نسخة الفيديو النصية
ﺃﺏ قضيب مهمل الوزن، طوله ٥٤ سنتيمترًا. علق القضيب أفقيًّا من مسمار في منتصفه. أثرت قوتان مقدار كل منهما ٦٨ جذر ثلاثة نيوتن على طرفي القضيب؛ إحداهما رأسية لأعلى عند ﺃ، والأخرى رأسية لأسفل عند ﺏ. القضيب مشدود بخيط من النقطة ﺟ، يميل بزاوية قياسها ٦٠ درجة على ﺃﺏ. مقدار الشد في الخيط يساوي ١٩٢ نيوتن. ظل القضيب في حالة اتزان أفقي بواسطة قوة رابعة ﻕ تؤثر على القضيب عند النقطة ﻡ بزاوية قياسها ٦٠ درجة على ﺏﺃ. بافتراض أنه لا يوجد رد فعل على المسمار، أوجد مقدار ﻕ وطول القطعة المستقيمة ﻡﺟ.
يوجد الكثير من المعطيات في هذا السؤال. حسنًا، سنبدأ برسم مخطط الجسم الحر. نعلم أن طول القضيب ﺃﺏ يساوي ٥٤ سنتيمترًا، وأن وزنه مهمل. ونعلم أنه معلق أفقيًّا من مسمار في منتصفه ﺩ. وتوجد قوتان رأسيتان عند النقطتين ﺃ وﺏ مقدار كل منهما ٦٨ جذر ثلاثة نيوتن. تؤثر القوة عند النقطة ﺃ لأعلى، بينما تؤثر القوة عند النقطة ﺏ لأسفل. ويكون القضيب مشدودًا بخيط من النقطة ﺟ. مقدار الشد في الخيط يساوي ١٩٢ نيوتن. ويميل الخيط بزاوية قياسها ٦٠ درجة على ﺃﺏ. وأخيرًا، ثمة قوة رابعة ﻕ تؤثر على القضيب عند النقطة ﻡ بزاوية قياسها ٦٠ درجة على ﺏﺃ.
تعد القوتان عند النقطتين ﺃ وﺏ مثالًا على الازدواج المستوي، وذلك لأنهما متساويتان في المقدار ومتضادتان في الاتجاه. وهذا يعني أنه عند التحليل رأسيًّا، تلغي إحدى القوتين الأخرى. هناك قوتان أخريان تؤثران على القضيب عند النقطتين ﺟ وﻡ. وهما تصنعان الزاوية نفسها مع القضيب، ومن ثم فهما متوازيتان. ونعلم أيضًا أن النظام في حالة اتزان. هذا يعني أن هاتين القوتين يجب أن تشكلا ازدواجًا مستويًا أيضًا. وهذا يعني أن لهما نفس المقدار، أي إن ﻕ تساوي ١٩٢ نيوتن. يمكننا التحقق من ذلك بتفريغ بعض المساحة، والتحليل رأسيًّا وأفقيًّا. عندما يكون النظام في حالة اتزان، فإننا نعلم أن مجموع القوى في الاتجاه الأفقي يساوي صفرًا، ومجموع القوى في الاتجاه الرأسي يساوي صفرًا.
قبل التحليل رأسيًّا وأفقيًّا، علينا استخدام معرفتنا بحساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لإيجاد المركبتين الأفقية والرأسية للقوة التي مقدارها ١٩٢ نيوتن، والقوة ﻕ. جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر، وجتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. إذا نظرنا إلى القوة ﻕ، نلاحظ أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية كما هو موضح. وتكون المركبة الأفقية لهذه القوة مجاورة للزاوية التي قياسها ٦٠ درجة. والمركبة الرأسية مقابلة للزاوية التي قياسها ٦٠ درجة. هذا يعني أن جا ٦٠ درجة يساوي ﺹ على ﻕ، وجتا ٦٠ درجة يساوي ﺱ على ﻕ.
نعلم أن جا ٦٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين، وجتا ٦٠ درجة يساوي نصفًا. يمكننا ضرب كلا طرفي المعادلتين في ﻕ، ليعطينا ﺹ يساوي جذر ثلاثة على اثنين ﻕ، وﺱ يساوي نصف ﻕ. وبهذا، نحصل على المركبتين الرأسية والأفقية للقوة ﻕ، على الترتيب. يمكننا تكرار هذه العملية مع القوة التي مقدارها ١٩٢ نيوتن. المركبة الأفقية لهذه القوة تساوي ١٩٢ مضروبًا في جتا ٦٠ درجة، وهو ما يساوي ٩٦ نيوتن، وتأثيرها في اتجاه اليسار. والمركبة الرأسية تساوي ١٩٢ مضروبًا في جا ٦٠ درجة، وهو ما يساوي ٩٦ جذر ثلاثة نيوتن، وتأثيرها يكون رأسيًّا لأعلى.
الآن، يمكننا التحليل أفقيًّا ورأسيًّا. إذا افترضنا أن الاتجاه الموجب هو اتجاه اليمين، فإن مجموع القوى الأفقية يساوي نصف ﻕ ناقص ٩٦. ونحن نعرف أن ذلك يساوي صفرًا. بإضافة ٩٦ إلى كلا الطرفين ثم ضرب الطرفين في اثنين، نحصل على ﻕ يساوي ١٩٢. وهذا يؤكد إجابتنا بأن ﻕ تساوي ١٩٢ نيوتن. لقد كان بإمكاننا أيضًا التحليل رأسيًّا. بجعل الاتجاه الموجب رأسيًّا لأعلى، نحصل على المعادلة التالية. ٦٨ جذر ثلاثة ناقص جذر ثلاثة على اثنين ﻕ زائد ٩٦ جذر ثلاثة ناقص ٦٨ جذر ثلاثة يساوي صفرًا. يلغي المقداران ٦٨ جذر ثلاثة أحدهما الآخر. ومن ثم، يمكننا قسمة كلا الطرفين على جذر ثلاثة. وهذا يعطينا سالب ﻕ على اثنين زائد ٩٦ يساوي صفرًا. بإضافة ﻕ على اثنين إلى كلا الطرفين ثم ضرب الطرفين في اثنين، نحصل مرة أخرى على الإجابة ١٩٢ نيوتن.
مطلوب منا في الجزء الثاني من السؤال حساب طول القطعة المستقيمة ﻡﺟ. لكي نفعل ذلك، سنحسب العزوم حول نقطة ما على القضيب. وبما أن القضيب في حالة اتزان، نعلم أن مجموع العزوم يساوي صفرًا. وسنعتبر أن الاتجاه الموجب يكون عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. نحن نتعامل مع ازدواجين مستويين، وبالتالي، فإن القوتين اللتين لهما المقدار نفسه يجب أن تكونا على مسافة متساوية من مركز القضيب. إذا افترضنا أن طول كل من ﻡﺩ وﺩﺟ يساوي ﺱ سنتيمتر، فإن طول ﻡﺟ الذي نحاول حسابه يساوي اثنين ﺱ سنتيمتر.
نعلم أن عزم أي قوة يساوي مقدار القوة مضروبًا في المسافة العمودية على النقطة التي نحسب عندها العزوم. ومع أنه يمكننا حساب العزوم حول أي نقطة على القضيب، فإننا في هذه المسألة سنحسب العزوم حول النقطة ﺩ. تؤثر القوتان اللتان مقدار كل منهما ٩٦ جذر ثلاثة نيوتن عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول هذه النقطة. وهذا يعني أن عزمهما يكون موجبًا. في كلتا الحالتين، لدينا ٩٦ جذر ثلاثة مضروبًا في ﺱ. وهذا يعادل اثنين مضروبًا في ٩٦ جذر ثلاثة ﺱ، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ١٩٢ جذر ثلاثة ﺱ.
تؤثر القوتان الأخريان في اتجاه دوران عقارب الساعة حول النقطة ﺩ. وهذا يعني أن عزمهما يكون سالبًا. وكلتا هاتين القوتين تؤثران على مسافة عمودية قياسها ٢٧ سنتيمترًا من ﺩ. هذا يعني أن عزمهما يساوي سالب ٦٨ جذر ثلاثة مضروبًا في ٢٧. وبما أن مجموع العزوم يساوي صفرًا، نجد أن ١٩٢ جذر ثلاثة ﺱ ناقص ٣٦٧٢ جذر ثلاثة يساوي صفرًا. يمكننا قسمة كلا الطرفين على جذر ثلاثة ثم إضافة ٣٦٧٢ إلى كلا طرفي المعادلة. وبقسمة الطرفين على ١٩٢، نحصل على ﺱ يساوي ١٩٫١٢٥. يمكننا الآن التعويض بهذا الناتج لحساب طول ﻡﺟ. ومن ثم، نجد أن ﻡﺟ يساوي ٣٨٫٢٥ سنتيمترًا.
باستخدام ما نعرفه عن الازدواجات المستوية، وعن طريق التحليل وحساب العزوم، نجد أن مقدار القوة ﻕ يساوي ١٩٢ نيوتن، وأن طول القطعة المستقيمة ﻡﺟ يساوي ٣٨٫٢٥ سنتيمترًا.
