نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سندرس متجهات السرعة: ما المقصود بها؟ وما المعلومات التي توضحها لنا؟ وكيف يمكننا جمعها على نحو صحيح؟
تخيل أنك قائد طائرة وبحكم عملك فإنك تذهب إلى جزر عدة في المحيط الهادئ. بعد العلم بحادث غرق سفينة عند إحدى الجزر، حلقت إلى هناك في مهمة لتوصيل الغذاء والمؤن الضرورية للناجين على أرض الجزيرة. عندما تتحرك بطائرتك باتجاه الشرق، تكون الجزيرة إلى الشمال الشرقي من اتجاهك الحالي. أثناء تحليقك بالطائرة، هبت رياح ثابتة من اتجاه الشمال وبدأت في التأثير على مسار الرحلة. تريد أن تعرف، بسبب هذه الرياح، ماذا يجب أن يكون متجه السرعة لتتجه مباشرة نحو الجزيرة وتتمكن من الوصول إلى هناك في أسرع وقت ممكن.
لمعرفة هذا الاتجاه، سنحتاج إلى فهم متجهات السرعة. عندما نتحدث عن متجهات السرعة، فإننا نتحدث عن شيء يوضح السرعة اللحظية لجسم بالإضافة إلى اتجاهه. تخيل أنه يوجد نظام إحداثيات ثلاثي الأبعاد؛ حيث تمثل هذه الأبعاد السرعة في الاتجاه 𝑥، والسرعة في الاتجاه 𝑦، والسرعة في الاتجاه 𝑧. إذا اخترنا نقطة معينة في هذا الفضاء، فإن مركباتها ستكون: 𝑣 𝑥، 𝑣 𝑦، 𝑣 𝑧. وإذا أردنا كتابة هذه النقطة في صورة متجه سرعة، فسنكتب أنها تساوي 𝑣 𝑥 في اتجاه متجه الوحدة 𝑖، و𝑣 𝑦 في اتجاه متجه الوحدة 𝑗، و𝑣 𝑧 في اتجاه متجه الوحدة 𝑘.
سبق وذكرنا أن متجه السرعة يوضح أمرين: سرعة الجسم واتجاهه. بالنسبة إلى الاتجاه، فإنه يتحدد من خلال متجهات الوحدة 𝑖، و𝑗، و𝑘 في هذه المعادلة. وتتحدد السرعة القياسية للجسم من خلال مقدار متجه السرعة — وهو ما يساوي طوله. لذا، إذا كان لدينا مركبات السرعة 𝑣، فيمكن أن نعوض بها، ونقوم بتربيعها وجمعها، ونحسب الجذر التربيعي لهذا المجموع لإيجاد السرعة القياسية. كانت هذه نبذة عن متجهات السرعة المنفردة. الآن، لندرس ما سيحدث إذا جمعناها معًا.
بوجه عام، يمكن جمع المتجهات معًا إذا كانت لها نفس وحدات القياس. على سبيل المثال، إذا اقترب شخص يمشي وشخص يجري من أحدهما الآخر بسرعات مختلفة، وافترضنا أن سرعة الشخص الماشي التي تساوي مترًا واحدًا لكل ثانية إلى اليمين هي 𝑣 واحد وأن سرعة الشخص الذي يجري التي تساوي مترين لكل ثانية إلى اليسار هي 𝑣 اثنان. فيمكننا إيجاد السرعة المتجهة الكلية بجمع 𝑣 واحد و𝑣 اثنين. بما أن هذين المتجهين لهما نفس وحدة القياس، وهي متر لكل ثانية، فيمكننا جمعهما وإيجاد المتجه الكلي للسرعة المحصلة بيانيًّا، إذا أردنا. لنتدرب على جمع متجهات السرعة معًا من خلال مثال.
يعبر سباح نهرًا عرضه 30.0 مترًا وذلك بالسباحة عموديًّا على تيار الماء بسرعة 0.500 متر لكل ثانية بالنسبة إلى الماء. وصل إلى الضفة المقابلة عند مسافة 75.0 مترًا، في اتجاه مجرى النهر، من نقطة البداية. ما سرعة سريان الماء في النهر بالنسبة إلى الأرض؟ ما سرعة السباح بالنسبة إلى صديق في وضع السكون على ضفة النهر؟
في هذا التمرين نريد إيجاد قيمتين: أولًا، سرعة الماء في النهر بالنسبة إلى الأرض. سنسمي ذلك 𝑣 𝑤. ثانيًا، نريد إيجاد سرعة السباح بالنسبة إلى صديق في وضع السكون على ضفة النهر. سنسمي هذه السرعة 𝑣 𝑠. أخبرنا أن عرض النهر يساوي 30.0 مترًا وأن السباح يسبح بسرعة 0.500 متر لكل ثانية بالنسبة إلى الماء وكذلك أنه وصل إلى الضفة المقابلة عند مسافة 75.0 مترًا، في اتجاه مجرى النهر، من نقطة البداية. لنرسم مخططًا لهذا الموقف حتى نبدأ في الحل.
لدينا نهر عرضه 30.0 مترًا. يمكننا أن نسمي هذا العرض 𝑤. بدأ السباح في السباحة من الضفة اليسرى بسرعة أطلقنا عليها 𝑣 بالنسبة إلى الماء؛ حيث 𝑣 تساوي 0.500 متر لكل ثانية. إذا لم يكن هناك تيار في النهر، فإن السباح كان سيصل إلى الضفة المقابلة مباشرة عند نقطة تواجه النقطة التي بدأ منها. لكن هناك تيارًا في النهر يتحرك بالسرعة التي سميناها 𝑣 𝑤. يؤثر ذلك على مسار السباح إذ يتبع مساره الفعلي خطًّا قطريًّا. ويصل إلى الشاطئ البعيد عند مسافة سميناها 𝑑 أسفل الخط الأفقي من حيث بدأ. تساوي هذه المسافة 75.0 مترًا. بمعلومية ذلك كله، نريد إيجاد سرعة تيار النهر.
إذا كبرنا صورة السباح، فيمكننا رؤية متجهي سرعة يؤثران على حركته: الأول أطلقنا عليه 𝑣، الذي يمثل حركة السباح الذاتية عبر النهر، أما الآخر فهو تيار النهر الذي يدفع السباح في اتجاه مجرى النهر. لإيجاد سرعة التيار، نريد تذكر حقيقة مهمة عن الحركة في اتجاهات متعددة. وهي أن الحركة في اتجاهات متعامدة تكون مستقلة. في حالتنا، هذا يعني أنه يمكننا معرفة المدة التي يستغرقها السباح لعبور النهر فقط بالنظر إلى سرعة السباح 𝑣. وذلك الزمن المستغرق لعبور النهر لا يتأثر بـ 𝑣 𝑤؛ لأن 𝑣 𝑤 تؤثر عموديًّا على 𝑣.
إذا تذكرنا أنه بالنسبة إلى سرعة ثابتة، فإن السرعة تساوي المسافة المقطوعة مقسومة على الزمن المستغرق لقطع هذه المسافة، فإنه يمكننا كتابة أن 𝑣 — وهي سرعة السباح — تساوي 𝑤 — وهو عرض النهر — مقسومًا على 𝑡 — وهو الزمن الذي يستغرقه السباح لعبور النهر. هذا يعني أن الزمن اللازم لعبور النهر يساوي 𝑤 مقسومًا على 𝑣 أو 30.0 مترًا مقسومة على 0.500 متر لكل ثانية، والذي يساوي 60.0 ثانية. هذه هي المدة الزمنية التي يستغرقها السباح للوصول إلى الضفة الأخرى. يمكننا الآن إعادة استخدام هذه المعادلة 𝑣 تساوي 𝑑 على 𝑡 لإيجاد 𝑣 𝑤. 𝑣 𝑤، وهي سرعة التيار، تساوي المسافة التي قطعها السباح في اتجاه مجرى النهر وصولًا إلى الضفة المقابلة مقسومة على الزمن الكلي الذي استغرقه لعبور النهر. 75.0 مترًا مقسومة على 60.0 ثانية تساوي 1.25 متر لكل ثانية. هذه هي سرعة سريان التيار في النهر.
بعد ذلك، نتخيل أن صديقًا للسباح يقف ساكنًا على الضفة ويشاهده وهو يعبر النهر. نريد إيجاد سرعة السباح بالنسبة إلى ذلك الصديق الواقف ساكنًا. إذا نظرنا مرة أخرى إلى مخطط متجهات السرعة التي تؤثر على السباح، فإننا نلاحظ أنه يمكن جمعها للحصول على متجه السرعة الكلية، الذي سميناه 𝑣 𝑠. وهو يمثل الجمع الاتجاهي لـ 𝑣 و𝑣 𝑤. 𝑣 𝑠 تمثل سرعة. ما يعني أنها مقدار جمع 𝑣 و𝑣 𝑤. لذا، لإيجاد 𝑣 𝑠، سنأخذ 𝑣 𝑤، ونقوم بتربيعها، ونجمعها مع 𝑣 تربيع، ثم نحسب الجذر التربيعي لهذا المجموع. عند التعويض بالقيمة المعطاة لـ 𝑣 وقيمة 𝑣 𝑤 التي حسبناها، ثم كتابة هذا المقدار على الآلة الحاسبة، نجد أن 𝑣 𝑠 تساوي 1.35 متر لكل ثانية، وذلك لأقرب ثلاثة أرقام معنوية. وهذه هي سرعة السباح تحت تأثير تيار النهر بالنسبة إلى متفرج يقف ساكنًا على ضفة النهر.
في مثالنا الأول، تحدثنا عن أن قائد الطائرة سيحتاج إلى اختيار اتجاهه بناء على أحوال الطقس الحالية. لنحل مثالًا الآن يتضمن إيجاد هذا النوع من المعلومات.
يمكن أن تحلق طائرة صغيرة بسرعة 175 كيلومترًا لكل ساعة في حالة الهواء الساكن. ولكن الطائرة تحلق في أثناء هبوب رياح من جهة الغرب مباشرة بسرعة 36 كيلومترًا لكل ساعة. عند أي زاوية في اتجاه الشمال الغربي يجب أن تتجه الطائرة لتتحرك مباشرة نحو الشمال؟ ما الزمن اللازم لكي تصل الطائرة إلى نقطة تبعد 300 كيلومتر شمال موضعها الحالي مباشرة؟
لنسم الزاوية التي تمثل اتجاه الطائرة الزاوية 𝜃. نريد أيضًا إيجاد الزمن اللازم لكي تقطع الطائرة مسافة 300 كيلومتر شمال موقعها الحالي مباشرة. سنسمي هذا الزمن 𝑡. في هذه المسألة، نعلم أن سرعة الطائرة تساوي 175 كيلومترًا لكل ساعة في حال سكون الهواء. ولدينا كذلك متجه سرعة الرياح. إذ نعلم أن الرياح تهب من جهة الغرب بسرعة 36 كيلومترًا لكل ساعة. لنبدأ الحل برسم مخطط للطائرة المحلقة والرياح التي تؤثر على حركتها.
إذا رسمنا اتجاهات البوصلة الأربعة: الشمال، والجنوب، والشرق، والغرب، فإننا نعلم أن الرياح تهب من جهة الغرب. سبق أن سمينا سرعة هذه الرياح 𝑣 𝑤، وهي تساوي 36 كيلومترًا لكل ساعة. ونعلم أنه على الطائرة التحليق في اتجاه الشمال مع أخذ تأثير الرياح على تحليق الطائرة في الاعتبار. ولفعل ذلك، سيتعين على الطائرة أن تختار متجه سرعتها. بحيث يجعل التحليق في هذا الاتجاه المركبة الغربية لمتجه سرعتها تعادل تأثير الرياح التي تدفعها نحو الشرق. عند حدوث ذلك، فإن الحركة الكلية للطائرة ستكون باتجاه الشمال؛ وهذا يمثل المجموع الاتجاهي لهاتين السرعتين. لدينا مقدار السرعة المتجهة للطائرة، سرعتها القياسية التي سميناها 𝑣 𝑝 والتي تساوي 175 كيلومترًا لكل ساعة.
لإيجاد 𝜃، علينا معرفة مركبة سرعة الطائرة التي ستعادل تأثير 𝑣 𝑤. يمكننا كتابة ذلك في صورة معادلة. يمكننا كتابة أن 𝑣 𝑝، وهي سرعة الطائرة، في جيب الزاوية 𝜃 تساوي 𝑣 𝑤. هذا هو الشرط الذي نفرضه لتكون الحركة الكلية للطائرة باتجاه الشمال مباشرة. بقسمة كلا الطرفين على 𝑣 𝑝 ثم أخذ الدالة العكسية للجيب لكلا طرفي المعادلة، نجد أن 𝜃 تساوي الدالة العكسية لجيب سرعة الرياح مقسومة على سرعة الطائرة. عندما نعوض عن هاتين القيمتين — 36 كيلومترًا لكل ساعة لسرعة الرياح و175 كيلومترًا لكل ساعة لسرعة الطائرة — ونحسب هذا المقدار، فإننا نجد أن 𝜃 تساوي 12 درجة، وذلك لأقرب رقمين معنويين. هذا هو الاتجاه الشمالي الغربي الذي ينبغي للطائرة أن تسلكه لتكون حركتها الكلية باتجاه الشمال مباشرة.
وعند التحليق على هذا النحو، نتخيل أن الطائرة تحلق في رحلة لمسافة 300 كيلومتر نحو الشمال. ونريد إيجاد الزمن الذي تستغرقه هذه الرحلة. لإيجاد هذا الزمن، نتذكر أن السرعة المتوسطة 𝑣 تساوي المسافة المقطوعة مقسومة على الزمن المستغرق لقطع هذه المسافة. يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة بحيث تصبح 𝑡 يساوي 𝑑 على 𝑣. في حالتنا، 𝑑 تساوي 300 كيلومتر، و𝑣 تساوي 𝑣 𝑝، وهي سرعة الطائرة، مضروبة في جيب تمام الزاوية 𝜃. هذه هي مركبة السرعة المتجهة للطائرة باتجاه الشمال. بالتعويض بقيم 𝑣 𝑝 و𝜃، وعند حساب هذا الكسر، نجد أنه يساوي 1.75 ساعة أو يساوي 100 دقيقة، مقربًا لأقرب رقم معنوي. هذا هو الزمن الذي تستغرقه الطائرة لقطع مسافة 300 كيلومتر باتجاه الشمال.
لنلخص الآن ما تعلمناه عن متجهات السرعة.
يمدنا متجه سرعة الجسم بمعلومتين. فهو يخبرنا بمقدار السرعة التي يتحرك بها الجسم وبالاتجاه الذي يتحرك فيه. ثانيًا، السرعة القياسية لجسم تساوي مقدار سرعته المتجهة. السرعة 𝑠 تساوي مقدار 𝑣 والتي — في حالة السرعة المتجهة في ثلاثة أبعاد — تساوي الجذر التربيعي لـ 𝑣 𝑥 تربيع زائد 𝑣 𝑦 تربيع زائد 𝑣 𝑧 تربيع. وأخيرًا، يمكن جمع متجهات السرعة بيانيًّا بوضع طرف نهاية المتجه إلى طرف بداية المتجه التالي له وضمهما معًا، أو جبريًّا وذلك بجمع مركباتها العددية.
