فيديو الدرس: الجذور التكعيبية للأعداد النسبية الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد الجذور التكعيبية للأعداد النسبية.

١١:٥٢

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد الجذور التكعيبية للأعداد النسبية.

سنبدأ بتذكر ما نعرفه عن الجذر التكعيبي للمكعب الكامل. الجذر التكعيبي لأي مكعب كامل ﻥ، مكتوبًا كما هو موضح، هو العدد الصحيح ﺃ؛ حيث ﺃ تكعيب يساوي ﻥ. وعلى وجه التحديد، لدينا الجذر التكعيبي لـ ﻥ يساوي الجذر التكعيبي لـ ﺃ تكعيب، وهو ما يساوي ﺃ.

سنتناول الآن خاصية مفيدة للجذر التكعيبي لعدد ما بالنظر إلى حاصل ضرب مكعبين كاملين. تنص هذه الخاصية على أنه إذا كان ﺃ وﺏ عددين صحيحين، فإن الجذر التكعيبي لـ ﺃ تكعيب ﺏ تكعيب يساوي ﺃﺏ. يمكننا إثبات ذلك كما يأتي. عند تكعيب ﺃ مضروبًا في ﺏ، نحصل على ﺃ تكعيب ﺏ تكعيب. وهذا يعني أن ﺃﺏ هو الجذر التكعيبي لـ ﺃ تكعيب ﺏ تكعيب. يمكننا استخدام فكرة مشابهة لتوسيع نطاق تعريف الجذر التكعيبي لحساب الجذور التكعيبية لخوارج قسمة عددين صحيحين. إذا كان ﺃ وﺏ عددين صحيحين وﺏ لا يساوي صفرًا، فإن الجذر التكعيبي لـ ﺃ تكعيب على ﺏ تكعيب يساوي الجذر التكعيبي لـ ﺃ تكعيب على الجذر التكعيبي لـ ﺏ تكعيب، وهو ما يساوي ﺃ على ﺏ. سنتناول الآن مثالًا علينا فيه استخدام هذه الخاصية لإيجاد الجذر التكعيبي لعدد نسبي.

أوجد قيمة الجذر التكعيبي لـ ٦٤ على ٣٤٣.

في هذا السؤال، نريد إيجاد الجذر التكعيبي لعدد نسبي. نتذكر أنه إذا كان ﺃ وﺏ عددين صحيحين وﺏ لا يساوي صفرًا، فإن الجذر التكعيبي لـ ﺃ على ﺏ يساوي الجذر التكعيبي لـ ﺃ على الجذر التكعيبي لـ ﺏ. في هذا السؤال، لدينا نوع خاص من هذه القاعدة؛ لأن بسط هذا الكسر ومقامه مكعبان كاملان. في هذه الحالة، الجذر التكعيبي لـ ﺃ تكعيب على ﺏ تكعيب يساوي الجذر التكعيبي لـ ﺃ تكعيب على الجذر التكعيبي لـ ﺏ تكعيب. وهذا يساوي ﺃ على ﺏ. علينا الآن حساب الجذر التكعيبي لـ ٦٤ والجذر التكعيبي لـ ٣٤٣. نحن نعلم أن أربعة تكعيب يساوي ٦٤. هذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة الجذر التكعيبي لـ ٦٤ على صورة الجذر التكعيبي لأربعة تكعيب. وهذا يساوي أربعة. كما نعلم أن سبعة تكعيب يساوي ٣٤٣. وهذا يعني أن الجذر التكعيبي لـ ٣٤٣ يساوي سبعة. يمكننا إذن استنتاج أن الجذر التكعيبي لـ ٦٤ على ٣٤٣ يساوي أربعة أسباع.

في المثال التالي، سنوجد الجذر التكعيبي لعدد نسبي معطى على الصورة العشرية.

أوجد قيمة الجذر التكعيبي لـ ٠٫٠٢٧.

للإجابة عن هذا السؤال، سنتناول طريقتين. في الطريقة الأولى، سنبدأ بتحويل العدد العشري إلى كسر. من خلال معرفتنا بالقيمة المكانية، نعلم أن ٠٫٠٢٧ يساوي ٢٧ على ١٠٠٠. هذا يعني أننا نريد حساب الجذر التكعيبي لـ ٢٧ على ١٠٠٠. بعد ذلك، نتذكر أنه إذا كان ﺃ وﺏ عددين صحيحين وﺏ لا يساوي صفرًا، فإن الجذر التكعيبي لـ ﺃ على ﺏ يساوي الجذر التكعيبي لـ ﺃ على الجذر التكعيبي لـ ﺏ. يمكننا إذن حساب الجذر التكعيبي لـ ٢٧ والجذر التكعيبي لـ ١٠٠٠ كل على حدة. بما أن ثلاثة تكعيب يساوي ٢٧، فإن الجذر التكعيبي لـ ٢٧ يساوي ثلاثة. وبالمثل، بما أن ١٠ تكعيب يساوي ١٠٠٠، فإن الجذر التكعيبي لـ ١٠٠٠ يساوي ١٠. ومن ثم، الجذر التكعيبي لـ ٢٧ مقسومًا على الجذر التكعيبي لـ ١٠٠٠ يساوي ثلاثة على ١٠ أو ثلاثة أعشار. وهذه هي قيمة الجذر التكعيبي لـ ٠٫٠٢٧. إذن، بكتابة هذه الإجابة على الصورة العشرية، يصبح لدينا ٠٫٣.

سنتناول الآن الطريقة الثانية التي يمكننا استخدامها لحل هذه المسألة. نبدأ بكتابة ٠٫٠٢٧ على الصورة ٢٧ مضروبًا في ٠٫٠٠١. وكما ذكرنا من قبل، فإن ٢٧ يساوي ثلاثة تكعيب. وبالطريقة نفسها، ٠٫٠٠١ يساوي ٠٫١ تكعيب. يمكننا إذن إعادة كتابة المقدار الأصلي كما هو موضح. وباستخدام حقيقة أن الجذر التكعيبي لـ ﺃ تكعيب ﺏ تكعيب يساوي ﺃﺏ، يمكننا إعادة كتابة الطرف الأيسر من هذه المعادلة على الصورة ثلاثة مضروبًا في ٠٫١، وهو ما يعطينا مرة أخرى الإجابة النهائية ٠٫٣.

في المثال التالي، سنوجد طول ضلع مكعب من حجمه.

أوجد طول ضلع المكعب الذي حجمه يساوي ٢٧ على ثمانية سنتيمتر مكعب.

نبدأ بتذكر أن أي مكعب طول ضلعه ﻝ سنتيمتر سيكون حجمه ﻝ تكعيب سنتيمتر مكعب. هذا يعني أنه في هذا السؤال، ﻝ تكعيب يساوي ٢٧ على ثمانية. نلاحظ أن العددين ٢٧ وثمانية مكعبين كاملين؛ حيث ثلاثة تكعيب يساوي ٢٧ واثنان تكعيب يساوي ثمانية. إذن، يمكننا إعادة كتابة المعادلة على الصورة ﻝ تكعيب يساوي ثلاثة تكعيب على اثنين تكعيب. ولحل هذه المعادلة، نحسب الجذر التكعيبي لكلا الطرفين. ونتذكر أنه إذا كان ﺃ وﺏ عددين صحيحين وﺏ لا يساوي صفرًا، فإن الجذر التكعيبي لـ ﺃ تكعيب على ﺏ تكعيب يساوي ﺃ على ﺏ. إذن، يمكننا تبسيط الطرف الأيسر من هذه المعادلة إلى ثلاثة على اثنين. ومن ثم، يمكننا استنتاج أن طول ضلع المكعب الذي حجمه ٢٧ على ثمانية سنتيمتر مكعب هو ثلاثة على اثنين سنتيمتر. وجدير بالذكر أيضًا أنه يمكننا كتابة هذا الكسر على الصورة العشرية ١٫٥ سنتيمتر.

في المثال الأخير من هذا الفيديو، سنوجد طول نصف قطر كرة من حجمها.

بافتراض أن قيمة نق تساوي ٢٢ على سبعة، أوجد طول نصف قطر الكرة التي حجمها يساوي ١٧٩٫٦ دوري سنتيمترًا مكعبًا.

نبدأ بتذكر الصيغة المستخدمة لحساب حجم كرة. إنها تساوي أربعة أثلاث ‪𝜋‬‏نق تكعيب. في هذا السؤال، نعلم أن الحجم يساوي ١٧٩٫٦ دوري سنتيمترًا مكعبًا. ونحن نعلم أن العدد الدوري ٠٫٦ يساوي الكسر ثلثين. هذا يعني أن حجم الكرة يمكن إعادة كتابته على الصورة ١٧٩ وثلثي سنتيمتر مكعب. يمكننا تحويل هذا العدد الكسري إلى كسر غير فعلي أو كسر بسطه أكبر من مقامه. سنفعل ذلك بضرب العدد الكلي في المقام ثم إضافة الناتج إلى البسط. ‏١٧٩ مضروبًا في ثلاثة زائد اثنين يساوي ٥٣٩. إذن، حجم الكرة يساوي ٥٣٩ على ثلاثة سنتيمتر مكعب. بالتعويض بهذه القيمة في الصيغة لدينا بالإضافة إلى قيمة ‪𝜋‬‏ التي تساوي ٢٢ على سبعة، يصبح لدينا ٥٣٩ على ثلاثة يساوي أربعة أثلاث مضروبًا في ٢٢ على سبعة مضروبًا في نق تكعيب. وبتبسيط الطرف الأيسر، نحصل على ٨٨ على ٢١نق تكعيب.

بعد ذلك، يمكننا ضرب الطرفين في ثلاثة بحيث يصبح لدينا ٥٣٩ يساوي ٨٨ على سبعة نق تكعيب. وبقسمة الطرفين على الكسر ٨٨ على سبعة ثم قسمة البسط والمقام على ١١، نحصل على نق تكعيب يساوي ٣٤٣ على ثمانية. يمكننا بعد ذلك حساب الجذر التكعيبي لطرفي هذه المعادلة. بملاحظة أن العددين ٣٤٣ وثمانية مكعبان كاملان؛ حيث اثنان تكعيب يساوي ثمانية وسبعة تكعيب يساوي ٣٤٣، يصبح لدينا نق يساوي الجذر التكعيبي لسبعة تكعيب على اثنين تكعيب. وبتذكر إحدى خواص الجذور التكعيبية، وهي أنه إذا كان ﺃ وﺏ عددين صحيحين وﺏ لا يساوي صفرًا، فإن الجذر التكعيبي لـ ﺃ تكعيب على ﺏ تكعيب يساوي ﺃ على ﺏ، فهذا يعني أن نق يساوي سبعة على اثنين، وهو ما يساوي ٣٫٥ على الصورة العشرية. إذن، إذا كان حجم الكرة ١٧٩٫٦ دوري سنتيمترًا مكعبًا، فإن طول نصف قطرها يساوي ٣٫٥ سنتيمترات.

سنختتم الآن هذا الفيديو بتلخيص النقاط الرئيسية التي تناولناها. لقد رأينا في هذا الفيديو أنه إذا كان ﺃ وﺏ عددين صحيحين، فإن الجذر التكعيبي لـ ﺃ تكعيب ﺏ تكعيب يساوي ﺃﺏ. وبالطريقة نفسها، إذا كان ﺃ وﺏ عددين صحيحين وﺏ لا يساوي صفرًا، فإن الجذر التكعيبي لـ ﺃ تكعيب على ﺏ تكعيب يساوي ﺃ على ﺏ. ورأينا أيضًا أننا قد نحتاج في بعض الأسئلة إلى تحليل البسط والمقام لإيجاد الجذور التكعيبية لهما. في المثالين الأخيرين، استخدمنا الجذور التكعيبية في التطبيقات الهندسية لحساب طول ضلع مكعب ونصف قطر كرة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.