فيديو السؤال: استخدام طريقة الكتلة السالبة لإيجاد مركز كتلة صفيحة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

يوضح الشكل صفيحة مربعة منتظمة طول ضلعها ١٨ سنتيمترًا. الصفيحة مقسمة إلى تسعة مربعات متطابقة كما هو موضح. إذا قطع المربع ﺟ وألصق بالمربع ﺃ، فأوجد إحداثيات مركز ثقل الصفيحة الناتجة.

دعونا نبدأ بتعديل الشكل بحيث يعكس الموقف المعطى. لقد أخذنا المربع ﺟ وألصقناه فوق المربع ﺃ. يمكننا أن نتخيل هذا النظام على صورة ثلاث صفائح مربعة منفصلة. الصفيحة الأولى هي المربع الكبير الأصلي، وطول ضلعها ١٨ سنتيمترًا، وكتلتها ﻙ واحد، ومركز كتلتها يقع عند مركزها الهندسي. لاحظ أننا نفترض مجال جاذبية منتظمًا. إذن، في هذه الحالة، سيكون مركز الثقل هو مركز الكتلة نفسه. الصفيحة الثانية هي المربع ﺟ، الذي ألصقناه فوق المربع ﺃ. وكتلتها ﻙ اثنان، ويقع مركز كتلتها عند مركزها الهندسي. والصفيحة الثالثة هي الصفيحة المربعة الناقصة، التي كان يشغلها المربع ﺟ. وكتلتها كتلة المربع ﺟ نفسه، الذي ألصقناه فوق المربع ﺃ. ولكننا نتعامل معها بوصفها ذات كتلة سالبة؛ أي إن كتلتها سالب ﻙ اثنين، وتقع عند مركزها الهندسي.

يمكننا تمثيل هذه الصفائح الثلاث على صورة ثلاثة جسيمات منفصلة تقع عند مراكز كتلتها. تذكر أننا نحصل على مركز كتلة نظام من الجسيمات، أي متجه الموضع ﺭﻡ، من خلال إيجاد مجموع حواصل الضرب المنفردة لكتل الجسيمات ﻙﺭ ومتجهات موضعها ﺭﻡﺭ الكل مقسوم على الكتلة الكلية. طول ضلع المربع الأصلي ١٨ سنتيمترًا. ويشير الشكل إلى أن ركنه الأيمن السفلي يقع عند نقطة الأصل: صفر، صفر. ومركزه الهندسي، ومن ثم مركز كتلته يقع عند النقطة: تسعة، تسعة.

نظرًا لأن المربع الأصلي مقسم إلى تسعة مربعات متطابقة، فلا بد أن طول ضلع كل مربع من هذه المربعات الصغيرة يساوي ١٨ على ثلاثة؛ أي ستة سنتيمترات. نستنتج إذن أن المركز الهندسي للصفيحة ﺟ الملصقة هو: ثلاثة، ثلاثة، والمركز الهندسي للفراغ الذي تتركه هو: ١٥، ثلاثة. نعلم أن الكتلة الكلية للنظام ‏Σ‏ﻙﺭ لا بد أن تساوي الكتلة الأصلية للمربع الكبير؛ أي ﻙ واحد. ونظرًا لأن هذا المربع الكبير مقسم بالتساوي إلى المربعات التسعة الصغيرة، فلا بد أن كل مربع من المربعات الصغيرة كتلته تسع الكتلة الأصلية. ومن ثم، ﻙ اثنان يساوي ﻙ واحد على تسعة.

لدينا الآن المعلومات اللازمة لإيجاد مركز كتلة هذا النظام من الجسيمات، وهو ما يكافئ إيجاد مركز ثقل الصفيحة الناتجة. بجمع حواصل ضرب كتل الصفائح وإحداثيات مراكز كتلتها، نحصل على: ﻙ واحد في تسعة، تسعة، زائد ﻙ واحد على تسعة في ثلاثة، ثلاثة، ناقص ﻙ واحد على تسعة في ١٥، ثلاثة؛ الكل مقسوم على الكتلة الإجمالية ﻙ واحد. لدينا العامل المشترك ﻙ واحد في الحدود كلها في البسط والمقام. وعليه، تحذف كلها. يتبقى لدينا مجموع المتجهات تسعة، تسعة، زائد تسع في ثلاثة، ثلاثة، ناقص تسع في ١٥، ثلاثة. هذا يعطينا متجه الموضع؛ أي مركز ثقل الصفيحة، ﺭﻡ يساوي ٢٣ على ثلاثة، تسعة. إذن، إجابتنا النهائية هي أن إحداثيات مركز ثقل الصفيحة الناتجة هي ٢٣ على ثلاثة، تسعة.