فيديو السؤال: إيجاد معادلة خط الانحدار لنموذج انحدار خطي الرياضيات

يوضح الجدول الآتي العلاقة بين المتغيرين ﺱ، ﺹ. أوجد معادلة خط الانحدار على الصورة ﺹ هات = ﺃ + ﺏﺱ. وقرب قيمتي ﺃ، ﺏ لأقرب ٣ منازل عشرية.

١٣:١٠

‏نسخة الفيديو النصية

يوضح الجدول الآتي العلاقة بين المتغيرين ﺱ وﺹ. أوجد معادلة خط الانحدار على الصورة ﺹ هات يساوي ﺃ زائد ﺏﺱ. وقرب قيمتي ﺃ وﺏ لأقرب ثلاث منازل عشرية.

في هذا السؤال، لدينا جدول نقاط بيانات يوضح العلاقة بين متغيرين؛ وهما المتغير ﺱ والمتغير ﺹ. وعلينا استخدام هذا الجدول لإيجاد معادلة خط الانحدار الذي يربط بين ﺱ وﺹ. إنه خط أفضل مطابقة. مطلوب منا إيجاد الإجابة على الصورة ﺹ هات يساوي ﺃ زائد ﺏﺱ. ومطلوب منا أيضًا تقريب قيمتي ﺃ وﺏ لأقرب ثلاث منازل عشرية.

للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ بتذكر كيفية إيجاد خط الانحدار باستخدام المربعات الصغرى الذي يربط بين المتغيرين ﺱ وﺹ. تذكر أنه لإيجاد خط الانحدار باستخدام المربعات الصغرى بين المتغيرين ﺱ وﺹ، يمكننا استخدام الصيغة التالية. ‏ﺏ يساوي ﻉﺱﺹ مقسومًا على ﻉﺱﺱ؛ حيث ﻉﺱﺹ هو مقياس التغاير بين ﺱ وﺹ، وﻉﺱﺱ هو مقياس تغاير ﺱ. وقيمة ﺃ تساوي ﺹ بار ناقص ﺏ في ﺱ بار؛ حيث ﺱ بار هو الوسط الحسابي لقيم ﺱ، وﺹ بار هو الوسط الحسابي لقيم ﺹ. وبالطبع، هذه الصيغة وحدها غير كافية لإيجاد قيمتي ﺃ وﺏ. إننا نحتاج أيضًا إلى صيغ ﻉﺱﺹ وﻉﺱﺱ وﺹ بار وﺱ بار.

دعونا نسترجع أولًا أن ﻉﺱﺱ يساوي مجموع قيم ﺱ تربيع ناقص مجموع قيم ﺱ الكل تربيع على ﻥ، وﻉﺱﺹ يساوي مجموع قيم ﺱ في قيم ﺹ ناقص مجموع قيم ﺱ في مجموع قيم ﺹ على ﻥ. ونحن نعرف كيفية إيجاد الوسط الحسابي لقيم ﺱ وقيم ﺹ. الوسط الحسابي لقيم ﺱ هو إجمالي نقاط بيانات ﺱ مقسومًا على عدد نقاط البيانات. أي هو مجموع قيم ﺱ على ﻥ. وبالمثل، يكون الوسط الحسابي لقيم ﺹ؛ فهو يساوي مجموع قيم ﺹ على ﻥ.

والآن، يمكننا أن نبدأ خطوات إيجاد معادلة خط الانحدار. لكن هناك العديد من الأمور التي علينا أخذها في الاعتبار. على الرغم من أن هذا الأمر يبدو شديد التعقيد، فإن هناك خمس قيم فقط علينا إيجادها. علينا إيجاد قيمة ﻥ، ومجموع قيم ﺱ، ومجموع قيم ﺹ، ومجموع قيم ﺱ في قيم ﺹ، ومجموع قيم ﺱ تربيع. وبمجرد إيجاد هذه القيم الخمس، لن يكون علينا سوى التعويض بها في الصيغتين لدينا لإيجاد قيمتي ﺃ وﺏ.

سنوجد هذه القيم واحدة تلو الأخرى. دعونا نبدأ بقيمة ﻥ. ‏ﻥ هو عدد نقاط البيانات. يمكننا في الواقع ملاحظة ذلك مباشرة من الجدول. ويمكننا ملاحظة أن هناك ست نقاط بيانات فقط في هذا المثال. إذن، قيمة ﻥ هي ستة. ويمكننا أيضًا إيجاد مجموع قيم ﺱ ومجموع قيم ﺹ من الجدول. دعونا نبدأ بمجموع قيم ﺱ. كل ما علينا فعله هو جمع كل قيم ﺱ الموجودة في الجدول معًا. في هذه الحالة، يكون مجموع قيم ﺱ هو ١٠ زائد ٢٢ زائد ٢٢ زائد ١٣ زائد ١٦ زائد ٢١. ويمكننا حساب ذلك. ونجد أنه يساوي ١٠٤.

يمكننا فعل الأمر نفسه لإيجاد مجموع قيم ﺹ. إننا نريد فقط جمع كل قيم ﺹ الموجودة في الجدول. في هذه الحالة، يكون مجموع قيم ﺹ هو ٢٥ زائد ١٨ زائد ٢٤ زائد ٢٥ زائد ١٢ زائد ١٧. ثم يمكننا حساب ذلك. ونجد أن مجموع قيم ﺹ يساوي ١٢١. هذا يعني أننا تمكنا حتى الآن من إيجاد قيمة ﻥ ومجموع قيم ﺱ ومجموع قيم ﺹ. ما زال لدينا قيمتان أخريان علينا حسابهما. دعونا الآن نوجد مجموع قيم ﺱ تربيع. لإيجاد مجموع قيم ﺱ تربيع، علينا تربيع كل قيم ﺱ الموجودة في الجدول ثم جمعها معًا. من الجدول، نجد أن مجموع قيم ﺱ تربيع يساوي ١٠ تربيع زائد ٢٢ تربيع زائد ٢٢ تربيع زائد ١٣ تربيع زائد ١٦ تربيع زائد ٢١ تربيع. وإذا حسبنا ذلك، فسنحصل على ١٩٣٤.

لم يتبق سوى قيمة واحدة علينا حسابها. علينا إيجاد مجموع قيم ﺱ مضروبة في قيم ﺹ. حساب ذلك أصعب قليلًا؛ لأننا نريد إيجاد مجموع قيم ﺱ مضروبة في قيم ﺹ لكل نقطة من نقاط البيانات في الجدول. دعونا نبدأ بالعمود الأول في الجدول. قيمة ﺱ هي ١٠، وقيمة ﺹ هي ٢٥. علينا ضرب هاتين القيمتين معًا لنحصل على ١٠ في ٢٥. وعلينا تطبيق الأمر نفسه في العمود الثاني في الجدول. لدينا قيمة ﺱ التي تساوي ٢٢، وقيمة ﺹ هي ١٨. سنضرب هاتين القيمتين معًا لنحصل على ٢٢ في ١٨. وسنضيف ذلك إلى حاصل الضرب السابق.

وعلينا إجراء هذه العملية مع جميع الأعمدة في الجدول، لنحصل على المقدار التالي لمجموع قيم ﺱﺹ. وإذا حسبنا قيمة هذا المقدار، فسنجد أن مجموع قيم ﺱﺹ يساوي ٢٠٤٨. والآن بعد أن أوجدنا قيمة ﻥ ومجموع قيم ﺱ ومجموع قيم ﺹ ومجموع قيم ﺱ تربيع ومجموع قيم ﺱ في قيم ﺹ، أصبح بإمكاننا إيجاد قيمتي ﺃ وﺏ. وتجدر الإشارة هنا إلى أنه يجب أن نبدأ دائمًا بقيمة ﺏ؛ لأننا نحتاج قيمة ﺏ لإيجاد قيمة ﺃ. ولإيجاد قيمة ﺏ، علينا أولًا إيجاد قيمتي ﻉﺱﺱ وﻉﺱﺹ.

دعونا نبدأ بـ ﻉﺱﺱ. إننا نحتاج أولًا إلى مجموع قيم ﺱ تربيع. ونعرف أنه يساوي ١٩٣٤. وعلينا بعد ذلك طرح مجموع قيم ﺱ الكل تربيع مقسومًا على ﻥ. تذكر أن مجموع قيم ﺱ يساوي ١٠٤. وعلينا تربيع هذا الناتج وقسمته على قيمة ﻥ؛ وهي ستة. وبذلك، نجد أن قيمة ﻉﺱﺱ تساوي ١٩٣٤ ناقص ١٠٤ تربيع على ستة. ويمكننا حساب تلك القيمة. ونجد أنها تساوي ٣٩٤ مقسومًا على ثلاثة. ومن المهم أن نوجد هذه القيمة بالضبط، لأننا لا نريد أن نقرب حتى نصل إلى نهاية الحل؛ لأن هذا قد يجعل الإجابة غير صحيحة.

ويمكننا فعل الأمر نفسه لإيجاد قيمة ﻉﺱﺹ. علينا التعويض بكل من مجموع قيم ﺱﺹ ومجموع قيم ﺱ ومجموع قيم ﺹ وقيمة ﻥ. وعندما نفعل ذلك، نجد أن قيمة ﻉﺱﺹ تساوي ٢٠٤٨ ناقص ١٠٤ في ١٢١ على ستة. وإذا حسبنا قيمة هذا المقدار بالضبط، فسنحصل على سالب ١٤٨ مقسومًا على ثلاثة. والآن يمكننا إيجاد قيمة ﺏ. تذكر أنها تساوي خارج قسمة هاتين القيمتين. ‏ﺏ يساوي ﻉﺱﺹ مقسومًا على ﻉﺱﺱ. إذن في هذه الحالة، ﺏ يساوي سالب ١٤٨ على ثلاثة مقسومًا على ٣٩٤ على ثلاثة. ويمكننا حساب ذلك باستخدام الآلة الحاسبة. أو بتطبيق قاعدة قسمة كسرين؛ وذلك بضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني.

في كلتا الحالتين، نجد أن قيمة ﺏ تساوي سالب ٧٤ مقسومًا على ١٩٧. وتذكر أنه من المهم إيجاد القيمة بالضبط. وسنقرب القيم في النهاية. والآن يمكننا إيجاد قيمة ﺃ، لكن دعونا أولًا نفرغ بعض المساحة. لإيجاد قيمة ﺃ، علينا أولًا إيجاد الوسط الحسابي لقيم ﺱ والوسط الحسابي لقيم ﺹ. دعونا نبدأ بالوسط الحسابي لقيم ﺱ. هذا يساوي مجموع قيم ﺱ مقسومًا على عدد نقاط البيانات، وهو ما يساوي ١٠٤ على ستة. وفي هذه الحالة، يمكننا حذف العامل المشترك اثنين من البسط والمقام لنحصل على ﺱ بار يساوي ٥٢ على ثلاثة.

يمكننا فعل الأمر نفسه لإيجاد الوسط الحسابي لقيم ﺹ. وهذا يساوي مجموع قيم ﺹ مقسومًا على عدد نقاط البيانات، وهو ١٢١ على ستة في هذه الحالة. وهذا الكسر لا يمكن تبسيطه أكثر من ذلك. والآن يمكننا إيجاد قيمة ﺃ. تذكر أن ﺃ يساوي الوسط الحسابي لقيم ﺹ ناقص ﺏ مضروبًا في الوسط الحسابي لقيم ﺱ. وبذلك، نجد أن ﺃ يساوي ١٢١ على ستة ناقص سالب ٧٤ على ١٩٧ مضروبًا في ٥٢ على ثلاثة. ويمكننا تبسيط هذا المقدار. نحن نعلم أن طرح عدد سالب يماثل إضافة موجب هذا العدد. ويمكننا الآن تبسيط الحد الثاني في هذا المقدار من خلال ضرب البسطين معًا وضرب المقامين معًا.

هذا يعطينا ١٢١ على ستة زائد ٣٨٤٨ على ٥٩١. والآن يمكننا إيجاد قيمة ﺃ بالضبط في صورة كسر. ولكن ليس من الضروري القيام بذلك؛ إذ علينا فقط إيجاد قيمتي ﺃ وﺏ مقربتين لأقرب ثلاث منازل عشرية. لذا، سنكتب هذا في صورة عدد عشري. ‏ﺃ يساوي ٢٦٫٦٧٧٦ مع توالي الأرقام في هذا العدد العشري. لكننا نريد تقريب هذا الناتج لأقرب ثلاث منازل عشرية. لذا، علينا النظر إلى الخانة العشرية الرابعة في العدد العشري لدينا. ويوجد بها العدد ستة؛ وهو ما يحقق أحد شرطي التقريب وهو أن يكون العدد أكبر من أو يساوي خمسة. إذن، علينا التقريب لأعلى. هذا يعطينا قيمة ﺃ التي تساوي ٢٦٫٦٧٨، وذلك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

يمكننا فعل الأمر نفسه مع قيمة ﺏ. سنكتب قيمة ﺏ في صورة عدد عشري. ونحصل على سالب ٠٫٣٧٥٦، مع توالي الأرقام في هذا العدد العشري. إننا نريد تقريب هذا الناتج لأقرب ثلاث منازل عشرية. لذا، علينا النظر إلى الخانة العشرية الرابعة. وهي أيضًا تحتوي على العدد ستة. إذن، علينا التقريب لأعلى. وبذلك، نجد أن قيمة ﺏ تساوي سالب ٠٫٣٧٦، مقربة لأقرب ثلاث منازل عشرية.

لكننا لم ننته بعد. تذكر أن السؤال يطلب منا إعطاء الإجابة على صورة معادلة خط الانحدار؛ ﺹ هات يساوي ﺃ زائد ﺏﺱ. بالتعويض بقيمتي ﺃ وﺏ في معادلة خط الانحدار، وكتابة حد ﺱ أولًا، نجد أن ﺹ هات يساوي سالب ٠٫٣٧٦ﺱ زائد ٢٦٫٦٧٨، وهذه هي الإجابة النهائية. إذن، لقد تمكنا في هذا السؤال من إيجاد معادلة خط الانحدار باستخدام المربعات الصغرى بين المتغيرين ﺱ وﺹ. وأوجدنا قيمتي ﺃ وﺏ، مقربتين لأقرب ثلاث منازل عشرية. وأوجدنا أيضًا أن ﺹ هات يساوي سالب ٠٫٣٧٦ﺱ زائد ٢٦٫٦٧٨.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.