فيديو السؤال: استخدام الدوال العكسية لحل المعادلات المثلثية الممثلة لمواقف حياتية الرياضيات

تقلب درجات الحرارة في أحد أيام الشتاء الباردة (المقيسة بالدرجات المئوية) ممثل بالعلاقة ﺩ = ٣ جتا((‏𝜋‏‏/‏١٢)(ﻥ − ١٤)) + ٢؛ حيث ﻥ أحد الأوقات في اليوم بعد منتصف الليل موضح بالساعات. في أي الأوقات في اليوم كانت درجة الحرارة ٠°س؟

٠٨:٣٣

‏نسخة الفيديو النصية

تقلب درجات الحرارة في أحد أيام الشتاء الباردة (المقيسة بالدرجات المئوية) ممثل بالعلاقة ﺩ يساوي ثلاثة جتا ‏𝜋‏ على ١٢ في ﻥ ناقص ١٤ زائد اثنين، حيث ﻥ أحد الأوقات في اليوم بعد منتصف الليل موضح بالساعات. في أي الأوقات في اليوم كانت درجة الحرارة صفر درجة مئوية؟

المطلوب منا في هذه المسألة هو إيجاد قيمة ﻥ (التي تمثل الزمن) عندما ﺩ (التي تمثل درجة الحرارة) صفرًا. أولًا، لكي نوضح مدى القيم الذي يمكن أن يأخذه ﻥ. بما أن ﻥ يمثل الوقت بعد منتصف الليل بالساعات، وبما أنه يوجد ٢٤ ساعة في اليوم، فهذا يعني أن ﻥ يمكن أن يأخذ مدى من القيم يتراوح بين صفر و٢٤. وبهذا تصبح الصيغة التي لدينا هي صفر أقل من أو يساوي ﻥ، والذي هو أقل من ٢٤.

والآن حين ننظر إلى الدالة التي تعبر عن درجة الحرارة، نجد أن لدينا جتا ‏𝜋‏ على ١٢ في ﻥ ناقص ١٤. ولكي يصبح حساب هذه القيم أسهل، علينا أن نجد مدى القيم للزاوية داخل دالة جتا. وبهذا نحصل على ‏𝜋‏ على ١٢ في ﻥ ناقص ١٤. ولكي نتمكن من إيجاد هذا المدى، علينا فقط تعديل مدى قيم ﻥ والذي حددناه بالفعل.

حسنًا، لنبدأ بطرح ١٤ من كل جزء من أجزاء المتباينة. بهذا يصبح لدينا سالب ١٤ أقل من أو يساوي ﻥ ناقص ١٤، والذي هو أقل من ١٠. والآن يمكننا ضرب كل جزء من أجزاء المتباينة في ‏𝜋‏ على ١٢. وبهذا نحصل على هذا الناتج. ويمكننا تبسيطه إلى سالب سبعة ‏𝜋‏ على ستة أقل من أو يساوي ‏𝜋‏ على ١٢ في ﻥ ناقص ١٤ أقل من خمسة ‏𝜋‏ على ستة. وبهذا، نكون قد توصلنا إلى مدى قيم ‏𝜋‏ على ١٢ في ﻥ ناقص ١٤.

والآن نجعل ﺩ يساوي صفرًا. وبهذا نحصل على صفر يساوي ثلاثة جتا ‏𝜋‏ على ١٢ في ﻥ ناقص ١٤ زائد اثنين. ويمكننا إعادة ترتيب هذا لكي نبدأ بجزء جتا، وبهذا نحصل على جتا ‏𝜋‏ على ١٢ في ﻥ ناقص ١٤ يساوي سالب اثنين على ثلاثة. ولمزيد من التبسيط، يمكننا أن نعوض بـ 𝜃 بدلًا من ‏𝜋‏ على ١٢ في ﻥ ناقص ١٤. وبالتالي، فإن ما نحله هو جتا 𝜃 يساوي سالب اثنين على ثلاثة. ويمكننا أن نستخدم المدى الذي توصلنا إليه فيما سبق لكي يساعدنا في الحل.

وهذا هو مدى ‏𝜋‏ على ١٢ في ﻥ ناقص ١٤، وهو نفسه مدى 𝜃. والآن، علينا إيجاد قيم 𝜃 التي تجعل سالب سبعة ‏𝜋‏ على ستة أقل من أو يساوي 𝜃 وهو أقل من خمسة ‏𝜋‏ على ستة. والآن، نحن على استعداد لحل جتا 𝜃 يساوي سالب اثنين على ثلاثة. لنرسم منحنى جتا حتى يساعدنا في حساب هذا. ها هو التمثيل البياني الذي يمثل ﺹ يساوي جتا 𝜃. والآن لنحدد مدى 𝜃 عليه. ونحن نعرف أن سالب سبعة ‏𝜋‏ على ستة أصغر من أو يساوي 𝜃.

وبهذا يمكننا أن نرسم في التمثيل البياني خطًا مستقيمًا متصلًا عند سالب سبعة ‏𝜋‏ على ستة. كما أن لدينا 𝜃 أقل من خمسة ‏𝜋‏ على ستة. ولهذا نرسم خطًا مستقيمًا متقطعًا عند خمسة ‏𝜋‏ على ستة. بعد ذلك، سوف نضيف الخط المستقيم ﺹ يساوي سالب اثنين على ثلاثة. وبهذا يصبح حلًا المعادلة عند تقاطع الخطين المستقيمين ﺹ يساوي سالب اثنين على ثلاثة وﺹ يساوي جتا 𝜃. وكما نرى، فإن لدينا حلين.

إذا كتبنا على الآلة الحاسبة معكوس جتا سالب اثنين على ثلاثة، فإننا نحصل على القيمة: ٢٫٣٠٠٥٢٣٩٨٣. وهذه القيمة تقع بين ‏𝜋‏ على اثنين وبين ‏𝜋‏. إذن، هذا هو الحل على يمين التمثيل البياني. ولكي نتوصل إلى الحل الآخر، يمكننا أن نستفيد من حقيقة أن التمثيل البياني متماثل حول المحور ﺹ. هذا معناه أن الحل الثاني سيكون ببساطة سالب الحل الأول. وبهذا فإن الحل الثاني هو سالب ٢٫٣٠٠٥٢٣٩٨٣.

يمكننا أن نجري عملية تقريب هنا. لكن هذا قد يؤثر في دقة الناتج. لذا، نحتفظ بكلا الحلين على أنهما قيمة معكوس جتا سالب اثنين على ثلاثة. لدينا 𝜃 يساوي معكوس جتا سالب اثنين على ثلاثة. والآن يمكننا التعويض بقيمة 𝜃 التي حددناها من قبل. يصبح لدينا ‏𝜋‏ على ١٢ في ﻥ ناقص ١٤ يساوي معكوس جتا سالب اثنين على ثلاثة. والآن، نعيد ترتيب هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻥ.

يمكننا أن نبدأ بضرب كلا الطرفين في ١٢ على ‏𝜋‏. والآن نضيف ١٤ إلى كلا الطرفين. يصبح لدينا ﻥ يساوي ١٤ زائد ١٢ على ‏𝜋‏ معكوس جتا سالب اثنين على ثلاثة. كل ما علينا فعله الآن هو أن نعوض بقيمتي معكوس جتا سالب اثنين على ثلاثة اللتين توصلنا إليهما فيما سبق. إذا عوضنا في الحل الموجب، فإننا نجد أن ﻥ يساوي ٢٢٫٧٨٧٣٥٤٣٣ ساعة. وإذا عوضنا في الحل السالب، فإننا نجد أن ﻥ يساوي ٥٫٢١٢٦٤٥٦٧٤ ساعات.

في الواقع، لا يمكننا أن نعبر عن الساعة بعدد عشري. لذا، علينا أن نحول العلامة العشرية إلى دقائق. وحتى نفعل هذا، نأخذ الجزء العشري ونضربه في ٦٠. وبهذا تكون الإجابة ٤٧ دقيقة. ويمكننا أن نجري عملية تقريب أخرى هنا، بما أننا لا نحتاج إلى الحصول على ناتج أكثر دقة من الدقائق. وبالنسبة إلى الحل الثاني الذي حسبناه، علينا أن نضرب الجزء الذي يلي العلامة العشرية في ٦٠. وهذا يعطينا ١٣ دقيقة. ومن ثم، بلغت درجة الحرارة صفر درجة بعد منتصف الليل بخمس ساعات و١٣ دقيقة، و٢٢ ساعة و٤٧ دقيقة.

لذا، فالإجابة هي الخامسة و١٣ دقيقة صباحًا والعاشرة و٤٧ دقيقة مساء.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.