فيديو السؤال: إيجاد سرعة جسيم وعجلته من تعبير إزاحته المعطى بدلالة الزمن الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

تحرك جسيم في خط مستقيم، وكانت إزاحته من نقطة الأصل بعد ﻥ ثانية تعطى بالعلاقة ﺱ يساوي ثلث جتا اثنين ﻥ متر، حيث ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا. أوجد السرعة ﻉ عندما يكون ﻥ يساوي ‏𝜋‏ على أربعة ثانية، والعجلة ﺟ عندما يكون ﻥ يساوي ‏𝜋‏ على ثلاثة ثانية.

في هذا السؤال، لدينا تعبير دال على الإزاحة بدلالة الزمن ﻥ. إننا نريد إيجاد السرعة والعجلة للجسيم بمعلومية الزمن. دعونا نبدأ باسترجاع كيفية الربط بين الإزاحة والسرعة والعجلة. السرعة هي معدل تغير إزاحة جسم. وعندما نفكر في معدل التغير، فإننا نفكر في الاشتقاق. إذن، السرعة هي المشتقة الأولى للإزاحة ﺱ بالنسبة إلى الزمن. وبالمثل، العجلة هي معدل تغير السرعة، ما يعني أن العجلة هي المشتقة الأولى للسرعة بالنسبة إلى الزمن.

والآن، بما أن السرعة هي المشتقة الأولى لـ ﺱ بالنسبة إلى ﻥ، يمكننا قول إن العجلة لا بد وأن تكون المشتقة الثانية لـ ﺱ بالنسبة إلى ﻥ؛ أي ﺩ اثنين ﺱ على ﺩﻥ تربيع. حسنًا، سنبدأ باشتقاق التعبير الدال على الإزاحة لدينا بالنسبة إلى الزمن لإيجاد تعبير دال على السرعة. ثم نشتق مرة أخرى لإيجاد تعبير دال على العجلة. الإزاحة تساوي ثلث جتا اثنين ﻥ، ومن ثم فإن السرعة هي مشتقة ثلث جتا اثنين ﻥ بالنسبة إلى ﻥ.

حسنًا، أحد الأمور التي يمكننا فعلها عند الاشتقاق هي إخراج العوامل الثابتة، لذا يمكننا إخراج العامل الثابت ثلث. ويمكننا قول إن السرعة تساوي ثلثًا في المشتقة الأولى لـ جتا اثنين ﻥ. هذا ليس ضروريًّا على الإطلاق، لكنه يجعل الخطوة التالية أسهل قليلًا. بعد ذلك، سنشير إلى النتيجة العامة لمشتقة جتا ﺃﺱ حيث ﺃ ثابت حقيقي. إنها سالب ﺃ جا ﺃﺱ. وهذا يعني أنه عند اشتقاق جتا اثنين ﻥ، نحصل على سالب اثنين جا اثنين ﻥ. والسرعة تساوي ثلث ذلك. إنها تساوي ثلث في سالب اثنين جا اثنين ﻥ، ويمكننا بالطبع كتابة ذلك في صورة سالب ثلثين جا اثنين ﻥ.

سنوجد بعد ذلك تعبيرًا يدل على العجلة. ثم نوجد السرعة والعجلة عند الزمن المطلوب. هذه المرة، ستكون العجلة هي المشتقة الأولى لسالب ثلثين جا اثنين ﻥ بالنسبة إلى ﻥ. مرة أخرى، دعونا نخرج العامل الثابت سالب ثلثين أولًا، وسنجد بذلك أننا سنحسب مشتقة جا اثنين ﻥ ثم نضرب ذلك في سالب ثلثين. دعونا هذه المرة نشر إلى النتيجة العامة لاشتقاق جا ﺃﺱ حيث ﺃ ثابت حقيقي. إنها ﺃ في جتا ﺃﺱ. هذايعني أن مشتقة جا اثنين ﻥ بالنسبة إلى ﻥ تساوي اثنين جتا اثنين ﻥ. وبذلك، نجد أن التعبير الدال على العجلة هو سالب ثلثين في اثنين جتا اثنين ﻥ. وهذا يبسط إلى سالب أربعة أثلاث في جتا اثنين ﻥ.

سنفرغ الآن بعض المساحة ونوجد قيمة السرعة عند ﻥ يساوي ‏𝜋‏ على أربعة ثانية. يمكننا تمثيل ذلك باستخدام ترميز الدالة كما هو موضح. هذا يشير إلى أنه لإيجاد السرعة عند ﻥ يساوي ‏𝜋‏ على أربعة، فإننا نعوض عن ﻥ في التعبير الدال على السرعة بـ ‏𝜋‏ في أربعة. إذن، لا بد أن تكون السرعة عند هذا الزمن سالب ثلثين في جا اثنين في ‏𝜋‏ على أربعة. حسنًا، اثنان في ‏𝜋‏ على أربعة أو اثنان في ربع ‏𝜋‏ يساوي نصف ‏𝜋‏ أو ‏𝜋‏ على اثنين. يبسط ذلك قليلًا إلى سالب ثلثين في جا ‏𝜋‏ على اثنين. لكن بالطبع، نحن نعلم أن جا ‏𝜋‏ على اثنين يساوي واحدًا.

إذن، السرعة عند هذا الزمن تساوي سالب ثلثين في واحد، وهذا يساوي سالب ثلثين. تقاس الإزاحة بالمتر، ويقاس الزمن ﻥ بالثواني. إذن، يمكننا قول إن السرعة عند ﻥ يساوي ‏𝜋‏ على أربعة ثانية هي سالب ثلثي متر لكل ثانية. حسنًا، لا داعي للقلق لأن السرعة سالبة. إننا نعلم أن السرعة كمية متجهة؛ فهي لها اتجاه ومعيار. ومن ثم، فإن السرعة السالبة تخبرنا ببساطة بالاتجاه الذي يتحرك فيه الجسيم. دعونا الآن نكرر هذه العملية، وهذه المرة لإيجاد قيمة العجلة عند ﻥ يساوي ‏𝜋‏ على ثلاثة.

إذا استخدمنا ترميز الدالة، فسيبدو هكذا. ونلاحظ هذه المرة أننا سنعوض عن ﻥ بـ ‏𝜋‏ على ثلاثة. وعليه، فإن العجلة هي سالب أربعة أثلاث في جتا اثنين في ‏𝜋‏ على ثلاثة، وهو ما يبسط إلى سالب أربعة أثلاث في جتا اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة. لكن جتا اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة يساوي سالب نصف. وبذلك، يمكن حساب العجلة بضرب سالب أربعة أثلاث في سالب نصف. ونلاحظ أنه يمكننا التبسيط بالقسمة على عامل مشترك، وهو الثابت اثنان. وبذلك يصبح لدينا سالب ثلثين في سالب واحد على واحد. ضرب عدد سالب في عدد سالب يعطينا عددًا موجبًا. بعد ذلك، نضرب البسطين معًا ثم نضرب المقامين معًا.

وهذا يعطينا العجلة تساوي ثلثين أو ثلثي متر لكل ثانية مربعة، ويمكننا أيضًا قول إنها تساوي ثلثي متر لكل ثانية لكل ثانية. إذن، عند ﻥ يساوي ‏𝜋‏ على أربعة ثانية، فإن السرعة تساوي سالب ثلثي متر لكل ثانية. وعند ﻥ يساوي ‏𝜋‏ على ثلاثة، فإن العجلة تساوي ثلثي متر لكل ثانية مربعة.