تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: إثبات القانون العام المستخدَم لحل المعادلة التربيعية

نهال عصمت

يوضِّح الفيديو استنتاج صيغة حل المعادلة التربيعية لإيجاد جذور المعادلة.

٠٧:٢٨

‏نسخة الفيديو النصية

إثبات القانون العام المستخدَم لحلّ المعادلة التربيعية.

هنتكلّم عن القانون العام المستخدَم لحلّ المعادلة التربيعية، يعني المعادلة اللي من الدرجة التانية، وإزّاي نقدر نستنتجه من المعادلة التربيعية. في البداية، الصورة العامة للمعادلة التربيعية هي: أ س تربيع، زائد ب س، زائد ج تساوي صفر. أ هو معامل س تربيع. أمَّا ب، فهي معامل س. وَ ج هو الحدّ المطلَق. والقانون العام المستخدَم لحلّ المعادلة التربيعية هو: س تساوي سالب ب، زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ب تربيع ناقص أربعة أ ج، الكل على اتنين أ. عايزين نثبت إزّاي حصلنا على القانون العام من المعادلة التربيعية.

هنبدأ نجيب صفحة جديدة، ونكتب المعادلة التربيعية، وهي: أ س تربيع، زائد ب س، زائد ج تساوي صفر. أول حاجة، عايزين نجمّع س تربيع وَ س في طرف لوحدها. وبالتالي هنطرح ج من طرفَي المعادلة. هيبقى عندنا أ س تربيع زائد ب س في الطرف الأول هتساوي … سالب ج في الطرف التاني. بعد كده هنقسم طرفَي المعادلة على أ. هيبقى عندنا س تربيع زائد، ب على أ س تساوي سالب ج على أ.

الخطوة اللي بعد كده، عايزين نكتب س تربيع زائد ب على أ س على صورة مربع كامل. يعني عايزين قوس مرفوع لأُس اتنين يساوي س تربيع زائد، ب على أ س. أول حاجة الحدّ الأول في المربع الكامل هيبقى عبارة عن س؛ عشان مربع الحدّ الأول هو س تربيع. بعد كده عندنا الحدّ الأوسط هو ب على أ، في س. لو جينا نفكّ المربع الكامل، هنلاحظ إن هيبقى عندنا اتنين في الحدّ الأول، اللي هو س، في الحدّ التاني اللي إحنا مش عارفينه. هيساوي ب على أ، في س، اللي هو الحدّ الأوسط. وبالتالي نقدر نستنتج إن الحدّ التاني هيبقى عبارة عن ب على اتنين أ، وهيكون بإشارة موجبة.

بعد كده عايزين نجيب الحدّ التالت. يعني هنربّع الحدّ التاني. وبالتالي هيبقى زائد ب تربيع على أربعة أ تربيع. يبقى محتاجين نجمع على طرفَي المعادلة ب تربيع على أربعة أ تربيع؛ عشان نكتب س تربيع زائد ب على أ، س على صورة مربع كامل. يبقى س تربيع زائد ب على أ، س، زائد ب تربيع على أربعة أ تربيع هتساوي ب تربيع على أربعة أ تربيع، ناقص ج على أ. وبالتالي س زائد ب على اتنين أ الكل تربيع هتساوي ب تربيع على أربعة أ تربيع، ناقص ج على أ.

بعد كده هنبدأ نوحّد مقامات الطرف التاني للمعادلة. وبالتالي الطرف الأول هينزل زيّ ما هو. س، زائد ب على اتنين أ الكل تربيع هتساوي … هنوحّد المقامات على أربعة أ تربيع. هيبقى عندنا في البسط ب تربيع ناقص أربعة أ ج الكل على أربعة أ تربيع. هنبدأ ناخد الجذر التربيعي للطرفين. هيبقى عندنا في الطرف الأول س زائد، ب على اتنين أ هيساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لـ ب تربيع ناقص أربعة أ ج، على أربعة أ تربيع.

هناخد آخر خطوة وصلنا لها، ونجيب صفحة جديدة. ونبدأ نكتبها: س زائد ب على اتنين أ هتساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لـ ب تربيع ناقص أربعة أ ج، على أربعة أ تربيع. هنبدأ نوزّع الجذر التربيعي على البسط والمقام. يبقى الطرف الأول هينزل زيّ ما هو: س زائد ب على اتنين أ تساوي موجب أو سالب … هيبقى في البسط الجذر التربيعي لـ ب تربيع ناقص أربعة أ ج على الجذر التربيعي لـ أربعة أ تربيع. وبالتالي هيبقى س، زائد ب على اتنين أ هتساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لـ ب تربيع ناقص أربعة أ ج، على اتنين أ.

بعد كده هنبدأ نطرح ب على اتنين أ من طرفَي المعادلة؛ عشان نكتب س في طرف لوحدها. وبالتالي س هتساوي سالب ب على اتنين أ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ب تربيع ناقص أربعة أ ج، على اتنين أ. عندنا في الطرف التاني ممكن نوحّد المقامات على اتنين أ. وبالتالي س هتساوي … في البسط سالب ب، زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ب تربيع ناقص أربعة أ ج، الكل على اتنين أ.

وبكده قدرنا نستنتج القانون العام من المعادلة التربيعية.