نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتناول موضوع دمج قيم الشك. في هذا المشهد، نرى شخصًا يريد تسجيل الوصول في المطار. ولكن من ردوده على أسئلة موظف البوابة، يتضح أنه لا يعرف وجهته. ولا يعرف موعد المغادرة. وليس لديه بطاقة إثبات هوية. أثارت كل هذه العوامل مجتمعة حالة أكبر من الشك في هوية هذا الشخص ووجهته.
كما سنرى، يحدث أمر مشابه عند دمج قيم مقيسة معًا. وفي هذا الدرس، سنتعلم قواعد معينة لذلك. في البداية، نتذكر أن جميع القيم المقيسة بها مقدار من الشك. ويرجع ذلك إلى أن أي جهاز نستخدمه للقياس لا يتسم بالدقة المطلقة. على سبيل المثال، لنفترض أننا نقيس طول هذا الشخص. يمكننا استخدام شريط قياس لفعل ذلك. وقد ننتبه جيدًا خلال عملية القياس، بحيث نجعل أعلى رأس الشخص محاذيًّا لشريط القياس. لكن حتى في هذه الحالة، إذا نظرنا إلى شريط القياس عن قرب، فسنرى أن العلامات الموجودة عليه تحد من الدقة التي نسجل بها طول الشخص.
لنقل إن كل علامة من علامات التدريج الموجودة على شريط القياس تشير إلى فرق في الطول مقداره سنتيمتر واحد. وبالنظر إلى هذا الخط المتقطع الذي يمثل الارتفاع الذي يصل إليه أعلى رأس الشخص، نجد أنه يمكننا تخطي هذه الدقة بمنزلة عشرية واحدة لتقدير طول هذا الشخص لأقرب عشر سنتيمتر. لنفترض أنه عندما نفعل ذلك، نحصل على القيمة 165.4 سنتيمترًا لطول هذا الشخص. لكن هذا العدد به مقدار ضئيل من الشك. إذ يمكن أن يكون طول الشخص الفعلي أكبر أو أقل من هذه القيمة بقليل. تحديدًا، قد يكون أكبر أو أقل من القيمة التي سجلناها بمقدار عشر سنتيمتر.
من المهم تضمين مقدار الشك الكلي في القيمة المسجلة. في هذه الحالة سنقول إن الطول المقيس للشخص يساوي 165.4 زائد أو ناقص 0.1 سنتيمتر. نرى إذن أن الشك في القياس ينتج عن محدودية دقة أدوات القياس المستخدمة. ولعدم وجود أداة قياس تتسم بالدقة المطلقة، سيوجد دائمًا مقدار من الشك في القيمة المقيسة. والآن، لنفترض أننا نستخدم شريط القياس نفسه لقياس طول شخص ثان، ونجد أن طوله يساوي 148.6 زائد أو ناقص 0.1 سنتيمتر. أصبح لدينا الآن قيمتان مقيستان منفصلتان. فكل قيمة تشير بشكل منفصل إلى طول أحد الشخصين.
لكن ماذا إذا أردنا دمج هذين الطولين معًا؟ ماذا سيحدث إذا تمكن الشخص الثاني من الوقوف على رأس الشخص الأول مستعينًا بمهارتي قوة وتوازن مدهشتين؟ في هذه الحالة، للحصول على طول هذين الشخصين معًا، علينا دمج هاتين القيمتين المقيستين. إذا كانت هاتان القيمتان لطولين ليس بهما أي شك، فسيكون الأمر واضحًا ومباشرًا بما فيه الكفاية. لكن، دعونا نفكر قليلًا في كيفية فعل ذلك مع تضمين مقدار الشك في القيمتين المقيستين.
نعلم أن الطول المقيس للشخص الأول يتضمن مقدارًا من الشك يساوي عشر سنتيمتر. هذا يعني أن طوله الحقيقي قد يكون أكبر أو أقل من هذه القيمة المسجلة بعشر سنتيمتر. وينطبق الأمر نفسه أيضًا على طول الشخص الثاني. إذ من الممكن أن يكون طوله الحقيقي أكبر أو أقل من 148.6 بمقدار عشر سنتيمتر. بمعرفة ذلك، يمكننا كتابة أقصى وأدنى قيم طول محتملة لهذين الشخصين. وإذا جمعنا القيمتين المحتملتين لأقصى طول، فسيعني هذا أننا نجمع طولي الشخصين مع إضافة 0.1 سنتيمتر لطول كل منهما.
ومن ناحية أخرى، إذا أردنا جمع القيمتين المحتملتين لأدنى طول، فسنجمع الطولين المسجلين للشخصين معًا ونطرح 0.1 سنتيمتر من طول كل منهما. ما نلاحظه هنا هو أنه عند دمج طولي الشخصين معًا، لا نجمع القيمتين المقيستين لطوليهما فحسب، بل نجمع أيضًا مقدار الشك في هذين الطولين. وعليه، إذا أخذنا طولي الشخصين معًا وأشرنا لذلك الطول بالرمز 𝑇𝐻، فإن هذا الطول الإجمالي سيساوي طول الشخص الأول زائد طول الشخص الثاني. ويمكننا إيجاد هذا الطول الإجمالي بجمع القيمتين المقيستين للشخصين ومقدار الشك في هاتين القيمتين.
عند فعل ذلك، نحصل على الناتج 314.0 زائد أو ناقص 0.2 سنتيمتر. ما نراه هنا هو مثال محدد يمكننا تحويله إلى قاعدة عامة. لنفسح الآن بعض المساحة ونكتب هذه القاعدة العامة بالكلمات. يمكننا قول إنه عند جمع القيم المقيسة أو طرحها، تجمع مقادير الشك في هذه القيم معًا. وفيما يلي كيفية التعبير عن ذلك رياضيًّا. يجب علينا الانتباه جيدًا لنفهم هذه الرموز.
لنفترض أن لدينا قيمة سنطلق عليها 𝑣 واحد، وهي تساوي 𝑎 زائد أو ناقص مقدار الشك في 𝑎، وأن لدينا قيمة مقيسة ثانية، وتساوي 𝑏 زائد أو ناقص مقدار الشك في 𝑏. في هذه الحالة، إذا أردنا جمع 𝑣 واحد و 𝑣 اثنين معًا أو طرح 𝑣 اثنين من 𝑣 واحد، فإن هذا سينتج عنه 𝑎 زائد أو ناقص 𝑏، بناء على ما إذا كنا نجمع 𝑣 واحد و𝑣 اثنين أم نطرحهما. وستتضمن هذه القيمة مقدارًا من الشك هو زائد أو ناقص مقدار الشك في 𝑎 زائد مقدار الشك في 𝑏. وبالمناسبة، تنطبق هذه القاعدة المتعلقة بجمع مقادير الشك معًا عند جمع القيم المقيسة معًا أو طرحها، حتى إذا كان لدينا أكثر من قيمتين مقيستين.
على سبيل المثال، إذا كان لدينا ثلاثة أو حتى أربعة أشخاص يقفون بعضهم فوق رءوس بعض، فلكي نحسب إجمالي الطول، سنجمع أطوال جميع الأشخاص مع إضافة مقادير الشك في كل من هذه الأطوال. ما تناولناه حتى الآن هو جمع القيم المقيسة وطرحها. لكننا نعرف أنه يمكننا أيضًا ضرب هذه القيم وقسمتها.
على سبيل المثال، لنفترض أن لدينا غرفة فارغة ونريد قياس حجم هذه الغرفة. إذن سنقيس عرض الغرفة، وارتفاعها، وطولها. لنفترض أننا حصلنا على هذه القيم. في كل حالة، لدينا مقدار من الشك يبلغ عشر متر وفقًا للطريقة التي قسنا بها هذه الأبعاد. نعلم أنه لإيجاد حجم الغرفة علينا ضرب الارتفاع في العرض في الطول. لكن هل عند فعل ذلك سنوجد إجمالي الشك في هذا الحجم بضرب مقادير الشك في كل بعد معًا ببساطة؟ يتضح أن الإجابة عن ذلك هي لا. فإذا كان هذا صحيحًا، فإن الشك في الحجم سيساوي 0.1 متر مضروبًا في نفسه ثلاث مرات. وهو ما يساوي 0.1 متر الكل تكعيب، أي 0.001 متر مكعب.
لكن هذا مقدار شك ضئيل للغاية. فلا يمكننا تحديد عدد بهذه الدقة باستخدام الأبعاد المقيسة للغرفة. وبالتالي، فإن هذه طريقة غير صحيحة لحساب مقدار الشك في هذا الحجم. لا يمكننا ضرب قيم الشك المنفردة معًا ببساطة. بدلًا من ذلك، قبل ضرب أبعاد الغرفة معًا، سنقوم بخطوة إضافية لتعديل مقادير الشك في القيم المقيسة. هذه الخطوة هي تحويل مقادير الشك إلى نسب مئوية. بعبارة أخرى، سنحسب النسبة المئوية لـ 0.1 متر من 3.0 أمتار، وبالمثل سنحسب النسبة المئوية لـ 0.1 من 4.7، ونفعل الأمر نفسه مع البعد الأخير.
عند فعل ذلك، سنجد أن 0.1 يساوي 1.8 بالمائة من 5.5، و2.1 بالمائة من 4.7، و3.3 بالمائة من 3.0. لاحظ أننا لم نجر أي تغييرات عددية على هذه القيم المقيسة، بل عبرنا عنها بطريقة أخرى مكافئة فقط. بعد أن فعلنا ذلك، صرنا الآن جاهزين لحساب حجم هذه الغرفة بضرب 3.0 أمتار في 4.7 أمتار، في 5.5 أمتار، لكن نجمع بعد ذلك النسب المئوية لمقادير الشك في كل قيمة مقيسة. هذا ما سيصبح لدينا. حجم الغرفة يساوي 3.0 أمتار مضروبًا في 4.7 أمتار مضروبًا في 5.5 أمتار، زائد أو ناقص 3.3 بالمائة زائد 2.1 بالمائة زائد 1.8 بالمائة. لاحظ أننا لا نضرب هذه النسب المئوية، بل نجمعها معًا.
وعند الاحتفاظ برقمين معنويين في العمليتين الحسابيتين، يصبح لدينا 78 مترًا مكعبًا زائد أو ناقص 7.2 بالمائة من هذا الحجم. إذا أردنا كتابة الإجابة النهائية متضمنة مقدار الشك بالأمتار المكعبة بدلًا من النسبة المئوية، يمكننا أن نفعل ذلك بحساب كم تساوي 7.2 بالمائة من 78 مترًا مكعبًا. عند فعل ذلك، نحصل على الإجابة النهائية 78 زائد أو ناقص 5.5 أمتار مكعبة. هذا هو حجم الغرفة المحسوب بطريقة صحيحة متضمنا مقدار الشك في كل بعد. كما سبق، تناولنا هنا مثالًا محددًا لقاعدة عامة. هيا إذن نكتب القاعدة التي تنطبق على ضرب وقسمة القيم المقيسة مع مقادير الشك في كل منها.
عند ضرب القيم المقيسة أو قسمتها، نجمع النسب المئوية لمقادير الشك في كل القيم لنحصل على مقدار الشك الإجمالي. ويمكننا كتابة ذلك رياضيًّا كما يلي. لنفترض أن لدينا ثلاث قيم هي 𝑎 مع مقدار الشك فيه، و𝑏 مع مقدار الشك فيه، و𝑐 مع مقدار الشك فيه. إذا كان 𝑐 يساوي حاصل ضرب 𝑎 و𝑏، فإن مقدار الشك في 𝑐، أي في حاصل الضرب هذا، مقسومًا على 𝑐 يساوي مقدار الشك في 𝑎 مقسومًا على 𝑎 زائد مقدار الشك في 𝑏 مقسومًا على 𝑏. قد تبدو هذه المعادلة مربكة نوعًا ما؛ لأننا تحدثنا عن النسب المئوية وجمعها معًا. لكن في الواقع، هذه المعادلة توضح لنا النسب المئوية بشكل أقرب مما نتخيل.
إذا ضربنا طرفي المعادلة في 100 بالمائة، فسيجعل ذلك كل حد من حدود المعادلة النسبة المئوية لمقدار الشك. فنجد أولًا النسبة المئوية لمقدار الشك في 𝑐، ثم في 𝑎، ثم في 𝑏. ونظرًا لأن العامل 100 بالمائة مشترك بين جميع الحدود، يمكننا حذفه. وبذلك يتبقى لدينا هذا التعبير المبسط. جدير بالملاحظة هنا أنه بالرغم من أننا ذكرنا أن هذا التعبير ينطبق على ضرب قيمتين معًا للحصول على القيمة الثالثة، فإنه ينطبق أيضًا عند إجراء القسمة بدلًا من الضرب. على سبيل المثال، إذا قسمنا 𝑎 على 𝑏، فإن هذا لن يغير شيئًا في هذه المعادلة الخاصة بحساب ناتج مقدار الشك الإجمالي.
بهذا نكون قد تحدثنا عن حساب مقدار الشك الإجمالي للجمع والطرح والضرب والقسمة. لكن ثمة حالة خاصة سنتوقف قليلًا للتعرف عليها. تحدث هذه الحالة الخاصة عندما نرفع عددًا ما لقوة صحيحة. سنرى مثالًا على ذلك إذا تخيلنا أن أبعاد الغرفة جميعها متساوية. وأن كلًّا منها يساوي 3.0 أمتار، وهو ما يعني أن مقدار الشك في الأبعاد كلها متساو، وهو 3.3 بالمائة. وفقًا لهذه القاعدة ولما نعرفه من قبل، يمكننا حساب مقدار الشك الإجمالي في حجم هذه الغرفة بجمع 3.3 بالمائة و3.3 بالمائة و3.3 بالمائة معًا، وهو ما يعطينا 9.9 بالمائة.
لكننا نلاحظ أن هذا، رياضيًّا، يكافئ ضرب النسبة المئوية للشك، أي 3.3 بالمائة، في ثلاثة. وللعدد ثلاثة دلالة خاصة حين نتحدث عن حساب حجم جسم معين. وذلك لأنه إذا كان لدينا جسم على شكل مكعب، كالمذكور في هذا المثال، فإن حجم هذا الجسم يساوي مكعب طول أحد الأضلاع. يتضح الآن أن كون هذا العدد وهذا العدد متساويان ليس مصادفة. مرة أخرى، هذا مثال محدد لقاعدة عامة لحساب مقدار الشك عند رفع عدد ما لقوة صحيحة. ويمكننا كتابة ذلك بالطريقة التالية.
يمكننا قول إنه عند رفع قيمة مقيسة لقوة صحيحة، فإن مقدار الشك الإجمالي يساوي هذه القوة مضروبة في النسبة المئوية لمقدار الشك في القيمة المقيسة. قد تبدو هذه الصيغة طويلة. لكننا سنكتبها بالرموز، فنفترض أننا نحسب ناتج رفع قيمة معينة لقوة صحيحة، وسنسمي القيمة 𝑥 والقوة الصحيحة 𝑏. في هذه الحالة، نوجد مقدار الشك في ناتج هذه العملية الحسابية، أي الشك في 𝑦، باستخدام هذه المعادلة. نلاحظ أن هذه المعادلة تتضمن ضرب المقدار الكسري للشك في 𝑥 في هذه القوة 𝑏.
وكما ذكرنا، هذه القاعدة هي حالة خاصة للقاعدة التي توصلنا إليها فيما سبق والتي تتعلق بالضرب والقسمة. عند ضرب قيم مقيسة متطابقة معًا، سينتج عن كلتا الطريقتين الإجابة الصحيحة. كل ما هنالك هو أننا في إحدى الطريقتين نجمع النسب المئوية لمقادير الشك معًا بقدر عدد مرات ظهورها، أما في الطريقة الأخرى التي تعلمناها للتو فنضرب هذه النسبة المئوية لمقدار الشك في عدد مرات تكرار مقدار الشك هذا. وفي كلتا الحالتين، نحصل على الناتج نفسه في النهاية. بعد أن تعرفنا على طرق متنوعة لدمج قيم الشك، هيا نتدرب قليلًا على هذه الأفكار من خلال مثال.
مقاومتان قيمتهما 20 زائد أو ناقص [0.1] أوم، و80 زائد أو ناقص [0.2] أوم. إذا وصلت المقاومتان على التوالي، فكم سيصبح مقدار الشك في قيمة المقاومتين معًا؟
حسنًا، في هذا المثال، لدينا مقاومتان. لنقل إن هذه هي الأولى، وهذه الثانية. ونعلم من المعطيات أن هاتين المقاومتين موصلتان معًا على التوالي. كما نعلم قيمة كل منهما. ونلاحظ أن هاتين المقاومتين تتضمنان شكًّا مقداره [0.1] أوم لإحداهما
و[0.2] أوم للأخرى. نتذكر هنا أنه عند توصيل مقاومتين على التوالي، كما في هذا المثال، نجمع قيمتهما معًا للحصول على القيمة الكلية للمقاومتين مجتمعتين. إذا كانت قيمتا المقاومة قد ذكرتا دون مقدار شك، كنا سنجمع 20 أوم و80 أوم مباشرة للحصول على مقاومة إجمالية مقدارها 100 أوم. لكن في هذه الحالة، لدينا بالفعل مقدارا شك علينا وضعهما في الحسبان أيضًا.
لفعل ذلك، نتذكر قاعدة دمج قيم الشك، وخصوصًا عند جمع قيمتين معًا. لنفترض أن لدينا قيمة. سنسميها 𝑣 واحد. وهي تساوي 𝑎 زائد أو ناقص مقدار الشك في 𝑎. وبالمثل، لدينا قيمة ثانية هي 𝑣 اثنان، وتساوي 𝑏 زائد أو ناقص مقدار الشك في 𝑏. إذا أردنا جمع 𝑣 واحد و𝑣 اثنين، فسنجمع 𝑎 و𝑏 ثم نجمع مقداري الشك أيضًا. يمكننا تطبيق هذه القاعدة على الحالة الخاصة بجمع قيمتي المقاومتين.
إذا كنا نريد إيجاد المقاومة الكلية، التي سنشير إليها بحرف 𝑅، لهاتين المقاومتين معًا، فإنها ستساوي — بموجب القاعدة المذكورة — 20 زائد 80، زائد أو ناقص 0.1 زائد 0.2 أوم، أي 100 زائد أو ناقص 0.3 أوم. لكننا لا نريد إيجاد المقاومة الكلية 𝑅، بل نريد إيجاد إجمالي مقدار الشك في المقاومتين. لكن من خلال إيجاد قيمة 𝑅، توصلنا بالفعل إلى هذا الإجمالي لمقدار الشك. فرأينا أنه يساوي ناتج جمع مقداري الشك المنفردين. وهو ما يساوي 0.3 أوم.
دعونا نلخص الآن ما تعلمناه حول دمج قيم الشك. في البداية تعلمنا أنه عند جمع قيم مقيسة أو طرحها، مع العلم بأن جميع القيم المقيسة تتضمن مقدارًا من الشك، فإننا نجمع مقادير الشك في هذه القيم أيضًا. رياضيًّا، إذا كان 𝑐 يساوي 𝑎 زائد أو ناقص 𝑏، حيث 𝑎 و𝑏 قيمتان مقيستان تتضمنان مقدارًا من الشك، فإن مقدار الشك في مجموع القيمتين أو الفرق بينهما يساوي مقدار الشك في 𝑎 زائد مقدار الشك في 𝑏. وهذه هي القاعدة الأولى التي تناولناها فيما يتعلق بدمج قيم الشك.
القاعدة الثانية التي توصلنا إليها هي أنه عند ضرب القيم المقيسة أو قسمتها، فإننا نجمع النسب المئوية لمقادير الشك في هذه القيم معًا. للتعبير عن ذلك باستخدام الرموز، نقول إنه إذا كان 𝑐 يساوي 𝑎 مضروبًا في 𝑏 أو 𝑐 يساوي 𝑎 مقسومًا على 𝑏، حيث 𝑎 و𝑏 قيمتان مقيستان، فإن مقدار الشك في 𝑐 مقسومًا على 𝑐 يساوي مقدار الشك في 𝑎 مقسومًا على 𝑎 زائد مقدار الشك في 𝑏 مقسومًا على 𝑏. وتذكر أنه يمكن تحويل مقادير الشك الكسرية هذه إلى نسب مئوية بسهولة. ونفعل ذلك بضرب طرفي المعادلة في 100 بالمائة.
وأخيرًا، تعرفنا على حالة خاصة لقاعدة الضرب هذه. وهي أنه عند رفع قيمة مقيسة، سنطلق عليها 𝑎، لقوة صحيحة، سنطلق عليها 𝑛، فإن المقدار الكسري للشك في الناتج سيساوي 𝑛 مضروبًا في المقدار الكسري للشك في 𝑎. وهذا هو ملخص دمج قيم الشك.
