نسخة الفيديو النصية
أوجد سعة العدد المركب اثنين ناقص سبعة ﺕ بالراديان. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.
لدينا عدد مركب في الصورة الديكارتية أو الجبرية. بصفة عامة، يمكننا القول إن العدد المركب يكون في هذه الصورة إذا كان يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ. ومطلوب منا إيجاد سعته. سنبدأ بالتفكير في شكل العدد اثنين ناقص سبعة ﺕ على مستوى أرجاند.
تذكر أن هذه إحدى طرق تمثيل الأعداد المركبة بيانيًّا. لدينا المحور الأفقي الذي يمثل الجزء الحقيقي من العدد. والمحور الرأسي الذي يمثل الجزء التخيلي. نجد إذن أن العدد اثنين ناقص سبعة ﺕ لا بد أن يقع في الربع الرابع. وإذا وصلنا بين هذه النقطة وبين نقطة الأصل، فسنجد أن السعة هي الزاوية التي يصنعها هذا الخط المستقيم مع المحور الأفقي.
في الحقيقة، نحن نقيس هذا بعكس اتجاه عقارب الساعة. وهذا يعني أن قيمة السعة، لنطلق عليها 𝜃، ستكون سالبة. ونعرف أنها قيمة سالبة وليست قيمة كبيرة من 𝜋، لأننا في العموم نمثل الأعداد المركبة باستخدام السعة الأساسية. وهذا يعني أن 𝜃 أكبر من سالب 𝜋 وأقل من أو تساوي 𝜋.
لنرسم الآن مثلثًا قائم الزاوية. نلاحظ أن طول الضلع المجاور للزاوية المحصورة 𝜃 يساوي وحدتين. وطول الضلع المقابل للزاوية المحصورة يساوي سبع وحدات. وبما أن هذا مثلث قائم الزاوية، نعرف طولي ضلعين فيه، ونحاول إيجاد قياس زاوية مجهولة من زواياه، يمكننا استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية.
هنا، ظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. لذا يمكننا القول إنه لإيجاد قيمة 𝜃، نستخدم ظا 𝜃 يساوي سبعة على اثنين. ونحل هذه المعادلة لإيجاد 𝜃، بإيجاد الدالة العكسية للظل لكلا طرفي المعادلة. الدالة العكسية للظل لـ ظا 𝜃 هي 𝜃. وبالتالي فإن 𝜃 تساوي الدالة العكسية لظل سبعة على اثنين. وما دامت الآلة الحاسبة تعمل بالراديان، سنحصل على 𝜃 يساوي ١٫٢٩٢٤ وهكذا مع توالي الأرقام. وقد قلنا إن قيمة 𝜃 يجب أن تكون سالبة. إذن 𝜃 تساوي سالب ١٫٢٩ راديان.
هذه عملية طويلة نوعًا ما. ويمكننا في الحقيقة تعميمها فيما يتعلق بالأعداد المركبة التي بالصورة ﺃ زائد ﺏﺕ. نقول إن سعة هذا العدد المركب تساوي الدالة العكسية لظل ﺏ مقسومًا على ﺃ. فلنر كيف نطبق ذلك على العدد المركب الذي لدينا.
الثابت ﺃ أو الجزء الحقيقي يساوي اثنين. ومعامل ﺕ أو الجزء التخيلي يساوي سالب سبعة. إذن ﺏ تساوي سالب سبعة. ففي هذه الحالة، نقول إن 𝜃 تساوي الدالة العكسية لظل سالب سبعة على اثنين. وإذا كتبنا ذلك على الآلة الحاسبة، نحصل على سالب ١٫٢٩ راديان. حري بنا أن نستخدم هذه الصيغة عند إيجاد سعة العدد المركب. لكن يمكننا استخدام مستوى أرجاند للتحقق من صحة الإجابة.
إذن في هذه الحالة، 𝜃 أو سعة العدد المركب الذي لدينا هي سالب ١٫٢٩ راديان.
