فيديو السؤال: حساب قيمة مجموع تكاملات محددة لدالة ثابتة الرياضيات

أوجد ‎∫_(−٥‎)^(−٤)ﻙ ﺩﺱ + ‎∫_(٨‎)^(−٥)ﻙ ﺩﺱ، علمًا بأن ﻙ ثابت.

٠٤:٣٤

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد التكامل من سالب خمسة إلى سالب أربعة لـ ﻙ بالنسبة إلى ﺱ زائد التكامل من ثمانية إلى سالب خمسة لـ ﻙ بالنسبة إلى ﺱ، علمًا بأن ﻙ ثابت.

في هذا السؤال، لدينا تكاملان محددان، ومطلوب منا إيجاد مجموعهما. الدالة التي سيتم تكاملها في كلا التكاملين هي دالة ثابتة يرمز إليها بالحرف ﻙ. الحدان السفلي والعلوي في التكامل الأول هما سالب خمسة وسالب أربعة، على الترتيب. والحدان السفلي والعلوي في التكامل الثاني هما ثمانية وسالب خمسة، على الترتيب. لاحظ أنه في التكامل الأول، الحد السفلي أصغر من الحد العلوي. وفي التكامل الثاني، الحد السفلي أكبر من الحد العلوي.

للإجابة عن هذا السؤال، سنستخدم الخاصية الآتية. بالنسبة لأي ثابت ﺙ، فإن التكامل من ﺃ إلى ﺏ لـ ﺙ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺙ في ﺏ ناقص ﺃ. تذكر أن هذه الخاصية تنطبق، سواء كان ﺃ أصغر من ﺏ أم ﺃ يساوي ﺏ أم ﺃ أكبر من ﺏ. وبجعل ﺃ يساوي سالب خمسة، وﺏ يساوي سالب أربعة، وﺙ يساوي ﻙ في هذه الخاصية، نجد أن التكامل من سالب خمسة إلى سالب أربعة لـ ﻙ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﻙ مضروبًا في سالب أربعة ناقص سالب خمسة، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ﻙ مضروبًا في سالب أربعة زائد خمسة. وهذا يساوي ﻙ.

بما أن هذه الخاصية تنطبق عندما يكون ﺃ أكبر من ﺏ، وبجعل ﺃ يساوي ثمانية وﺏ يساوي سالب خمسة وﺙ يساوي ﻙ، نجد أن التكامل من ثمانية إلى سالب خمسة لـ ﻙ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﻙ مضروبًا في سالب خمسة ناقص ثمانية، وهو ما يمكن تبسيطه إلى سالب ١٣ﻙ. وبذلك، فإن التكامل من سالب خمسة إلى سالب أربعة لـ ﻙ بالنسبة إلى ﺱ زائد التكامل من ثمانية إلى سالب خمسة لـ ﻙ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﻙ ناقص ١٣ﻙ، وهو ما يمكن تبسيطه إلى سالب ١٢ﻙ. هذه هي إجابتنا النهائية. لكن لاحظ أن الطريقة التي استخدمناها للتوصل إلى الإجابة ليست هي الطريقة الوحيدة التي كان بإمكاننا استخدامها.

دعونا نستعرض سريعًا طريقة أخرى يمكننا استخدامها لحل السؤال. تذكر أنه إذا كان لدينا تكاملان لهما نفس الدالة التي سيتم تكاملها، مع تحقق خاصية تساوي الحد العلوي للتكامل الأول مع الحد السفلي للتكامل الثاني، فإن مجموعهما يساوي تكامل نفس الدالة التي سيتم تكاملها من الحد السفلي للتكامل الأول إلى الحد العلوي للتكامل الثاني. تنطبق هذه الخاصية إذا كان ﺃ أصغر من ﺏ، أو ﺃ يساوي ﺏ، أو ﺃ أكبر من ﺏ.

نستخدم إذن هذه الخاصية للإجابة عن السؤال. يمكننا تبديل ترتيب التكاملين في المجموع المطلوب حساب قيمته، وإعادة كتابة هذا المجموع على صورة التكامل من ثمانية إلى سالب خمسة لـ ﻙ بالنسبة إلى ﺱ زائد التكامل من سالب خمسة إلى سالب أربعة لـ ﻙ بالنسبة إلى ﺱ. نلاحظ الآن أن الحد العلوي للتكامل الأول يساوي الحد السفلي للتكامل الثاني. ومن ثم، باستخدام الخاصية التي أوضحناها للتو، يمكننا إعادة كتابة المجموع المطلوب حساب قيمته على صورة التكامل من ثمانية إلى سالب أربعة لـ ﻙ بالنسبة إلى ﺱ.

بجعل ﺃ يساوي ثمانية، وﺏ يساوي سالب أربعة، وﺙ يساوي ﻙ في الخاصية الأولى التي أوضحناها، نجد أن قيمة هذا التكامل تساوي ﻙ مضروبًا في سالب أربعة ناقص ثمانية، وهو ما يمكن تبسيطه إلى سالب ١٢ﻙ، وهو الناتج نفسه الذي حسبناه من قبل. وبهذا، نكون قد استعرضنا طريقتين يمكن استخدامهما لإيجاد مجموع التكاملين المحددين في السؤال. وفي كلتا الطريقتين، حصلنا على الناتج سالب ١٢ﻙ.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.