فيديو السؤال: حساب الإزاحة المحصلة الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

يقضي سائح إجازته في موقع للتخييم، كما هو موضح في الشكل. يوجد مساران من موقع التخييم، أحدهما يؤدي إلى الشرق لبعض المحلات. تقول لافتة عند الموقع إن المحلات تقع على مسافة 100 متر، وإن المسار الآخر طوله 130 مترًا ويؤدي إلى بعض الأطلال. يمشي السائح إلى المحلات ويرى لافتة هناك تقول إن المرأب يقع على بعد 230 مترًا إلى الشمال. يقع المرأب على بعد 320 مترًا غربًا من أقرب مدينة إلى موقع التخييم. ما مقدار الإزاحة من الأطلال إلى المدينة، لأقرب متر؟

يطلب منا السؤال إيجاد مقدار الإزاحة من الأطلال، وهي هذه النقطة هنا على الشكل، إلى المدينة، وهي هذه النقطة هنا. يمكن تمثيل متجه الإزاحة هذا بسهم ذيله عند موضع الأطلال ورأسه عند موضع المدينة. مقدار الإزاحة هو طول السهم. يمكننا تحديد مثلث قائم الزاوية في الشكل، وهو ما أوضحناه باللون الأزرق. نعلم أن هذه الزاوية يجب أن تساوي 90 درجة لأن السؤال أخبرنا أن هذا المسار يتجه إلى الشمال. وأن المدينة تقع شرق المرأب، إذن هذا الشارع يتجه إلى الشرق.

يمثل وتر هذا المثلث القائم الزاوية متجه الإزاحة من الأطلال إلى المدينة. أما الضلعان الآخران، فأحدهما هو طول المسار الشمالي بين الأطلال والمرأب، والآخر هو الشارع الرئيسي الذي يتجه إلى الغرب من المدينة إلى المرأب. نحن نعلم أن طول الشارع بين المرأب والمدينة 320 مترًا. لكننا لا نعلم طول المسار الشمالي بين الأطلال والمرأب.

ما نعرفه هو أن المرأب يقع شمال المحلات على مسافة 230 مترًا. هذه الـ 230 مترًا يجب أن تساوي المسافة من الأطلال إلى المرأب، وهو هذا الضلع في المثلث، زائد المسافة من المحلات إلى الأطلال. إذن، إذا رمزنا إلى المسافة من المحلات إلى الأطلال بالرمز ‪𝑥‬‏ واحد، والمسافة من الأطلال إلى المرأب بالرمز ‪𝑥‬‏ اثنين، فإن المسافة التي مقدارها 230 مترًا تساوي ‪𝑥‬‏ واحد زائد ‪𝑥‬‏ اثنين.

يمكننا أيضًا تحديد مثلث آخر قائم الزاوية في الشكل. بما أننا نعلم أن هذا المسار يتجه إلى الشمال، وهذا المسار يتجه إلى الشرق، فلا بد أن يكون قياس هذه الزاوية 90 درجة. نحن نركز على المثلثات القائمة الزاوية في هذا الشكل حتى يتسنى لنا استخدام نظرية فيثاغورس لمساعدتنا في حل هذا السؤال. مقدار الإزاحة الذي نحاول إيجاده يساوي طول وتر المثلث القائم الزاوية في الشكل. تربط نظرية فيثاغورس طول الوتر في المثلث القائم الزاوية بطولي الضلعين الآخرين.

إذا كان لدينا مثلث قائم الزاوية طول وتره ‪𝑐‬‏ وطولا الضلعين الآخرين فيه ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏، تنص نظرية فيثاغورس على أن ‪𝑐‬‏ تربيع يساوي ‪𝑎‬‏ تربيع زائد ‪𝑏‬‏ تربيع. إذا أخذنا الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة، فسنجد أن طول الوتر ‪𝑐‬‏ يساوي الجذر التربيعي لـ ‪𝑎‬‏ تربيع زائد ‪𝑏‬‏ تربيع. إذا نظرنا إلى هذا المثلث هنا في الشكل، فسنجد أن طول الوتر هو مقدار الإزاحة الذي نحاول إيجاده. يمكننا أن نلاحظ أن طول أحد الضلعين الآخرين في المثلث يساوي 320 مترًا، وأن طول الضلع الآخر الذي يشار إليه بالرمز ‪𝑥‬‏ اثنين مجهول.

إذن، إذا تمكنا من إيجاد قيمة هذه الكمية المجهولة ‪𝑥‬‏ اثنين، فسيمكننا استخدامها مع القيمة 320 مترًا، باعتبارهما قيمتي ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ في الطرف الأيمن من المعادلة من نظرية فيثاغورس. ولإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏ اثنين، سنستخدم هذه المعادلة هنا. إذا طرحنا ‪𝑥‬‏ واحد من طرفي المعادلة، فسنجد أن ‪𝑥‬‏ واحد وسالب ‪𝑥‬‏ واحد يلغي كل منهما الآخر في الطرف الأيمن. إذن، نجد أن ‪𝑥‬‏ اثنين يساوي 230 مترًا ناقص ‪𝑥‬‏ واحد. هذا يعني أنه إذا تمكنا من إيجاد قيمة ‪𝑥‬‏ واحد، فكل ما علينا فعله هو طرح هذه القيمة من 230 مترًا للحصول على قيمة ‪𝑥‬‏ اثنين.

لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏ واحد، يمكننا أن نلاحظ أنه أحد ضلعي المثلث القائم الزاوية الآخر. وفي هذا المثلث، نعلم أن طول الوتر يساوي 130 مترًا، وطول الضلع الآخر يساوي 100 متر. إذا قارنا هذا المثلث بالمثلث العام من نظرية فيثاغورس، نجد أن الوتر الذي طوله 130 مترًا يمثل الضلع ‪𝑐‬‏، والضلع الأفقي الذي طوله 100 متر يمثل الضلع ‪𝑎‬‏، والضلع ‪𝑥‬‏ واحد يمثل الضلع ‪𝑏‬‏. إذن، في هذه المعادلة الخاصة بنظرية فيثاغورس، نعرف قيمتي ‪𝑐‬‏ و‪𝑎‬‏. ونريد إيجاد قيمة ‪𝑏‬‏. هذا يعني أننا نريد إعادة ترتيب المعادلة لجعل ‪𝑏‬‏ في طرف بمفرده.

ولفعل ذلك، نطرح ‪𝑎‬‏ تربيع من طرفي المعادلة أولًا. في الطرف الأيمن، يلغي ‪𝑎‬‏ تربيع وسالب ‪𝑎‬‏ تربيع كل منهما الآخر؛ وبذلك يتبقى لدينا ‪𝑏‬‏ تربيع يساوي ‪𝑐‬‏ تربيع ناقص ‪𝑎‬‏ تربيع. إذا أخذنا الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، نجد أن الجذر التربيعي لـ ‪𝑏‬‏ تربيع في الطرف الأيسر يساوي ‪𝑏‬‏ ببساطة. إذن، نحصل على ‪𝑏‬‏ يساوي الجذر التربيعي لـ ‪𝑐‬‏ تربيع ناقص ‪𝑎‬‏ تربيع. دعونا الآن نفرغ بعض المساحة حتى نتمكن من التعويض عن ‪𝑐‬‏بـ 130 مترًا وعن ‪𝑎‬‏ بـ 100 متر في هذه المعادلة.

لقد نقلنا المعادلة التي تربط ‪𝑥‬‏ اثنين و‪𝑥‬‏ واحد هنا على اليسار ويمكننا الآن التعويض بالقيم في هذه المعادلة. بدلًا من ‪𝑏‬‏، لدينا طول الضلع ‪𝑥‬‏ واحد، وهذا يساوي الجذر التربيعي لمربع 130 مترًا ناقص مربع 100 متر. إذن، لدينا مربع طول الوتر ‪𝑐‬‏ ناقص مربع طول الضلع الآخر ‪𝑎‬‏ داخل الجذر التربيعي. مربع 130 مترًا ناقص مربع 100 متر يساوي 6900 متر مربع. وبحساب قيمة الجذر التربيعي، نجد أن ‪𝑥‬‏ واحد يساوي 83.066 مترًا. تشير هذه النقاط الثلاث هنا إلى أن هذا الناتج يتضمن منازل عشرية أخرى.

والآن بعد أن حصلنا على قيمة ‪𝑥‬‏ واحد، يمكننا استخدام هذه المعادلة لحساب ‪𝑥‬‏ اثنين. بأخذ قيمة ‪𝑥‬‏ واحد والتعويض بها في هذه المعادلة، نحصل على ‪𝑥‬‏ اثنين يساوي 230 مترًا ناقص 83.066 مترًا، وهو ما يساوي 146.934 مترًا. إذا حولنا انتباهنا إلى هذا المثلث الموجود في الشكل، فسنلاحظ أننا نعرف طولي ضلعي القائمة. إذن، إذا عوضنا عن ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ بهاتين القيمتين في هذه المعادلة من نظرية فيثاغورس، فإن قيمة ‪𝑐‬‏ التي سنحسبها ستكون طول الوتر. وقد رأينا بالفعل أن طول هذا الوتر يساوي مقدار الإزاحة من الأطلال إلى المدينة، وهو المطلوب منا إيجاده بالضبط.

دعونا نفرغ مساحة أكبر ونعوض بالقيم في هذه المعادلة من نظرية فيثاغورس. تنص المعادلة على أن ‪𝑐‬‏ يساوي الجذر التربيعي لـ ‪𝑎‬‏ تربيع زائد ‪𝑏‬‏ تربيع. في هذه الحالة، ‪𝑐‬‏ هو طول هذا الوتر هنا. وبدلًا من ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏، لدينا 320 مترًا و146.934 مترًا. بحساب مربع 320 مترًا زائد مربع 146.934 مترًا، نحصل على 123989.53 مترًا مربعًا. وبحساب قيمة الجذر التربيعي، نجد أن ‪𝑐‬‏ يساوي 352.12 مترًا. وبما أنه مطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب متر، فعلينا تقريب قيمة ‪𝑐‬‏. بالتقريب لأقرب متر، نحصل على الإجابة، وهي أن مقدار الإزاحة من الأطلال إلى المدينة يساوي 352 مترًا.