فيديو الدرس: مثلث باسكال ونظرية ذات الحدين الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم مثلث باسكال لإيجاد معاملات المفكوك الجبري لأي مقدار ذي حدين على الصورة (ﺃ + ﺏ)^(ﻥ).

١٩:٤٥

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم مثلث باسكال لإيجاد معاملات المفكوك الجبري لأي مقدار ذي حدين على الصورة ﺃ زائد ﺏ أس ﻥ، حيث ﻥ عدد صحيح موجب. سنبدأ بالبحث عن بعض الأنماط عن طريق فك بضعة مقادير.

لنبدأ بفك المقدار ﺃ زائد ﺏ أس صفر. بالطبع، أي عدد مرفوع لقوة صفر يساوي واحدًا. إذن يمكننا القول إن ﺃ زائد ﺏ أس صفر يساوي واحدًا. ماذا عن ﺃ زائد ﺏ أس واحد؟ أي عدد مرفوع لقوة واحد يساوي العدد نفسه؛ ومن ثم نحصل على ﺃ زائد ﺏ. معامل كل من ﺃ وﺏ هو واحد. وفي حالة الأسس الأكبر من أو تساوي اثنين، تصبح الأمور مثيرة بعض الشيء. ‏‏ﺃ زائد ﺏ تربيع يساوي ﺃ زائد ﺏ في ﺃ زائد ﺏ. وبتوزيع الأقواس باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني أو طريقة الشبكة، نحصل على ﺃ تربيع زائد اثنين ﺃﺏ زائد ﺏ تربيع. هذه المرة، معامل ﺃ تربيع وﺏ تربيع هو واحد، ولدينا بعد ذلك معامل ثالث. معامل ﺃﺏ هو اثنان.

بعد ذلك، سنرى الحالة التي يكون فيها الأس يساوي ثلاثة. ‏‏ﺃ زائد ﺏ تكعيب يساوي ﺃ زائد ﺏ تربيع مضروبًا في ﺃ زائد ﺏ. وبالتوزيع نحصل على ﺃ تكعيب زائد ثلاثة ﺃ تربيع ﺏ زائد ثلاثة ﺃﺏ تربيع زائد ﺏ تكعيب. هذه المرة المعاملات هي واحد، وثلاثة، وثلاثة، وواحد. سنلقي نظرة الآن على مثال آخر فيه الأس يساوي أربعة. هذا المقدار هو نتيجة ضرب ﺃ زائد ﺏ تكعيب في ﺃ زائد ﺏ. عندما نوزع هذه الأقواس نحصل على ﺃ أس أربعة زائد أربعة ﺃ تكعيب ﺏ زائد ستة ﺃ تربيع ﺏ تربيع زائد أربعة ﺃﺏ تكعيب زائد ﺏ أس أربعة. والمعاملات هي واحد، وأربعة، وستة، وأربعة، وواحد.

وإذا أردنا فك المقدار ﺃ زائد ﺏ أس ١٠، فسيستغرق منا ذلك اليوم بأكمله على الأرجح. لذا، علينا إيجاد طريقة مختصرة لفعل ذلك. دعونا نكتب هذه المقادير بعضها فوق بعض، ونبحث عن بعض الأنماط. حسنًا، ماذا تلاحظ؟ أولًا، لننظر إلى الحرفين الخارجيين لهذا المثلث. يبدو هذا بسيطًا ومباشرًا. فالحدود جميعها لها المعامل واحد. في الطرف الأيمن، لدينا الحد ﺃ مرفوعًا للأس الموضح. وفي الطرف الأيسر، لدينا المعامل واحد أيضًا. وهذه المرة، لدينا الحد ﺏ مرفوعًا للأس الموضح. ماذا يحدث أيضًا؟ حسنًا، يمكننا البحث عن مزيد من الأنماط بالنظر إلى الأقطار المختلفة، أو بالنظر إلى الحدود في كل مقدار على حدة.

لننظر إلى ﺃ زائد ﺏ أس أربعة. لاحظ كيف يقل أس ﺃ بمقدار واحد في كل مرة. لكن أس ﺏ يزيد بمقدار واحد في كل مرة. نلاحظ أيضًا أن مجموع أسيهما يساوي أربعة، وهو الأس الذي رفعنا إليه المقدار ﺃ زائد ﺏ. لكن ما الذي يحدث بالنسبة للمعاملات؟ حسنًا، هذا الجزء مثير للاهتمام حقًا. لنلق نظرة على المعاملات نفسها في مثلث. مرة أخرى، نلاحظ أن حرفي المثلث الخارجيين يتكونان من العدد واحد، لكننا نلاحظ أن الأعداد الأخرى تتكون من مجموع العددين الموجودين أعلاها مباشرة. على سبيل المثال، واحد زائد اثنين يساوي ثلاثة، وثلاثة زائد ثلاثة يساوي ستة، وهكذا. هذا المثلث له اسم خاص. وهو مثلث باسكال، وقد سمي بذلك تكريمًا لعالم رياضيات فرنسي.

دعونا نوجد الصف التالي في المثلث باستخدام الأنماط التي رأيناها. نعرف أن لدينا واحدًا في الطرفين الخارجيين. ونوجد القيم الأخرى عن طريق جمع العددين الموجودين أعلى كل قيمة مباشرة. واحد زائد أربعة يساوي خمسة، وأربعة زائد ستة يساوي ١٠، وستة زائد أربعة يساوي ١٠، وأربعة زائد واحد يساوي خمسة. بما أنه من السهل كتابة مثلث باسكال لقيم ﻥ الصغيرة، فسيساعدنا ذلك كثيرًا في توزيع الأقواس المكتوبة على الصورة ﺃ زائد ﺏ أس ﻥ. دعونا نجمع الآن كل ما نعرفه لإيجاد طريقة عامة لفعل ذلك.

لتوزيع أقواس مكتوبة على الصورة ﺃ زائد ﺏ أس ﻥ لقيم ﻥ الصحيحة الموجبة، ننتقل بين الحدود من اليمين إلى اليسار. يبدأ أس ﺃ بـ ﻥ ثم يقل بمقدار واحد في كل مرة حتى نصل إلى ﺃ أس صفر. وبالطبع، ﺃ أس صفر يساوي واحدًا. ونفعل العكس مع ﺏ. فيزيد أس ﺏ بمقدار واحد في كل مرة، ونبدأ بـ ﺏ أس صفر وننتهي بـ ﺏ أس ﻥ. نعلم أن معاملات كل حد هي الأعداد التي تظهر في الصف ﻥ يساوي ﻥ في مثلث باسكال. سنرى بعد قليل السبب في عدم كتابتي الصف ﻥ؛ وذلك لأنه في الواقع ليس الصف ﻥ.

دعونا نلق نظرة الآن على كيفية استخدام هذه الطريقة لفك مقدار ذي حدين.

استخدم مثلث باسكال لإيجاد قيمة ﺱ زائد أربعة أس خمسة.

تذكر أن خطوات عملية فك المقادير ذات الحدين المكتوبة على الصورة ﺃ زائد ﺏ أس ﻥ لقيم ﻥ الصحيحة الموجبة هي كما يلي. ننتقل بين الحدود من اليمين إلى اليسار. يبدأ أس ﺃ بـ ﻥ، ويقل بمقدار واحد في كل مرة حتى نصل إلى ﺃ أس صفر. وبالنسبة لـ ﺏ، نبدأ بأس صفر، ونزيد الأس بمقدار واحد في كل مرة حتى نصل إلى ﺏ أس ﻥ. نوجد بعد ذلك معاملات كل حد عن طريق إيجاد الأعداد التي تظهر في الصف ﻥ يساوي ﻥ في مثلث باسكال. إذا قارنا المقدار ذا الحدين الموجود لدينا بالصيغة العامة، فسنجعل أن ﺃ يساوي ﺱ، وﺏ يساوي أربعة، وﻥ يساوي خمسة. وسنستخدم جدولًا للتأكد من أننا لم ننس أي حدود.

قد نلاحظ أنه سيكون هناك عمود إضافي في الجدول ليصبح عدد الأعمدة أكبر من قيمة ﻥ بمقدار واحد. فلدينا هنا ستة أعمدة. نتحرك من اليمين إلى اليسار، ونبدأ بـ ﺃ أس ﻥ. ‏‏ﺃ يساوي ﺱ، وﻥ يساوي خمسة. إذن، لدينا ﺱ أس خمسة. بعد ذلك، نقلل قيمة هذا الأس بمقدار واحد في كل مرة، فنحصل على ﺱ أس أربعة، وﺱ تكعيب، وﺱ تربيع، وﺱ أس واحد، وﺱ أس صفر. ‏‏ﺱ أس واحد يساوي ﺱ، وﺱ أس صفر يساوي واحدًا. وبذلك أصبح لدينا الجزء ﺱ لكل حد. ننتقل الآن إلى العدد أربعة. نبدأ بـ ﺏ أس صفر. لدينا هنا إذن أربعة أس صفر. ونزيد قيمة الأس بمقدار واحد كل مرة؛ ما يعطينا أربعة أس واحد، وأربعة تربيع، وأربعة تكعيب، وأربعة أس أربعة، وأربعة أس خمسة.

مرة أخرى، يمكننا التعويض عن أربعة أس صفر بواحد، وأربعة أس واحد بأربعة. سمينا الصف الثالث ﻡ، وهو يمثل معامل كل حد. دعونا الآن نكتب أول بضعة صفوف في مثلث باسكال. يبدو مثلث باسكال هكذا. يكون الصف الأول عند ﻥ يساوي صفرًا، ولدينا فيه واحد. وعند ﻥ يساوي واحدًا، يكون لدينا في الصف الثاني واحد، واحد. عند ﻥ يساوي اثنين، يكون لدينا واحد، اثنان، واحد. ونستمر على هذا النحو حيث نكتب واحدًا في حرفي المثلث ثم نجمع العددين الموجودين بالأعلى للحصول على العدد التالي. واحد زائد أربعة يساوي خمسة، وهكذا.

لاحظ أننا توقفنا عند ﻥ يساوي خمسة؛ لأن هذه هي قيمة الأس. لكن هذا ليس الصف الخامس. وإنما هو في الواقع الصف السادس. لذا، ينبغي أن ننتبه لذلك عند تعريف مثلث باسكال. ومن ثم، فإن المعاملات هي واحد، وخمسة، و١٠، و١٠، وخمسة، وواحد. بعد ذلك، لإيجاد الحدود في المفكوك، نضرب الحدود في كل عمود على حدة. وبذلك، يكون الحد الأول هو ﺱ أس خمسة في واحد في واحد، أي ﺱ أس خمسة. بعد ذلك، نضرب كل حد في العمود الثاني. فيصبح لدينا ﺱ أس أربعة في أربعة في خمسة، وهو ما يساوي ٢٠ﺱ أس أربعة.

ونواصل على هذا النحو، فنجد أن الحد الثالث يساوي ﺱ تكعيب في أربعة تربيع في ١٠، وهو ما يساوي ١٦٠ﺱ تكعيب. لدينا بعد ذلك ﺱ تربيع في أربعة تكعيب في ١٠، وهو ما يساوي ٦٤٠ﺱ تربيع. بضرب الحدود في العمود قبل الأخير، نحصل على ١٢٨٠ﺱ. والحد السادس والأخير هو ١٠٢٤. وبذلك، نكون قد وجدنا أنه يمكننا كتابة ﺱ زائد أربعة أس خمسة على الصورة ﺱ أس خمسة زائد ٢٠ﺱ أس أربعة زائد ١٦٠ﺱ تكعيب زائد ٦٤٠ﺱ تربيع زائد ١٢٨٠ﺱ زائد ١٠٢٤.

سنتناول الآن مثالًا آخر.

استخدم مثلث باسكال لفك المقدار ﺱ زائد واحد على ﺱ أس أربعة.

تذكر أنه لفك قوسين على الصورة ﺃ زائد ﺏ أس ﻥ لقيم ﻥ الصحيحة الموجبة، نتحرك من اليمين إلى اليسار. يبدأ أس ﺃ بـ ﻥ، وتقل قيمته بمقدار واحد في كل مرة حتى نصل إلى ﺃ أس صفر. ونفعل العكس مع ﺏ. نزيد الأس بمقدار واحد في كل مرة، ونبدأ بـ ﺏ أس صفر، حتى نصل إلى ﺏ أس ﻥ. ومعاملات كل حد هي الأعداد التي تظهر في الصف ﻥ يساوي ﻥ في مثلث باسكال. ونتذكر هنا أن هذا الصف هو في الواقع الصف ﻥ زائد واحد.

بمقارنة المقدار الذي لدينا بالصيغة العامة، سنجعل ﺃ يساوي ﺱ، وﺏ يساوي واحدًا على ﺱ، وﻥ، وهو الأس، يساوي أربعة. سنمثل ذلك في صورة جدول، ونتذكر هنا أن عدد الحدود في المفكوك سيكون ﻥ زائد واحد. إذن، سنحتاج إلى خمسة أعمدة في الجدول. لنبدأ بالتعامل مع ﺱ. نعلم أننا نبدأ بـ ﺱ مرفوعًا للأس ﻥ، أي ﺱ أس أربعة. وبعد ذلك، نقلل هذا الأس بمقدار واحد في كل مرة، ونتذكر بالطبع أن ﺱ أس واحد يساوي ﺱ وﺱ أس صفر يساوي واحدًا.

بعد ذلك، بالنسبة للحد واحد على ﺱ، نبدأ بأس صفر، ثم نزيد ذلك بمقدار واحد في كل مرة. مرة أخرى، نعلم أن أي قيمة أس صفر تساوي واحدًا، وواحد على ﺱ أس واحد يساوي واحدًا على ﺱ. يمكننا بعد ذلك توزيع الأس على كل حد في الكسور، فنحصل على واحد على ﺱ تربيع، وواحد على ﺱ تكعيب، وواحد على ﺱ أس أربعة.

لننظر الآن إلى المعاملات. سنرسم أول بضعة صفوف في مثلث باسكال. نرسم الصف ﻥ يساوي أربعة، وهو في الواقع أربعة زائد واحد، أي الصف الخامس في المثلث. نتذكر أن مثلث باسكال يبدو بهذا الشكل. لدينا العدد واحد في الحرفين الخارجيين. ولإيجاد القيم المتبقية، نجمع العددين الموجودين أعلى كل قيمة مباشرة. واحد زائد ثلاثة يساوي أربعة، وثلاثة زائد ثلاثة يساوي ستة، وهكذا. المعاملات إذن هي واحد، وأربعة، وستة، وأربعة، وواحد. لاحظ أننا نعرف أننا اخترنا الصف الصحيح لأن ليس لدينا فائض من الأعداد، ولا توجد أي فجوات.

لإيجاد كل حد من الحدود في مفكوك ﺱ زائد واحد على ﺱ أس أربعة، نضرب كل حد في كل عمود على حدة. نضرب ﺱ أس أربعة في واحد في واحد، وهو ما يساوي ﺱ أس أربعة، ثم نضرب ﺱ تكعيب في واحد على ﺱ في أربعة، وهو ما يمكن تبسيطه إلى أربعة ﺱ تربيع. بعد ذلك، نضرب الحدود في العمود الثالث والرابع والخامس، ويبسط ذلك بسهولة. إذن، ﺱ زائد واحد على ﺱ أس أربعة يساوي ﺱ أس أربعة زائد أربعة ﺱ تربيع زائد ستة زائد أربعة على ﺱ تربيع زائد واحد على ﺱ أس أربعة. لاحظ في هذه الحالة أنه نظرًا لطبيعة ﺃ وﺏ، حصلنا على حد ثابت يساوي ستة على الرغم من أن ﺃ وﺏ مقداران جبريان.

قد لا نرغب دائمًا في كتابة كل صف في مثلث باسكال. لذا بدلًا من ذلك، سنوجد طريقة مختصرة. نعلم أنه بالنسبة للمقدار ذي الحدين ﺃ زائد ﺏ أس ﻥ، حيث ﻥ عدد صحيح موجب أو عدد طبيعي لا يساوي صفرًا، يكون المفكوك ﻡ صفر في ﺃ أس ﻥ في ﺏ أس صفر زائد ﻡ واحد في ﺃ أس ﻥ ناقص واحد في ﺏ أس واحد، وهكذا حتى ﻡ ﻥ في ﺃ أس صفر في ﺏ أس ﻥ. في هذه الحالة، ﻡﻥ ينتمي إلى الصف ﻥ زائد واحد في مثلث باسكال. ونقلل أس ﺃ في كل مرة، بينما نزيد أس ﺏ. لكن يمكننا إعادة تعريف الأعداد ﻡ صفر، وﻡ واحد، وصولًا إلى ﻡﻥ.

لنعد، على سبيل المثال، إلى مفكوك ﺃ زائد ﺏ أس أربعة. بالنظر إلى الحد الثاني، نجد أن المعامل أربعة يمثل عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار قيمة ﺏ واحدة من مجموعات الأقواس الأربعة ﺃ زائد ﺏ. لكننا نعلم أنه يمكننا تعريف ذلك بالصيغة أربعة ﻕ واحد أو أربعة توافيق واحد. وبالمثل، إذا فكرنا في هذا الحد الثالث، فسنجد أن المعامل ستة يمثل عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار قيمتي ﺏ من مجموعات الأقواس الأربعة. ويمكننا تعريف ذلك بالصيغة أربعة توافيق اثنين. هذا يعني أنه يمكننا الآن إعادة تعريف كل من المعاملات على صورة ﻥ توافيق صفر، وﻥ توافيق واحد، وﻥ توافيق اثنين، وصولًا إلى ﻥ توافيق ﻥ، حيث ﻥ توافيق ﺭ يساوي مضروب ﻥ على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ. والآن، بما أن ﻥ توافيق صفر وﻥ توافيق ﻥ يساوي واحدًا، يمكننا إعادة كتابة ذلك كما هو موضح. لنر الآن كيف يمكننا تطبيق هذه الصيغة.

أوجد مفكوك المقدار ثلاثة زائد ﺱ أس أربعة.

لدينا هنا مقدار ذو حدين مرفوع لقوة عدد صحيح، وبالتالي يمكننا استخدام نظرية ذات الحدين. تنص هذه النظرية على أنه يمكن كتابة ﺃ زائد ﺏ أس ﻥ، حيث ﻥ عدد صحيح موجب، على الصورة ﺃ أس ﻥ زائد ﻥ توافيق واحد ﺃ أس ﻥ ناقص واحد ﺏ زائد ﻥ توافيق اثنين في ﺃ أس ﻥ ناقص اثنين ﺏ تربيع، وصولًا إلى ﺏ أس ﻥ. نلاحظ أن أس ﺃ يقل بمقدار واحد في كل مرة، وأس ﺏ يزيد بمقدار واحد في كل مرة. نقارن المقدار بالصيغة العامة. فنجعل ﺃ يساوي ثلاثة، وﺏ يساوي ﺱ، وأخيرًا ﻥ يساوي أربعة.

لنر ما إذا كان بإمكاننا استخدام ذلك لفك المقدار. الحد الأول هو ﺃ أس ﻥ. وهذا يساوي ثلاثة أس أربعة. لدينا بعد ذلك ﻥ توافيق واحد، أي أربعة توافيق واحد في ثلاثة أس ثلاثة. وتذكر أننا نقلل هذه الأسس، ثم نضرب ذلك في ﺱ. الحد التالي هو أربعة توافيق اثنين. نقلل أس ثلاثة، ونزيد أس ﺱ. فنحصل على ثلاثة تربيع في ﺱ تربيع. والحد الرابع هو أربعة توافيق ثلاثة في ثلاثة في ﺱ تكعيب. وهذا هو الحد الأخير. وبالتالي، فهو ﺏ أس ﻥ، وهو ما يساوي ﺱ أس أربعة.

لاحظ أن عدد الحدود يكون دائمًا أكبر من الأس بمقدار واحد. ومن ثم، لدينا خمسة حدود هنا. لنبسط الآن هذه الحدود. ثلاثة أس أربعة يساوي ٨١. أربعة توافيق واحد يساوي أربعة، وثلاثة تكعيب يساوي ٢٧. والحد التالي هو ١٠٨ﺱ. أربعة توافيق اثنين يساوي ستة؛ ومن ثم فإن الحد الثالث يساوي ستة في تسعة في ﺱ تربيع، وهو ما يساوي ٥٤ﺱ تربيع. أربعة توافيق ثلاثة يساوي أربعة؛ ومن ثم فإن الحد الرابع يساوي ١٢ﺱ تكعيب، والحد الخامس والأخير ما يزال ﺱ أس أربعة. ثلاثة زائد ﺱ أس أربعة يساوي ٨١ زائد ١٠٨ﺱ زائد ٥٤ﺱ تربيع زائد ١٢ﺱ تكعيب زائد ﺱ أس أربعة.

لاحظ أنه يمكننا أيضًا تعريف حد معين باستخدام الحد العام لنظرية ذات الحدين. وهو ﻥ توافيق ﺭ في ﺃ أس ﻥ ناقص ﺭ في ﺏ أس ﺭ. لنفترض أننا نريد تعريف الحد الرابع في هذا المفكوك. نقول إن ﺭ يساوي ثلاثة. ونجد مرة أخرى أن لدينا أربعة توافيق ثلاثة في ثلاثة أس أربعة ناقص ثلاثة في ﺱ تكعيب، وهو ما يعطينا مرة أخرى ١٢ﺱ تكعيب. ويمكن أن تكون هذه طريقة أكثر اختصارًا.

سنتناول الآن النقاط الرئيسية المستخلصة من هذا الدرس. في هذا الدرس، تعلمنا أنه يمكننا كتابة مثلث باسكال سريعًا لقيم ﻥ الصغيرة لكي نفك بسهولة ذوات الحدين المكتوبة على الصورة ﺃ زائد ﺏ أس ﻥ. ويمكننا بدلًا من ذلك استخدام نظرية ذات الحدين، خاصة عندما تكون قيمة ﻥ كبيرة. وتنص هذه النظرية على إنه لكل قيم ﻥ الصحيحة، ﺃ زائد ﺏ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻥ زائد ﻥ توافيق واحد ﺃ أس ﻥ ناقص واحد ﺏ، وهكذا وصولًا إلى ﺏ أس ﻥ. وإذا أردنا تعريف حد معين، فيمكننا استخدام الحد العام، وهو ﻥ توافيق ﺭ في ﺃ أس ﻥ ناقص ﺭ في ﺏ أس ﺭ.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.