فيديو السؤال: استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لإيجاد طول مجهول في سياق مسألة حياتية تتضمن زوايا ارتفاع الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في الشكل الموضح، يميل سلم طوله ١٥ قدمًا على حائط بزاوية ارتفاع ٧٠ درجة. ما الارتفاع الذي قد يصل إليه الحائط؟ قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

نلاحظ في الشكل المعطى أن السلم والحائط والأرض تكون مثلثًا قائم الزاوية. دعونا نبدأ بإضافة المعلومات المعطاة في السؤال إلى الشكل. علمنا أولًا أن طول السلم ١٥ قدمًا. وهذا هو طول القطعة المستقيمة التي تصل بين النقطتين ﺃ وﺏ. بعد ذلك، علمنا أن قياس زاوية الارتفاع يساوي ٧٠ درجة. وزاوية الارتفاع هي الزاوية التي تتكون بين الخط الأفقي وخط الرؤية عند النظر لأعلى باتجاه شيء ما. إذن إذا وقفنا عند قاعدة السلم ونظرنا لأعلى نحو قمة السلم، فسنجد أن الزاوية المحصورة بين الخط الأفقي وخط الرؤية هي هذه الزاوية هنا. ومن ثم، يمكننا إضافة القيمة ٧٠ درجة إلى الشكل.

يطلب منا السؤال إيجاد الارتفاع الذي يصل إليه السلم على الحائط. لذا علينا حساب طول القطعة المستقيمة ﺏﺟ التي يمكننا تسميتها ﺱ قدم. وبما أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية نعرف طول أحد أضلاعه وقياس إحدى زواياه، ونريد حساب طول ضلع آخر فيه، يمكننا حل هذه المسألة باستخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية. يمكننا تسمية أضلاع هذا المثلث حسب علاقاتها بالزاوية التي قياسها ٧٠ درجة. الضلع الذي نريد حساب طوله؛ أي ﺏﺟ، هو الضلع المقابل. والضلع الذي نعرف طوله؛ أي ﺃﺏ، هو الوتر.

نبدأ بتذكر النسب المثلثية — الجيب وجيب التمام والظل، نلاحظ أن علينا استخدام نسبة الجيب في هذا السؤال. وتعرف على النحو الآتي. لأي زاوية، 𝜃، في مثلث قائم الزاوية، فإن جيب الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر. نحن نعلم قيمة 𝜃 في هذا المثلث، وهي ٧٠ درجة. كما نعرف طول الوتر، وهو ١٥ قدمًا. يمكننا إذن التعويض بهاتين القيمتين لتكوين معادلة. كذلك يمكننا التعويض بـ ﺱ ليمثل طول الضلع المقابل. وبذلك نحصل على المعادلة: جا ٧٠ درجة يساوي ﺱ على ١٥.

يمكننا الآن حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ. ونفعل ذلك بضرب طرفي المعادلة في ١٥، فنحصل على ﺱ يساوي ١٥ في جا ٧٠ درجة. كل ما علينا فعله الآن هو حساب ذلك باستخدام الآلة الحاسبة، مع التأكد من ضبطها على وضع الدرجات. هذا يعطينا ١٤٫٠٩٥٣، وهكذا مع توالي الأرقام. يوضح لنا السؤال أن علينا تقريب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين. وبما أن الرقم الموجود في الخانة العشرية الثالثة هو خمسة، فإننا نقرب لأعلى إلى ١٤٫١٠. هذه إجابة منطقية؛ لأن الضلع الذي طوله ﺱ قدم هو أحد الضلعين القصيرين في هذا المثلث القائم الزاوية. ومن ثم، يجب أن يكون الطول لدينا أقل من طول الوتر الذي يساوي ١٥ قدمًا.

إذن، بتذكر أن زاوية الارتفاع هي الزاوية التي تقاس من الخط الأفقي إلى خط الرؤية عند النظر لأعلى باتجاه شيء ما، ثم باستخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية، وجدنا أن هذا السلم سيصل إلى ارتفاع ١٤٫١٠ قدمًا على الحائط. وهذه القيمة مقربة لأقرب منزلتين عشريتين.