فيديو السؤال: إيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية لدالة كثيرة الحدود الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة ﺩﺱ يساوي سالب اثنين ﺱ تكعيب زائد ثلاثة ﺱ تربيع زائد ١٢ﺱ.

ما رسمناه الآن هو رسم مبدئي صغير لتحديد ما سنتناوله في هذا السؤال. نحن نريد إيجاد القيم المحلية العظمى والصغرى لدالة. وعليه، رسمنا هذا الرسم المبدئي للدالة. وكما نلاحظ، فإن الميل أو ﻡ يساوي صفرًا عند نقاط القيم العظمى والصغرى. إذن، لإيجاد مواضع هذه النقاط، سنشتق الدالة سالب اثنين ﺱ تكعيب زائد ثلاثة ﺱ تربيع زائد ١٢ﺱ؛ وذلك لإيجاد دالة الميل.

حسنًا، إذا اشتققنا الدالة، فسيكون الحد الأول هو سالب ستة ﺱ تربيع. دعونا نوضح أننا حصلنا على ذلك الحد لأننا ضربنا الأس في المعامل؛ أي ضربنا ثلاثة في سالب اثنين، وهو ما يعطينا سالب ستة. والآن، نطرح من الأس واحدًا. ومن ثم، نحصل على ﺱ تربيع.

هذا عظيم! الحد التالي سيكون موجب ستة ﺱ. وسيكون الحد الأخير موجب ١٢، وهذا يعطينا دالة الميل سالب ستة ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ١٢. حسنًا، إذا نظرنا مرة أخرى إلى الرسم لدينا، فسنلاحظ أنه لإيجاد نقاط القيم العظمى والصغرى، فإنه علينا إيجاد النقاط التي يكون عندها الميل مساويًا لصفر. ولكي نفعل ذلك، جعلنا دالة الميل تساوي صفرًا. إذن، يصبح لدينا الآن صفر يساوي سالب ستة ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ١٢.

يمكننا الآن البدء في حل ذلك. ما سنفعله أولًا هو ضرب الطرفين في سالب واحد. وهذا لجعل حد ﺱ تربيع موجبًا. وبذلك، يصبح لدينا صفر يساوي ستة ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ ناقص ١٢. وقد قمنا بهذه الخطوة لتسهيل الحل في هذه المرحلة.

والآن سنقسم الطرفين على ستة. وسنفعل ذلك مرة أخرى للتبسيط؛ ومن ثم لتسهيل حل الدالة التربيعية. إذن، يصبح لدينا صفر يساوي ﺱ تربيع ناقص ﺱ ناقص اثنين، ويمكننا الآن الحل عن طريق التحليل لأننا إذا حللنا الدالة التربيعية، فسنحصل على ﺱ ناقص اثنين مضروبًا في ﺱ زائد واحد. وقد توصلنا إلى ذلك لأنه بالنظر إلى سالب اثنين وموجب واحد، نعلم أن حاصل الضرب يجب أن يكون سالب اثنين. إذن، سالب اثنين مضروبًا في واحد يعطينا سالب اثنين. والمجموع يجب أن يساوي سالب واحد؛ لأن هذا هو معامل حد ﺱ. حسنًا، سالب اثنين زائد واحد يساوي سالب واحد.

هذا رائع! لدينا الآن عاملان. دعونا نستخدمهما لإيجاد القيم التي نريدها. إذن، ﺱ يساوي اثنين أو سالب واحد. وهاتان هما قيمتا الإحداثي ﺱ للنقطتين الحرجتين. حسنًا، ما نريده الآن هو إيجاد قيمة الدالة عند هاتين النقطتين. إذن، سنعوض بـ ﺱ يساوي اثنين، وﺱ يساوي سالب واحد.

إذا عوضنا عن ﺱ باثنين في الدالة، فإن قيمة الدالة ستساوي سالب اثنين في اثنين تكعيب زائد ثلاثة مضروبًا في اثنين تربيع زائد ١٢ مضروبًا في اثنين، وهو ما يساوي سالب ١٦ زائد ١٢ زائد ٢٤، وهذا يساوي ٢٠. إذن، إحدى النقطتين هي اثنان، ٢٠. وهذه هي إحدى النقطتين الحرجتين. إذن، ستكون قيمة عظمى أو صغرى.

عندما نعوض عن ﺱ بسالب واحد، نحصل على سالب اثنين مضروبًا في سالب واحد تكعيب زائد ثلاثة مضروبًا في سالب واحد تربيع زائد ١٢ مضروبًا في سالب واحد. ومن ذلك، نحصل على اثنين زائد ثلاثة ناقص ١٢، وهو ما يعطينا القيمة سالب سبعة. إذن، النقطة التالية هي سالب واحد، سالب سبعة.

حسنًا، هذا رائع! لقد تمكنا من إيجاد النقطتين. لكن علينا الآن معرفة أيهما قيمة عظمى محلية وأيهما قيمة صغرى محلية. لكي نحدد ما إذا كانت القيمة عظمى أم صغرى، يمكننا الاستعانة بهذه العلاقة الخاصة بالمشتقة الثانية لأننا نعلم أنه إذا كانت قيمة المشتقة الثانية أكبر من صفر، فسيكون لدينا قيمة محلية صغرى. ولكن إذا كانت قيمة المشتقة الثانية أصغر من صفر، فسيكون لدينا قيمة محلية عظمى.

نحن نعرف ذلك لأننا إذا نظرنا إلى المشتقة الثانية — إذا كانت قيمتها موجبة أو أكبر من صفر — فسنجد أننا ننظر إلى الجزء الذي يكون فيه المنحنى مقعرًا لأعلى. إذن، ستكون هذه نقطة قيمة صغرى. وإذا كانت قيمتها أصغر من صفر أو سالبة، فسيكون المنحنى مقعرًا لأسفل.

عظيم! هذا ما نعرفه حتى الآن. هيا نوجد المشتقة الثانية. لإيجاد المشتقة الثانية، سنشتق دالة الميل؛ وهي سالب ستة ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ١٢. وعندما نفعل ذلك، يصبح لدينا سالب ١٢ﺱ زائد ستة. ما سنفعله الآن هو التعويض بقيمتي ﺱ لدينا لتحديد ما إذا كان لدينا نقطة قيمة محلية عظمى أم نقطة قيمة محلية صغرى.

إذا عوضنا بـ ﺱ يساوي اثنين، فسنحصل على سالب ١٢ في اثنين زائد ستة، ما يساوي سالب ٢٤ زائد ستة، وهذا يساوي سالب ١٨. إذن، هذه هي نقطة القيمة المحلية العظمى. وإذا عوضنا عن ﺱ بسالب واحد، فسنحصل على سالب ١٢ مضروبًا في سالب واحد زائد ستة، ما يساوي ١٢ زائد ستة، وهذا يساوي ١٨. وبما أن ١٨ قيمة موجبة، فستكون هي نقطة القيمة المحلية الصغرى.

هذا عظيم! يمكننا إذن قول إن القيمة المحلية الصغرى لـ ﺩﺱ تساوي سالب اثنين ﺱ تكعيب زائد ثلاثة ﺱ تربيع زائد ١٢ﺱ تساوي سالب سبعة عند ﺱ يساوي سالب واحد. والقيمة المحلية العظمى تساوي ٢٠ عند ﺱ تساوي اثنين.