فيديو السؤال: كتابة الدوال الأسية المكافئة ذات الأساسات المختلفة من تمثيل بياني الرياضيات

أي من المقادير التالية لا يصف التمثيل البياني الموضح؟ [أ] ﻕ = ٢٠٠ ⋅ (١‏/‏٢)^(٢ﻥ) [ب] ﻕ = ٢٠٠ ⋅ (١‏/‏٤)^ﻥ [ج] ﻕ = ٢٠٠ ⋅ ﻫ^(−١٫٣٩ﻥ) [د] ﻕ = ٢٠٠ ⋅ (١‏/‏٢)^(ﻥ‏/‏٢) [هـ] ﻕ = ٢٠٠ ⋅ (٤)^(−ﻥ).

٠٧:٢٠

‏نسخة الفيديو النصية

أي من المقادير التالية لا يصف التمثيل البياني الموضح؟ هل هو الخيار (أ) ﻕ يساوي ٢٠٠ في نصف أس اثنين ﻥ، أم الخيار (ب) ﻕ يساوي ٢٠٠ في ربع أس ﻥ، أم الخيار (ج) ﻕ يساوي ٢٠٠ في ﻫ أس سالب ١٫٣٩ﻥ، أم الخيار (د) ﻕ يساوي ٢٠٠ في نصف أس ﻥ على اثنين، أم الخيار (هـ) ﻕ يساوي ٢٠٠ في أربعة أس سالب ﻥ؟

لدينا خمس معادلات، أربعة منها معادلات للتمثيل البياني، ولكنها مكتوبة بصور مختلفة، ومعادلة واحدة مختلفة لا تصف التمثيل البياني. قبل أن نحاول معرفة المعادلة المختلفة، دعنا نتحدث عما تشترك فيه كل المعادلات.

إنها جميعًا في الصورة ﻕ يساوي ٢٠٠ مضروبًا في شيء ما، سنسميه ﺃ أس شيء آخر، والذي سنسميه ﺏ، في ﻥ. وهذا يعني أن ﻕ ينمو أو يضمحل أسيًا مع ﻥ، بداية من القيمة الأولية ٢٠٠. يمكننا أن نبين أن هذه القيمة ٢٠٠ تمثل القيمة الأولية لـ ﻕ؛ أي إن هذه هي قيمة ﻕ عند ﻥ يساوي صفرًا من خلال التعويض عنها بصفر.

وباستخدام حقيقة أن أي شيء أس صفر يساوي واحدًا، فإننا نرى أنه في جميع خيارات الإجابة عند ﻥ يساوي صفرًا، فإن ﻕ يساوي ٢٠٠. وهذا يتطابق مع ما نراه على التمثيل البياني. فنقطة التقاطع مع المحور ﺹ، أو ينبغي أن نقول نقطة التقاطع مع المحور ﻕ، هي ٢٠٠. وبالطبع فإن نقطة التقاطع مع المحور ﻕ هي قيمة ﻕ عند ﻥ يساوي صفرًا. ونظرًا لأن جميع الخيارات تتفق على هذه القيمة ٢٠٠، فلا يمكننا استخدامها لإيجاد المعادلة المختلفة. يجب أن نستخدم الجزء ﺃ أس ﺏﻥ بدلًا من ذلك.

القيمة ٢٠٠ تعطينا القيمة الأولية لـ ﻕ. ويحدد هذا الجزء ﺃ أس ﺏﻥ مدى سرعة نمو أو اضمحلال ﻕ أسيًا. بالنظر إلى التمثيل البياني، يمكننا أن نرى أنه عندما تكون قيمة ﻥ واحدًا، فإن ﻕ يساوي ٥٠. ‏‏٥٠ يساوي ربع ٢٠٠. إذن، ﻕ يساوي ربع ما كان في الأصل.

ولأننا نتعامل مع دوال ممثلة أسيًا هنا، فإننا نعلم أن هذا السلوك سيستمر. ‏‏ﻕ سيساوي دائمًا ربع ما كان عليه عندما كان ﻥ أقل بمقدار واحد. إذن، يمكننا أن نكتب أن ﻕ يساوي ٢٠٠ في ربع أس ﻥ. ويمكننا التحقق من ذلك عن طريق التعويض، فعند ﻥ يساوي واحدًا، فإن ﻕ يساوي ٥٠.

وهنا نستخدم حقيقة أن ربع أس واحد يساوي ربعًا وحسب. إذن، من المؤكد أن المعادلة في خيار الإجابة (ب) تصف التمثيل البياني الموضح. بالطبع هناك طرق أخرى لكتابة ربع أس ﻥ. فيمكننا أن نكتبه على أنه واحد على أربعة أس ﻥ، وكذلك أربعة أس سالب ﻥ لنحصل على مقدار بصورة أخرى لـ ﻕ.

إذن، المعادلة في خيار الإجابة (هـ) تصف أيضًا التمثيل البياني الموضح. لقد استطعنا كتابة المعادلة بالأساس أربعة بدلًا من الأساس ربع. يمكننا إعادة كتابة ربع أس ﻥ باستخدام أي أساس تقريبًا. فلأي أساس ﺃ، ربع يساوي ﺃ أس لوغاريتم ربع للأساس ﺃ. وهكذا، فإن ربعًا أس ﻥ يساوي ﺃ أس لوغاريتم ربع للأساس ﺃ أس ﻥ.

وباستخدام أحد قوانين الأسس، يمكننا أن نكتب ذلك في صورة ﺃ أس لوغاريتم ربع للأساس ﺃ في ﻥ. ونعوض بذلك في مقدار ﻕ. نرى أن المعادلة في خيار الإجابة (ج) لها الأساس ﻫ. يمكننا أن نأخذ المعادلة التي نعرف أنها صحيحة ونعيد كتابتها بحيث تحتوي على الأساس ﻫ. ثم يمكننا مقارنة ذلك بالمعادلة في خيار الإجابة (ج) لمعرفة ما إذا كان هذا الخيار يصف التمثيل البياني الموضح حقًا أم لا.

ونعوض عن الأساس الاختياري ﺃ بـ ﻫ. ‏‏لوغاريتم للأساس ﻫ هو اللوغاريتم الطبيعي. وبحساب هذا اللوغاريتم باستخدام الآلة الحاسبة، نجد أن ﻕ يساوي ٢٠٠ في ﻫ أس سالب ١٫٣٨٦٢٩ وهكذا مع توالي الأرقام، وهذا العدد العشري لا ينتهي، مضروبًا في ﻥ. وإذا قارنت هذا مع المعادلة في خيار الإجابة (ج)، فسترى أن العدد في الأس مقرب إلى حد ما. لكن هذا على الأرجح قريب بما فيه الكفاية.

فنحن نقرأ قيمًا من تمثيل بياني. وبالتالي لا نتوقع أن تكون دقيقة بنسبة ١٠٠ بالمائة. إذن، يتبقى لدينا خيارا الإجابة (أ) و(د)، وكلاهما يحتوي على الأساس نصف. وبما أنهما يحتويان على أسين مختلفين، فلا يمكن أن يكون كلاهما صحيحًا. أحد هذين الخيارين سيكون المعادلة المختلفة، المعادلة الوحيدة التي لا تصف التمثيل البياني، ومن ثم ليست مكافئة لجميع المعادلات الأخرى.

وبما أن لدينا الأساس نصف، فسنعوض عن الأساس الاختياري بنصف. إذا كانت الآلة الحاسبة لا تسمح لك بذلك، فاكتب فقط لوغاريتم ربع للأساس نصف، وبعد ذلك سيتعين عليك استخدام أحد قوانين اللوغاريتمات لإعادة كتابة هذا اللوغاريتم بدلالة لوغاريتمات لها أساسات أخرى.

لقد اخترت اللوغاريتم الطبيعي. وينبغي أن تعرف أن قيمة هذا اللوغاريتم تساوي اثنين. إذن، ﻕ يساوي ٢٠٠ في نصف أس اثنين ﻥ. وهذا هو ما نراه في خيار الإجابة (أ). إذن، خيار الإجابة (أ) يصف التمثيل البياني الموضح. وبالتالي، فإن إجابتنا، خيار الإجابة الذي لا يصف التمثيل البياني الموضح، هي خيار الإجابة (د): ﻕ يساوي ٢٠٠ في نصف أس ﻥ على اثنين.

ربما توجد طريقة أسرع لإظهار أن الخيار (أ) يكافئ الخيار (ب). سنستخدم قانون الأسس المبين، ولكن في الاتجاه المعاكس للعادة، بحيث نكتب نصف أس اثنين ﻥ في صورة نصف أس اثنين أس ﻥ. وبما أن نصف أس اثنين يساوي ربعًا، فإن هذا يعطينا المعادلة الموجودة في الخيار (ب)، والذي نعلم أنه إجابة صحيحة.

وكما كان الأمر من قبل، بما أن الخيارين (أ) و(د) لهما الأساس نفسه، ونحن نعرف أن الخيار (أ) يصف التمثيل البياني الموضح، فلا بد أن الخيار (د) لا يصفه. دعنا نلخص ما رأيناه في هذا السؤال.

رأينا أن المعادلة التي تصف حالة الاضمحلال الأسي ليست فريدة من نوعها. إذ يمكننا اختيار أي أساس نريده. ولكن إذا اخترت الأساس، فلن يكون أمامك خيارات أخرى لكتابتها. لذا، إذا كانت هناك معادلتان لهما الأساس نفسه ولكنهما مختلفتان في شيء آخر، فعندئذ لا يمكن أن تمثلا الشيء نفسه.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.