نسخة الفيديو النصية
يرتكز جسم كتلته ٢٢٢ جرامًا على مستوى خشن يميل على الأفقي بزاوية ظلها أربعة أثلاث. ربط الجسم بخيط خفيف غير مرن يمر فوق بكرة ملساء مثبتة عند قمة المستوى بجسم كتلته ٣١٠ جرامات معلق تعليقًا حرًّا رأسيًّا أسفل البكرة. إذا كان معامل الاحتكاك بين الجسم والمستوى يساوي سدسًا، فأوجد عجلة النظام. عجلة الجاذبية الأرضية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.
حسنًا، لدينا الكثير من المعطيات في هذا السؤال. لذا سنبدأ برسم مخطط الجسم الحر؛ أي مخطط يوضح جميع العناصر الأساسية والقوى المؤثرة على كل جسم. علمنا من السؤال أن جسمًا كتلته ٢٢٢ جرامًا يرتكز على مستوى خشن يميل على الأفقي. يميل هذا المستوى على الأفقي بزاوية ظلها أربعة أثلاث. إذن دعونا نفترض أن هذه الزاوية تساوي 𝛼. يمكننا إذن قول إن ظا 𝛼 يساوي أربعة أثلاث.
سنوضح هنا الجسم الأول الذي يرتكز على المستوى. علمنا من المعطيات أن كتلة الجسم ٢٢٢ جرامًا، لكن وحدة الكتلة في وحدات النظام الدولي هي الكيلوجرام. ٢٢٢ جرامًا يكافئ ٠٫٢٢٢ كيلوجرام. هذا يتيح لنا أن نوضح على الشكل قوة لأسفل تمثل وزن الجسم الموجود على المستوى. يعطى الوزن بالعلاقة: كتلة الجسم بالكيلوجرام في ﺩ، وهي عجلة الجاذبية الأرضية. إذن، يؤثر الجسم بقوة لأسفل على المستوى مقدارها ٠٫٢٢٢ﺩ.
سنستخدم بعد ذلك قانون نيوتن الثالث للحركة. ينص هذا القانون على أنه بما أن الجسم يؤثر بقوة لأسفل على المستوى، فلا بد أن يؤثر المستوى على الجسم بقوة في الاتجاه المعاكس. في الواقع، نمثل هذه القوة باعتبارها عمودية على المستوى. دعونا نسمها ﺭ، وسنحسب قيمتها بعد قليل. بعد ذلك علمنا من المعطيات أن الجسم مربوط بخيط خفيف غير مرن يمر فوق بكرة مثبتة عند قمة المستوى بجسم كتلته ٣١٠ جرامات معلق تعليقًا حرًّا رأسيًّا أسفل البكرة كما هو موضح. مجددًا سنحول وحدة الكتلة من الجرام إلى وحدة الكيلوجرام؛ لنحصل بذلك على ٠٫٣١. ومن ثم، فإن قوة وزن هذا الجسم المؤثرة لأسفل يجب أن تساوي ٠٫٣١ في ﺩ؛ حيث ﺩ، مجددًا، هي عجلة الجاذبية الأرضية.
حسنًا، لم ننته بعد من معرفة القوى المؤثرة على كل جسم من الجسمين. هناك بالطبع قوة الشد. تؤثر هذه القوة على الجسم الأول في الاتجاه لأعلى الموازي للمستوى. وتؤثر هذه القوة على الجسم الثاني في الاتجاه المعاكس تمامًا لقوة الوزن المؤثرة لأسفل. نحن نعلم من السؤال أن معامل الاحتكاك بين الجسم والمستوى يساوي سدسًا. هذا يعني أن هناك قوة احتكاك تحاول التأثير في الاتجاه المعاكس لاتجاه حركة هذا الجسم.
قد نفترض أنه بما أن كتلة الجسم الثاني أكبر، فإن الجسم الأول سيحاول التحرك لأعلى المستوى عندما يتحرك النظام من السكون. عندئذ ستؤثر قوة الاحتكاك في الاتجاه المعاكس. هذا يعني أنها ستؤثر لأسفل المستوى. ويمكن حساب قوة الاحتكاك ﺡﻙ هذه عن طريق إيجاد ﻡﻙﺭ؛ حيث ﻡﻙ معامل الاحتكاك وﺭ قوة رد الفعل العمودي، كما هو موضح في الشكل. علمنا من السؤال أن ﻡﻙ يساوي سدسًا. وبذلك يكون لدينا جميع المعلومات التي نحتاجها لبدء حساب عجلة النظام. حسنًا، سنفترض أن عجلة النظام تساوي ﺟ. والآن دعونا نفرغ بعض المساحة.
سنبدأ بتحليل القوى المؤثرة على الجسم الأول، أي الجسم الذي يرتكز على المستوى. علينا فعل ذلك لأننا نحتاج إلى حساب قيمة قوة الاحتكاك. ولكي نفعل ذلك، علينا حساب قيمة ﺭ، وهي قوة رد الفعل العمودي. دعونا نبدأ إذن بتحليل القوى المؤثرة في الاتجاه العمودي على المستوى. مجموع هذه القوى يساوي صفرًا. في الاتجاه العمودي على المستوى، يكون الجسم نفسه في حالة اتزان. إنه لا يترك المستوى، ولا ينتقل إلى داخله. إذن لدينا قوة رد الفعل العمودي التي تؤثر في هذا الاتجاه. لكن علينا أيضًا أن نأخذ في الاعتبار قوة وزن هذا الجسم. تؤثر هذه القوة في اتجاه لا يوازي المستوى وليس عموديًّا عليه. ومن ثم سنحلل هذه القوة إلى مركبتيها.
لتحقيق ذلك، نبدأ برسم مثلث قائم الزاوية كما هو موضح. الزاوية المحصورة في هذا المثلث القائم الزاوية هي 𝛼. نحن نحاول إيجاد طول الضلع المجاور للزاوية 𝛼 في هذا المثلث. بما أن الوتر يساوي ٠٫٢٢٢ ﺩ، فإن هذه القيمة تساوي ٠٫٢٢٢ﺩ في جتا 𝛼. حسنًا، إننا لسنا بحاجة هنا إلى استخدام الدوال المثلثية العكسية لإيجاد قيمة 𝛼 هنا. بملاحظة أن أربعة وثلاثة قيمتان في إحدى ثلاثيات فيثاغورس المعروفة، يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية وإيجاد قيمتي جتا 𝛼 وجا 𝛼، مع ملاحظة أن هذا المثلث غير مرسوم بالقياسات الفعلية.
بما أن ظا 𝛼 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور، فقد يبدو المثلث بهذا الشكل تقريبًا. طول الضلع الثالث في هذا المثلث يساوي خمس وحدات. وبما أن نسبة جيب تمام الزاوية تربط بين الضلع المجاور والوتر، يمكننا قول إن جتا 𝛼 يساوي ثلاثة أخماس. وجا 𝛼 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر؛ أي أربعة أخماس. إذن، قيمة مركبة قوة الوزن هذه تساوي ٠٫٢٢٢ﺩ في ثلاثة أخماس.
والآن دعونا نكون معادلة قبل تبسيط هذا المقدار أكثر من ذلك. علينا إيجاد مجموع القوى المؤثرة في هذا الاتجاه. لذا إذا افترضنا أن اتجاه قوة رد الفعل العمودي على المستوى موجب، فإن مجموع القوى يساوي ﺭ ناقص ٠٫٢٢٢ﺩ في ثلاثة أخماس. لقد ذكرنا أن الجسم يكون في حالة اتزان في هذا الاتجاه، وعليه فإن هذا المجموع يساوي صفرًا. لإيجاد قيمة ﺭ، نضيف ٠٫٢٢٢ﺩ في ثلاثة أخماس إلى كلا طرفي المعادلة. وبالتعويض بـ ﺩ تساوي ٩٫٨ في هذه المعادلة، نحصل على ١٫٣٠٥٣٦. إذن، لقد حصلنا على قيمة قوة رد الفعل العمودي التي يؤثر بها المستوى على الجسم الأول. سنكتب قيمة هذه القوة على الشكل، ونصبح بذلك جاهزين لتحليل القوى في الاتجاه الموازي للمستوى.
دعونا نبدأ بإيجاد مركبة قوة وزن الجسم الأول التي تؤثر في هذا الاتجاه. هذه المرة، المركبة في اتجاه الضلع المقابل للزاوية 𝛼 في المثلث. إذن، المركبة تساوي ٠٫٢٢٢ﺩ في جا 𝛼، وهو ما نعلم الآن أنه يساوي ٠٫٢٢٢ﺩ في أربعة أخماس. هذه المرة، الجسم ليس في حالة اتزان؛ لأنه يتحرك كما نعلم. لذا سنستخدم المعادلة ﻕ تساوي ﻙﺟ، وسنبدأ بإيجاد مجموع القوى المؤثرة في هذا الاتجاه. بافتراض أن الاتجاه الذي يتحرك فيه الجسم موجب، يكون لدينا ﺵ في الاتجاه الموجب، والاحتكاك و ٠٫٢٢٢ﺩ في أربعة أخماس في الاتجاه السالب. إذن، يكون مجموع هذه القوى على النحو الموضح. مجموع القوى يساوي كتلة هذا الجسم في العجلة؛ أي ٠٫٢٢٢ﺟ.
يمكننا الآن استخدام حقيقة أن الاحتكاك يساوي ﻡﻙﺭ؛ حيث إن ﻡﻙ يساوي سدسًا وﺭ تساوي ١٫٣٠٥٣٦. بعد ذلك، نحسب القيمة الدقيقة لحاصل ضرب ٠٫٢٢٢ﺩ في أربعة أخماس، لتصبح المعادلة على الصورة ﺵ ناقص سدس في ١٫٣٠٥٣٦ ناقص ١٫٧٤٠٤٨ يساوي ٠٫٢٢٢ﺟ. يمكن تبسيط ذلك إلى ﺵ ناقص ١٫٩٥٨٠٤ يساوي ٠٫٢٢٢ﺟ.
نلاحظ الآن أن لدينا معادلة تتضمن مجهولين. ومن ثم إذا تمكنا من تكوين معادلة أخرى في ﺵ وﺟ، فسنتمكن من حل هاتين المعادلتين آنيًّا. لتحقيق ذلك نحلل القوى المؤثرة على الجسم الثاني. هذه عملية أسهل قليلًا. وذلك لأننا ببساطة سنحلل في اتجاه الجاذبية الأرضية. إذا افترضنا مجددًا أن الاتجاه الموجب هو الاتجاه الذي يتحرك فيه الجسم، فإن مجموع القوى الآن سيساوي ٠٫٣١ﺩ ناقص ﺵ. مرة أخرى، هذا يساوي الكتلة في العجلة؛ أي ٠٫٣١ ﺟ.
لدينا الآن معادلتان آنيتان. تذكر أننا نحاول إيجاد عجلة النظام؛ لذا سيكون من المفيد حذف ﺵ من المعادلتين. دعونا نعد ترتيب المعادلة الأولى لجعل ﺵ المتغير التابع ونعوض بقيمتها في المعادلة الثانية. هذا يعطينا ٠٫٣١ﺩ ناقص ١٫٩٥٨٠٤ زائد ٠٫٢٢٢ﺟ يساوي ٠٫٣١ﺟ. نطرح ١٫٩٥٨٠٤ من ٠٫٣١ﺩ؛ حيث ﺩ تساوي ٩٫٨؛ لنحصل بذلك على ١٫٠٧٩٩٦. بتوزيع سالب واحد على ما بداخل القوسين، يصبح لدينا في الطرف الأيمن ١٫٠٧٩٩٦ ناقص ٠٫٢٢٢ﺟ.
خطوتنا التالية هي إضافة ٠٫٢٢٢ﺟ إلى كلا الطرفين، وهو ما يعطينا ١٫٠٧٩٩٦ يساوي ٠٫٥٣٢ﺟ. في النهاية، علينا أن نقسم كلا الطرفين على ٠٫٥٣٢. هذا يعطينا ٢٫٠٣. هذه القيمة مقيسة بوحدة المتر لكل ثانية مربعة. ومن ثم نضرب هذه القيمة في ١٠٠ لنحصل على العجلة بوحدة السنتيمتر لكل ثانية مربعة. وبذلك، نكون قد أوضحنا أن عجلة النظام، ﺟ، تساوي ٢٠٣ سنتيمترات لكل ثانية مربعة.
