فيديو السؤال: استخدام نظرية ديموافر لاستنتاج متطابقات مثلثية الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

استخدم نظرية ديموافر للتعبير عن ظا خمسة 𝜃 بدلالة قوى ظا 𝜃.

سنبدأ بتذكر نظرية ديموافر. إنها تخبرنا ببساطة أن ﻫ أس ﺕ𝜃 يساوي جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃. بالطبع، سيكون ما نتعامل معه في النهاية هو ظا خمسة 𝜃. لذا، سنستخدم المتطابقة المثلثية ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃. لكن هذا سيحدث لاحقًا في الفيديو. في الحقيقة، لدينا الآن ظا خمسة 𝜃. ونحن نعلم أن ظا خمسة 𝜃 يساوي جا خمسة 𝜃 على جتا خمسة 𝜃. لذا، سيكون علينا إيجاد طريقة للتعبير عن نظرية ديموافر بدلالة خمسة 𝜃. حسنًا، سنبدأ برفع كلا طرفي نظرية ديموافر للقوة الخامسة.

عندما نفعل ذلك في الطرف الأيمن، نحصل على ﻫ أس خمسة ﺕ𝜃. وفي الطرف الأيسر، لدينا جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 أس خمسة. وتخبرنا نظرية ديموافر أنه يمكننا التعبير عن ﻫ أس خمسة ﺕ𝜃 على صورة: جتا خمسة 𝜃 زائد ﺕ جا خمسة 𝜃. لكن في الطرف الأيسر، سنستخدم نظرية ذات الحدين لتوزيع الأقواس. وتنص على أن: ﺃ زائد ﺏ أس ﻥ يساوي المجموع من ﻙ يساوي صفرًا إلى ﻥ لـ ﻥ توافيق ﻙ في ﺃ أس ﻥ ناقص ﻙ في ﺏ أس ﻙ. عندما يكون ﻥ مساويًا لخمسة، فإن ﺃ زائد ﺏ أس خمسة يساوي ﺃ أس خمسة زائد خمسة توافيق واحد في ﺃ أس أربعة ﺏ زائد خمسة توافيق اثنين ﺃ تكعيب ﺏ تربيع، وهكذا.

سنعوض عن ﺃ بـ جتا 𝜃، وعن ﺏ بـ ﺕ جا 𝜃. وسنجد أن الحد الأول في مفكوك ذات الحدين هو جتا 𝜃 أس خمسة. وخمسة توافيق واحد يساوي ببساطة خمسة. إذن، الحد الثاني سيصبح خمسة جتا 𝜃 أس أربعة في ﺕ جا 𝜃. وحسب ما هو متعارف عليه سننقل ﺕ إلى مقدمة هذا الحد. الحد الثالث هو خمسة توافيق اثنين، وهو ما يساوي ١٠، إذن سنحصل على ١٠ جتا تكعيب 𝜃 في ﺕ جا 𝜃 تربيع. سنوزع الأس اثنين على القوس، ليصبح ذلك ﺕ تربيع جا تربيع 𝜃. لكننا بالطبع نعلم أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. إذن، الحد الثالث هو في الحقيقة سالب ١٠ جتا تكعيب 𝜃 جا تربيع 𝜃. وخمسة توافيق ثلاثة يساوي ١٠ أيضًا. إذن، الحد الرابع يساوي ١٠ جتا تربيع 𝜃 في ﺕ جا 𝜃 تكعيب.

نكتب ﺕ جا 𝜃 تكعيب على صورة: ﺕ تكعيب جا تكعيب 𝜃. وإذا اعتبرنا أن ﺕ تكعيب يساوي ﺕ تربيع في ﺕ، فسنجد أنه يساوي سالب ﺕ أيضًا. ولهذا، سنكتب الحد الرابع كما هو موضح بدلًا من ذلك. بعد ذلك، لدينا خمسة جتا 𝜃 في ﺕ جا 𝜃 أس أربعة. هذه المرة، عند توزيع الأقواس، سنحصل على ﺕ أس أربعة في جا 𝜃 أس أربعة. ‏‏ﺕ أس أربعة يساوي ﺕ تربيع في ﺕ تربيع؛ أي ما يساوي سالب واحد في سالب واحد، وهو ما يساوي ببساطة واحدًا. وهكذا، يصبح الحد الخامس خمسة جتا 𝜃 جا 𝜃 أس أربعة. ويصبح الحد الأخير ﺕ جا 𝜃 أس خمسة.

ونكتب ذلك على صورة: ﺕ أس خمسة في جا 𝜃 أس خمسة. وﺕ أس خمسة يساوي ﺕ أس أربعة في ﺕ. هذا يساوي واحدًا في ﺕ؛ أي ببساطة ﺕ. ومن ثم، فإن الحد السادس والأخير هو ﺕ جا 𝜃 أس خمسة. يمكننا تبسيط ذلك قليلًا بتجميع الأجزاء الحقيقية والتخيلية. وسنجد أن المعادلة أصبحت جتا خمسة 𝜃 زائد ﺕ جا خمسة 𝜃 يساوي جتا 𝜃 أس خمسة ناقص ١٠ جتا تكعيب 𝜃 جا تربيع 𝜃 زائد خمسة جتا 𝜃 جا 𝜃 أس أربعة زائد ﺕ في خمسة جتا 𝜃 أس أربعة جا 𝜃 ناقص ١٠ جتا تربيع 𝜃 جا تكعيب 𝜃 زائد جا 𝜃 أس خمسة. والآن، نحن على استعداد لمساواة الأجزاء الحقيقية والتخيلية.

في الطرف الأيمن، الجزء الحقيقي من المقدار هو جتا خمسة 𝜃. وفي الطرف الأيسر، هو جتا 𝜃 أس خمسة ناقص ١٠ جتا تكعيب 𝜃 جا تربيع 𝜃 زائد خمسة جتا 𝜃 جا 𝜃 أس أربعة. أصبح لدينا الآن معادلة لـ جتا خمسة 𝜃. بعد ذلك، سنساوي الأجزاء التخيلية. تذكر أنها معامل ﺕ. لذا في الطرف الأيمن، لدينا جا خمسة 𝜃. وفي الطرف الأيسر، لدينا خمسة جتا 𝜃 أس أربعة جا 𝜃 ناقص ١٠ جتا تربيع 𝜃 جا تكعيب 𝜃 زائد جا 𝜃 أس خمسة. وبهذا يصبح لدينا معادلة لـ جا خمسة 𝜃.

سنفرغ بعض المساحة للخطوة التالية. في هذه المرحلة، نكون قد أوشكنا على الوصول إلى الإجابة. علينا الآن العودة إلى المتطابقة التي ذكرناها من قبل. وهي ظا خمسة 𝜃 يساوي جا خمسة 𝜃 على جتا خمسة 𝜃. سنقسم المقدار الذي يعبر عن جا خمسة 𝜃 بالكامل على المقدار الذي يعبر عن جتا خمسة 𝜃 بالكامل. وبهذا، سنحصل على مقدار يعبر عن ظا خمسة 𝜃، لكنه بدلالة جتا 𝜃 وجا 𝜃. ونحن في هذا السؤال الآن نريده بدلالة ظا 𝜃 فقط. لذا ما سنفعله هو قسمة بسط هذا الكسر ومقامه على جتا 𝜃 أس خمسة. وسيتضح لنا السبب بعد قليل.

الحد الأول في البسط خمسة جتا 𝜃 أس أربعة جا 𝜃 يصبح خمسة جتا 𝜃 أس أربعة جا 𝜃 مقسومًا على جتا 𝜃 أس خمسة. يمكننا بعد ذلك قسمة كل من بسط هذا المقدار المنفرد ومقامه على جتا 𝜃 أس أربعة. لذا، يتبقى لدينا خمسة جا 𝜃 في البسط وجتا 𝜃 في المقام. حسنًا، جا 𝜃 على جتا 𝜃 يساوي بالطبع ظا 𝜃. إذن، أصبح لدينا خمسة ظا 𝜃 باعتباره الحد الأول في البسط. سنكرر هذا مع الحد الثاني في البسط. فنحصل على ١٠ جتا تربيع 𝜃 جا تكعيب 𝜃 على جتا 𝜃 أس خمسة.

بعد ذلك سنقسم كلًا من بسط هذا الحد ومقامه على جتا تربيع 𝜃. فنحصل على ١٠ جا تكعيب 𝜃 على جتا تكعيب 𝜃. لكن بالطبع جا تكعيب 𝜃 على جتا تكعيب 𝜃 يساوي ظا تكعيب 𝜃. وهكذا، سيكون الحد الثاني في البسط هو سالب ١٠ ظا تكعيب 𝜃. الحد الثالث في البسط لدينا سيكون جا 𝜃 أس خمسة على جتا 𝜃 أس خمسة، وهو ما يساوي ظا 𝜃 أس خمسة. سنكرر ذلك مع المقام. ‏‏جتا 𝜃 أس خمسة مقسومًا على جتا 𝜃 أس خمسة؛ أي هذا الحد الأول هنا، يساوي واحدًا. الحد الثاني هو سالب ١٠ جتا تكعيب 𝜃 جا تربيع 𝜃 على جتا 𝜃 أس خمسة.

هذه المرة، سنقسم كلًا من البسط والمقام على جتا تكعيب. إذن، يتبقى لدينا سالب ١٠ جا تربيع 𝜃 على جتا تربيع 𝜃، وهو ما يساوي سالب ١٠ ظا تربيع 𝜃. الحد الثالث لدينا في المقام هو خمسة جتا 𝜃 جا 𝜃 أس أربعة الكل على جتا 𝜃 أس خمسة. هذه المرة سنقسم ببساطة البسط والمقام على جتا 𝜃. ويمكننا كتابة جا 𝜃 أس أربعة على جتا 𝜃 أس أربعة على صورة ظا 𝜃 أس أربعة. وهكذا حصلنا على خمسة ظا 𝜃 ناقص ١٠ ظا تكعيب 𝜃 زائد ظا 𝜃 أس خمسة على واحد ناقص ١٠ ظا تربيع 𝜃 زائد خمسة ظا 𝜃 أس أربعة.