نسخة الفيديو النصية
أوجد قياس الزاوية بين الخطين المستقيمين المتجه 𝐫 واحد يساوي سبعين، سالب ثلثين، سالب واحد زائد 𝐭 واحد في سالب سبعين، سالب أربعة أثلاث، تسعة أخماس، وسالب ستة 𝑥 ناقص اثنين على سبعة يساوي أربعة 𝑦 ناقص ثلاثة على سالب ستة يساوي ثلاثة ناقص ثمانية 𝑧 على سالب خمسة.
بما أن قياس الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين في الفضاء يساوي قياس الزاوية المحصورة بين متجهي اتجاهيهما، سنبدأ بإيجاد متجه اتجاه كل من الخطين المستقيمين. يمكننا بعد ذلك استخدام الصيغة الموضحة لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين الخطين المستقيمين. cos 𝜃 يساوي معيار حاصل الضرب القياسي لـ 𝐝 واحد و𝐝 اثنين مقسومًا على معيار 𝐝 واحد مضروبًا في معيار 𝐝 اثنين؛ حيث 𝐝 واحد و𝐝 اثنان متجها الاتجاهين. الخط المستقيم الأول معطى على الصورة المتجهة، حيث 𝐫 يساوي 𝑥 واحدًا، 𝑦 واحدًا، 𝑧 واحدًا زائد 𝜆 مضروبًا في 𝑎، 𝑏، 𝑐، حيث يمر الخط المستقيم بنقطة إحداثياتها 𝑥 واحد، 𝑦 واحد، 𝑧 واحد، ومتجه اتجاهه 𝑎، 𝑏، 𝑐. إذا سمينا هذا الخط المستقيم الأول 𝑙 واحدًا، فإن متجه اتجاهه 𝐝 واحدًا يساوي سالب سبعين، سالب أربعة أثلاث، تسعة أخماس.
نتذكر بعد ذلك أن الصورة الكارتيزية للخط المستقيم هي 𝑥 ناقص 𝑥 واحد على 𝑎 يساوي 𝑦 ناقص 𝑦 واحد على 𝑏 يساوي 𝑧 ناقص 𝑧 واحد على 𝑐؛ حيث يمر الخط المستقيم مجددًا بالنقطة التي إحداثياتها 𝑥 واحد، 𝑦 واحد، 𝑧 واحد، ومركبات متجه اتجاهه هي 𝑎، 𝑏، 𝑐. الخط المستقيم الثاني معطى على صورة مشابهة لهذه الصورة الكارتيزية. لكن معاملات 𝑥، 𝑦، 𝑧 لا تساوي واحدًا. لكتابة هذه المعادلة على الصورة الكارتيزية، سنقسم كل حد في المقدار الأول على سالب ستة، وكل حد في المقدار الثاني على أربعة، وكل حد في المقدار الثالث على سالب ثمانية.
بقسمة كل حد في المقدار سالب ستة 𝑥 ناقص اثنين على سبعة على سالب ستة، نحصل على 𝑥 زائد ثلث على سالب سبعة أسداس. وهذا يساوي 𝑦 ناقص ثلاثة أرباع على سالب ثلاثة على اثنين، وهو ما يساوي 𝑧 ناقص ثلاثة أثمان على خمسة أثمان. بمقارنة ذلك بالصورة العامة، نجد أن مقامات المقادير الثلاثة هي مركبات متجه الاتجاه. ومن ثم فإن متجه الاتجاه 𝐝 اثنين يساوي سالب سبعة أسداس، سالب ثلاثة أنصاف، خمسة أثمان.
لقد وصلنا الآن إلى مرحلة يمكننا فيها حساب حاصل الضرب القياسي للمتجهين 𝐝 واحد و𝐝 اثنين، وحساب معيار كل من متجهي الاتجاهين. لحساب حاصل الضرب القياسي لمتجهين، نوجد مجموع حواصل ضرب مركباتهما المتناظرة. في هذه الحالة، لدينا سالب سبعين مضروبًا في سالب سبعة أسداس زائد سالب أربعة أثلاث مضروبًا في سالب ثلاثة أنصاف زائد تسعة أخماس مضروبًا في خمسة أثمان. يمكن تبسيط ذلك إلى ثلث زائد اثنين زائد تسعة أثمان، وهو ما يساوي 83 على 24. وبما أن هذه القيمة موجبة، فإن معيار حاصل الضرب القياسي لمتجهي الاتجاهين 𝐝 واحد و𝐝 اثنين يساوي 83 على 24.
يمكننا بعد ذلك إيجاد معيار متجه الاتجاه 𝐝 واحد. إنه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربع كل مركبة من مركبات المتجه. هذا يعطينا الجذر التربيعي لأربعة على 49 زائد 16 على تسعة زائد 81 على 25. بجمع الكسور الثلاثة، نحصل على 56221 على 11025، ومعيار متجه الاتجاه 𝐝 واحد يساوي الجذر التربيعي لهذا المقدار. يمكننا الآن تكرار هذه العملية لإيجاد معيار متجه الاتجاه 𝐝 اثنين. إنه يساوي الجذر التربيعي لـ 49 على 36 زائد تسعة على أربعة زائد 25 على 64، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ 2305 على 576.
على الرغم من أن هذا السؤال لا يطلب منا تبسيط هذين المقدارين مجددًا، يمكننا فعل ذلك باستخدام معرفتنا بالجذور. عند حساب الجذر التربيعي لكسر، يمكننا إيجاد الجذر التربيعي للبسط والمقام كل على حدة. وبما أن الجذر التربيعي لـ 11025 يساوي 105، والجذر التربيعي لـ 576 يساوي 24، فيمكن تبسيط معياري 𝐝 واحد و𝐝 اثنين كما هو موضح.
لقد وصلنا الآن إلى مرحلة يمكننا فيها التعويض بالقيم الثلاث لإيجاد مقدار cos 𝜃. إنه يساوي 83 على 24 مقسومًا على الجذر التربيعي لـ 56221 على 105 مضروبًا في الجذر التربيعي لـ 2305 على 24. يمكننا بعد ذلك إيجاد الدالة العكسية لجيب التمام لكلا طرفي هذه المعادلة، فنحصل على 𝜃 تساوي 40.042626 وهكذا مع توالي الأرقام درجة. ومع أنه يمكننا تقريب هذا العدد إلى عدد معين من المنازل العشرية، يمكننا أيضًا تحويله إلى درجات ودقائق وثوان. يمكننا فعل ذلك مباشرة باستخدام الآلة الحاسبة عن طريق الضغط على زر الدرجات والدقائق والثواني.
توجد طريقة أخرى لتحويل الناتج، وهي ضرب الجزء العشري منه في 60 ؛ لأن الدرجة الواحدة تساوي 60 دقيقة. وبما أن الدقيقة الواحدة تساوي 60 ثانية، فإننا نكرر هذه العملية لنحصل على الإجابة النهائية بالدرجات والدقائق والثواني. وهي أن قياس الزاوية بين الخطين المستقيمين يساوي 40 درجة ودقيقتين و 33 ثانية لأقرب ثانية.
