نسخة الفيديو النصية
كرة مربوطة في طرف حبل كتلته مهملة تتحرك بانتظام في مسار دائري نصف قطره 0.48 متر. العجلة المركزية للكرة تساوي 63 مترًا لكل ثانية مربعة. عند النقطة التي يصنع عندها الحبل زاوية قدرها 33 درجة أعلى الأفقي، ينقطع الحبل أثناء حركته للأسفل. عند هذه النقطة، يكون ارتفاع الكرة 1.5 متر رأسيًّا فوق الأرض. أوجد المسافة الأفقية بين موضع الكرة عندما انقطع الحبل وموضعها عندما لامست الأرض.
يطلب منا هذا السؤال إيجاد المسافة الأفقية التي تقطعها الكرة قبل أن تلامس الأرض بعد انقطاع الحبل عند هذه النقطة. علمنا من المعطيات قيمة العجلة المركزية للكرة، وكذلك قيمة نصف قطر المسار الدائري الذي تتحرك فيه. تذكر أن معادلة العجلة المركزية هي: 𝑎c تساوي 𝑣 تربيع على 𝑟؛ حيث 𝑣 السرعة، و𝑟 نصف القطر.
عند انقطاع الحبل، يمكننا استخدام هذه المعادلة؛ لتحديد سرعة الكرة عند تلك اللحظة، لكن بعد انقطاع الحبل، ستتبع الكرة مسارًا للأسفل على شكل قطع مكافئ. إذن، فالكرة لها سرعتان؛ سرعة أفقية وأخرى رأسية. هذا يعني أن علينا أيضًا استخدام معادلات المقذوفات.
نلاحظ أن العجلة المركزية لا تغير مقدار السرعة، ولكن تغير اتجاهها فقط. من ثم، عندما ينقطع الحبل، تتحرك الكرة بسرعة محددة 𝑣، وهذه يمكننا إيجادها باستخدام معادلة العجلة المركزية. لجعل 𝑣 في طرف بمفردها، علينا أولًا ضرب الطرفين في 𝑟، فيحذف 𝑟 من الطرف الأيمن. بعد ذلك، نأخذ الجذر التربيعي للطرفين؛ لنحذف التربيع الموجود على 𝑣.
أخبرنا السؤال أن العجلة المركزية تساوي 63 مترًا لكل ثانية مربعة، وأن نصف القطر يساوي 0.48 متر. بالتعويض بهاتين القيمتين في المعادلة، نجد أن قيمة السرعة تساوي 5.5 أمتار لكل ثانية. بما أن هذه السرعة ناتجة عن العجلة المركزية، فلا بد أن تكون هذه السرعة مماسية للمسار الدائري الذي كان الجسم يتحرك فيه؛ ومن ثم تكون مماسية عند النقطة 𝐴؛ حيث ينقطع الحبل.
عندما ينقطع الحبل، تصبح قوة الشد صفرًا. إذن، فالقوة الوحيدة المؤثرة على الكرة في ذلك الوقت هي الجاذبية. هذا يعني أنه بدءًا من هذه النقطة، يمكننا اعتبار أن هذه الكرة ستتخذ مسارًا على شكل قطع مكافئ، بسرعة ابتدائية مقدارها 5.5 أمتار لكل ثانية، وارتفاع مقداره 1.5 متر، وعجلة جاذبية مقدارها 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة. يمكننا رسم المسار التقريبي الذي ستقطعه الكرة حتى تصل إلى الأرض.
علينا الآن إيجاد مقداري السرعتين الأفقية والرأسية. ويمكننا حسابهما باستخدام الزاوية المعطاة في السؤال، وقياسها 33 درجة. لكننا لن نستخدم المثلث المعطى، بل سنستخدم هذا المثلث هنا؛ الذي يشير فيه الوتر إلى اتجاه السرعة. الزاوية التي قياسها 33 درجة هي نفسها الزاوية في هذا المثلث أيضًا؛ لأن هذين المثلثين متشابهان. حسنًا، باستخدام هذا المثلث، فإن السرعة في cos 33 درجة ستعطينا المركبة الرأسية للسرعة 𝑣𝑦، في حين أن السرعة في sin 33 درجة ستعطينا المركبة الأفقية للسرعة 𝑣𝑥.
بالتعويض بقيمة السرعة التي تساوي 5.5 أمتار لكل ثانية، نجد أن السرعة الأفقية تساوي 2.995 متر لكل ثانية، والسرعة الرأسية تساوي 4.612 أمتار لكل ثانية. نضع إشارة سالبة أمام قيمة السرعة الرأسية؛ لأنها تتجه لأسفل هنا.
وأخيرًا، دعونا نتذكر معادلتي المقذوفات. الموضع الأفقي 𝑥 يساوي الموضع الأفقي الابتدائي 𝑥 صفر زائد السرعة الأفقية الابتدائية، وهي 𝑣𝑥 في هذه الحالة، في الزمن الذي توجد فيه الكرة في الهواء 𝑡. الموضع الرأسي 𝑦 يساوي الموضع الرأسي الابتدائي 𝑦 صفر زائد السرعة الرأسية الابتدائية 𝑣𝑦 في الزمن زائد نصف عجلة الجاذبية 𝑔 في 𝑡 تربيع. في هذه الحالة، قيمة عجلة الجاذبية سالبة؛ لأنها تؤثر لأسفل.
علينا الآن إيجاد المسافة الأفقية الكلية التي تقطعها الكرة من موضعها عندما انقطع الحبل؛ أي: علينا إيجاد الموضع الأفقي ليس إلا. بما أن المسافة الأفقية الابتدائية 𝑥 صفر تساوي صفرًا، والسرعة الأفقية ثابتة، فالمعادلة ستكون على الصورة: 𝑥 تساوي 𝑣𝑥 𝑡. نحن نعلم قيمة 𝑣𝑥 بالفعل، ولذا علينا فقط إيجاد قيمة 𝑡، وهو ما يمكننا الحصول عليه من معادلة الموضع الرأسي. علينا معرفة متى تصطدم الكرة بالأرض. إذن، علينا مساواة الموضع الرأسي بالصفر، ليتبقى لدينا: صفر يساوي 𝑦 صفر زائد 𝑣𝑦𝑡 زائد نصف 𝑔𝑡 تربيع. الموضع الرأسي الابتدائي هو الارتفاع؛ أي: 1.5 متر. السرعة الرأسية الابتدائية تساوي سالب 4.62 أمتار لكل ثانية. وعجلة الجاذبية تساوي سالب 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة. دعونا إذن نعوض بهذه القيم هنا.
من المفترض أن يبدو هذا مألوفًا. سنستخدم القانون العام لإيجاد 𝑡؛ حيث المتغير، وهو 𝑡 في هذه الحالة، يساوي سالب 𝑏 زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ 𝑏 تربيع ناقص أربعة 𝑎𝑐 الكل مقسوم على اثنين 𝑎؛ حيث 𝑎 هو معامل الحد 𝑡 تربيع، وقيمته سالب نصف 9.8، وهو يساوي سالب 4.9. 𝑏 هو معامل الحد 𝑡، وقيمته سالب 4.612. 𝑐 هو الحد الثابت، وقيمته 1.5. بالتعويض بهذه القيم، نحصل على سالب 0.4706 ثانية زائد أو ناقص سالب 0.7263 ثانية.
يجب أن يكون الزمن أكبر من الصفر؛ لأنه لا يمكن أن يكون سالبًا. إذن، فالزمن يجب أن يساوي سالب 0.4706 ثانية ناقص سالب 0.7263 ثانية، وهو يساوي 0.2557 ثانية. يمكننا الآن التعويض بهذه القيمة في معادلة المسافة الأفقية الكلية، وكذلك قيمة السرعة الأفقية. 2.995 متر لكل ثانية في 0.2557 ثانية يساوي 0.767 متر، وهو يساوي 0.77 متر لأقرب منزلتين عشريتين.
إذن: المسافة الأفقية التي تقطعها الكرة بين موضعها عندما انقطع الحبل وموضعها عندما لامست الأرض تساوي 0.77 متر.
