ما احتمال أن يكون طالب قد انتخب دينا، بشرط أن يكون من طلاب الصف ﺏ؟

تذكر أن عبارة «بشرط» تشير إلى أننا نتعامل مع احتمال شرطي. نفترض أن الحدث ﺃ هو انتخاب طالب لدينا. والحدث ﺏ هو أن يكون الطالب في الصف ﺏ. وهذا الخط الرأسي يعني «بشرط». سنوجد احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ بالفعل. وإحدى طرق إجراء ذلك هي بتضييق نطاق بيانات الجدول استنادًا إلى المعطيات التي لدينا.

يخبرنا السؤال أن ذلك الطالب في الصف ﺏ؛ لذا سنضيق نطاق البيانات في جميع طلاب الصف ﺏ. وفي هذه الحالة، لن يعنينا إلا عدد الطلاب الذين انتخبوا دينا. وهو ١٩٥. تذكر أنه لإيجاد احتمال وقوع حدث ما، نقسم عدد الطرق التي يمكن أن يقع بها هذا الحدث على العدد الكلي للنواتج. في هذا المثال، العدد الكلي للنواتج الممكنة هو إجمالي عدد طلاب الصف ﺏ. أي ١٦٩ زائد ١٩٥، وهو ما يساوي ٣٦٤. ومن ثم، فإن احتمال انتخاب طالب دينا بشرط أن يكون في الصف ﺏ هو ١٩٥ على ٣٦٤، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ١٥ على ٢٨.

حسنًا، هذه طريقة صحيحة تمامًا لحل هذا السؤال. لكن توجد صيغة يمكننا استخدامها. لإيجاد احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ، نقسم احتمال وقوع ﺃ تقاطع ﺏ؛ أي بعبارة أخرى وقوع ﺃ وﺏ، على احتمال وقوع ﺏ. في هذه الحالة إذن، ما ناتج ﺃ تقاطع ﺏ؟ حسنًا، ﺃ هو عدد الطلاب الذين انتخبوا دينا، وﺏ هو عدد الطلاب في الصف ﺏ. نريد إيجاد التقاطع؛ أي الطلاب الذين انتخبوا دينا ويدرسون أيضًا في الصف ﺏ. إنهم ١٩٥ طالبًا.

احتمال اختيار أحد هؤلاء الطلاب عشوائيًّا يحسب بقسمة ١٩٥ على إجمالي عدد الطلاب. أي ٥٠٧ زائد ٤٩٤. وهو ما يساوي إجمالي ١٠٠١ من الطلاب. إذن، احتمال وقوع ﺃ تقاطع ﺏ؛ أي بعبارة أخرى احتمال أن ينتخب أحد الطلاب دينا ويكون في الصف ﺏ، يساوي ١٩٥ من ١٠٠١. حسنًا، لكن ماذا عن احتمال ﺏ، بعبارة أخرى، احتمال أن يكون الطالب في الصف ﺏ؟ حسنًا، علمنا بالفعل أنه يوجد ٣٦٤ طالبًا في الصف ﺏ. لذا، احتمال وقوع ﺏ يساوي ٣٦٤ مقسومًا على ١٠٠١. وهكذا، إذا عوضنا بهذه القيم في الصيغة، فسنحصل على ١٩٥ على ١٠٠١ مقسومًا على ٣٦٤ على ١٠٠١. لاحظ أن هذا يعطينا الإجابة نفسها التي ذكرناها سابقًا، وهي ١٩٥ على ٣٦٤، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ١٥ على ٢٨.

في المثال الأخير، سنتعرف على كيفية استخدام المعلومات من الجداول المزدوجة لمساعدتنا على تحديد ما إذا كان حدثان مستقلين أم لا.

جمعت بيانات من البرنامج التلفزيوني «أميز إن سبيس» عن عدد الاتصالات الأولى التي أجريت مع الأنواع الفضائية الجديدة. ويوضح الجدول أدناه بيانات سفينة الفضاء زيتا في الموسم الأول والثاني والسابع. وهذه البيانات مصنفة أيضًا بحسب ما إذا كان عضو الطاقم الذي أجرى أول اتصال ذكرًا أو أنثى. باستخدام الجدول، أوجد احتمال أن يكون عضو الطاقم الذي أجرى أول اتصال مع الأنواع الفضائية الجديدة أنثى. قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

نريد إيجاد احتمال أن يكون عضو الطاقم الذي أجرى أول اتصال أنثى. دعونا نطلق على ذلك ﻝﺃ؛ حيث ﺃ هو حدث أن يكون عضو الطاقم الذي أجرى أول اتصال أنثى. ونعلم أنه لإيجاد احتمال وقوع حدث ما، نقسم عدد الطرق التي يمكن أن يقع بها هذا الحدث على العدد الكلي للنواتج. ويوضح الصف الثاني من الجدول المعلومات عن أعضاء الطاقم الإناث. ونعرف أن عضوات الطاقم الإناث أجرين إجمالًا ٣٧ اتصالًا أوليًّا.

العدد الكلي للنواتج هو إجمالي أعداد الاتصالات الأولية مع نوع فضائي جديد؛ ويساوي ٧٢. وعليه، فإن احتمال أن يكون عضو الطاقم الذي أجرى أول اتصال، مع نوع فضائي جديد، أنثى يساوي ٣٧ مقسومًا على ٧٢. ذلك يعني ٠٫٥١٣٨، وهكذا مع توالي الأرقام، وبالتقريب لأقرب ثلاث منازل عشرية يساوي ٠٫٥١٤.

ننتقل الآن إلى الجزء الثاني من هذا السؤال.

أوجد احتمال أن يكون عضو الطاقم الذي أجرى أول اتصال في الموسم الأول أنثى. قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

هذه المرة، لا يعنينا فقط أن يكون عضو الطاقم الذي أجرى أول اتصال أنثى، بل يجب أن يحدث ذلك في الموسم الأول. نفترض أن ﺃ هو حدث أن يكون عضو الطاقم أنثى، وﻡ واحد هو حدث إجراء أول اتصال في الموسم الأول، ونريد إيجاد احتمال وقوع ﻡ واحد تقاطع ﺃ. تذكر أن هذا يعني وقوع ﻡ واحد وﺃ. لنبدأ إذن بإيجاد عدد الاتصالات الأولى التي أجرتها أنثى في الموسم الأول. حسنًا، هذا يساوي ١٦. ما زال إجمالي عدد الاتصالات الأولية هو ٧٢. ومن ثم، فإن احتمال أن يكون عضو الطاقم الذي أجرى أول اتصال في الموسم الأول أنثى يساوي ١٦ مقسومًا على ٧٢. ذلك يعني ٠٫٢ دوريًّا؛ أي ما يساوي ٠٫٢٢٢ بالتقريب لأقرب ثلاث منازل عشرية.

دعونا الآن نلق نظرة على الجزء الثالث من هذا السؤال.

بشرط الاختيار العشوائي للاتصال الأول الذي أجري مع أحد الأنواع الفضائية، في الموسم الأول، أوجد احتمال أن يكون عضو الطاقم الذي أجرى ذلك الاتصال الأول أنثى. قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

يوضح لنا استخدام كلمة «بشرط» أننا نتعامل مع احتمال شرطي. ولذلك يمكننا تضييق نطاق مجموعة البيانات التي لدينا. علمنا من المعطيات أن الاتصال الأول الذي أجري مع أحد الأنواع الفضائية مختار عشوائيًّا من الموسم الأول. وبهذا، سنضيق نطاق البيانات في نتائج الموسم الأول فقط. نستخدم هذا الخط الرأسي لتمثيل كلمة «بشرط.» ونلاحظ أننا نريد إيجاد احتمال أن يكون عضو الطاقم الذي أجرى أول اتصال أنثى بشرط وقوع ذلك في الموسم الأول.

حسنًا، في الموسم الأول، أجرت ١٦ أنثى من أعضاء الطاقم اتصالًا أول. وذلك من إجمالي ٢٨ عضوًا. ومن ثم، فإن احتمال وقوع ذلك يساوي ١٦ مقسومًا على ٢٨؛ أي ٠٫٥٧١٤، وهكذا مع توالي الأرقام. وبالتقريب إلى ثلاث منازل عشرية، يساوي ذلك ٠٫٥٧١.

سنتناول الآن الجزء الرابع والأخير من هذا السؤال.

هل حدثا ﻡ واحد، وهما وقوع أول اتصال في الموسم الأول وأن تكون من أجرته أنثى، مستقلان؟

تذكر أن أي حدثين يكونان مستقلين إذا لم يؤثر وقوع أحدهما على احتمال وقوع الآخر. ومع أنه يمكننا التفكير في ذلك منطقيًّا إلا أنه يوجد بعض الصيغ التي يمكننا استخدامها. الصيغة الأولى للحدثين ﺃ وﺏ. وتنص على أنه إذا كان هذان الحدثان مستقلين، فإن احتمال وقوع ﺃ تقاطع ﺏ يساوي احتمال وقوع ﺃ في احتمال وقوع ﺏ. بعبارة أخرى، احتمال وقوع ﺃ وﺏ سيساوي حاصل ضرب احتمال وقوع كل منهما في الآخر.

والآن، بدلًا من ذلك، يمكننا القول إنه إذا كان الحدثان ﺃ وﺏ مستقلين، فإن احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ يجب أن يساوي احتمال وقوع الحدث ﺃ. وعليه، يمكننا القول إنه إذا كان الحدثان لدينا مستقلين، فإن احتمال أن يكون عضو الطاقم أنثى بشرط وقوع أول اتصال في الموسم واحد سيساوي احتمال أن يكون أنثى. دعونا نتحقق من صحة ذلك.

وجدنا أن احتمال أن يكون العضو أنثى بشرط إجراء أول اتصال في الموسم واحد يساوي ٠٫٥٧١. ووجدنا أن احتمال أن يكون العضو أنثى بوجه عام يساوي ٠٫٥١٤. حسنًا، إنهما غير متساويين. إذن، يمكننا القول إن هذين الحدثين غير مستقلين. بالمثل، كان بإمكاننا استخدام الصيغة البديلة. لقد حسبنا احتمال أن يكون عضو الفريق أنثى. وأن تجري أول اتصال في الموسم واحد، ويساوي ٠٫٢٢٢.

ثم حسبنا احتمال أن يكون أنثى ويساوي ٠٫٥١٤. ويمكننا الآن حساب احتمال وقوع أول اتصال في الموسم واحد. إنه ٢٨ مقسومًا على ٧٢؛ وذلك يساوي ٠٫٣٨٩. في الحقيقة، عندما نوجد حاصل ضرب ﻝﺃ وﻝﻡ واحد، نحصل على ٠٫١٩٩. وهذا لا يساوي ٠٫٢٢٢. إذن، هذه طريقة بديلة يمكننا من خلالها إثبات أن هذين الحدثين غير مستقلين.

في هذا الفيديو، تعلمنا أننا ننظم التكرارات لفئات تضم متغيرين تصنيفيين في جداول مزدوجة. ورأينا أنه يمكننا حساب الاحتمالات الشرطية بقراءة البيانات مباشرة من الجدول المزدوج. كما عرفنا أن استخدام عبارة «بشرط» يدل على أنه يمكننا تضييق نطاق النتائج التي لدينا. وأخيرًا، رأينا أنه للحدثين ﺃ وﺏ، يمكننا تحديد ما إذا كانا مستقلين أم لا إذا كان احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ يساوي احتمال وقوع ﺃ. وإذا لم يكن هذا صحيحًا، فمعنى هذا أن ﺃ وﺏ حدثان غير مستقلين.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.