فيديو السؤال: إيجاد مركز كتلة مستطيل منتظم يتضمَّن ثقبين دائريين الرياضيات

صفيحة منتظمة على شكل مستطيل ﺃﺏﺟﺩ، فيه ﺃﺏ = ٣٧ سم، ﺃﺩ = ٢٣ سم. تقع النقطتان ﻫ، و على القطعة المستقيمة ﺏﺩ؛ حيث ﺏو = ١٠ سم، ﺩﻫ = ١٥ سم. صُنع ثقب نصف قطره ٥ سم عند و، وثقب آخر نصف قطره ٤ سم عند ﻫ. أوجد إحداثيات النقطة ن على القطعة المستقيمة ﺃﺏ؛ حيث يمكن أن تُعلَّق الصفيحة ليكون القطعة المستقيمة ﺃﺏ أفقيًّا في موضع اتزان. وأوجد إحداثيات النقطة ك على القطعة المستقيمة ﺃد؛ حيث يمكن أن تُعلَّق الصفيحة ليكون القطعة المستقيمة ﺃد أفقيًّا في موضع اتزان. قرِّب الناتجين لأقرب رقمين عشريين إذا لزم الأمر.

٠٩:٤٩

‏نسخة الفيديو النصية

صفيحة منتظِمة على شكل مستطيل أ ب ﺟ د. فيه أ ب يساوي سبعة وتلاتين سنتيمتر. وَ أ د يساوي تلاتة وعشرين سنتيمتر. تقع النقطتان ﻫ وَ و على القطعة المستقيمة ب د؛ حيث ب و يساوي عشرة سنتيمتر، وَ د ﻫ يساوي خمستاشر سنتيمتر.

صُنِع ثُقب نصف قطره خمسة سنتيمتر عند و، وثقب آخر نصف قطره أربعة سنتيمتر عند ﻫ. أوجد إحداثيات النقطة ن على القطعة المستقيمة أ ب، حيث يمكن أن تعلَّق الصفيحة؛ ليكون القطعة المستقيمة أ ب أفقيًّا في موضع اتِّزان.

وأوجد إحداثيات النقطة ك على القطعة المستقيمة أ د، حيث يمكن أن تعلَّق الصفيحة؛ ليكون القطعة المستقيمة أ د أفقيًّا في موضع اتِّزان. قرِّب الناتجين لأقرب رقمين عشريين إذا لزم الأمر.

في البداية، هعرَّف مركز الثُّقل. ومركز ثُقل الجسم الجاسئ هو نقطة تأثير محصِّلة أوزان الجسيمات التي يتكوَّن منها الجسم. ولو افترضت إن إحداثيات مركز الثُّقل هي م، وهتكون عبارة عن مسقط سيني ومسقط صادي. فهيكون المسقط السيني هو عبارة عن الكتلة الأولى في الإحداثي السيني للجسم الأول. زائد الكتلة التانية في الإحداثي السيني للجسم التاني. زائد الكتلة التالتة في الإحداثي السيني للجسم التالت. على مجموع الكتل ك واحد زائد ك اتنين زائد ك تلاتة. وطبعًا لو أكتر من تلات أجسام فهكمّل بنفس الطريقة.

وكذلك المسقط الصادي هيكون: ك واحد ص واحد. زائد ك اتنين ص اتنين. زائد ك تلاتة ص تلاتة. على ك واحد زائد ك اتنين زائد ك تلاتة. وبالتالي أنا هشوف الجسم اللي عندي بيتكوّن من كام جسم. وأقدر أحدِّد مركز ثُقل كل واحد فيهم؛ عشان أقدر أعرف المسقط السيني لمركز الثُّقل ده، والمسقط الصادي.

وبمجرَّد النظر للمسألة، هلاحظ إن الصفيحة على شكل مستطيل. ومقطوع منها جزئين، كل واحد فيهم على شكل دايرة. وبالتالي هستخدم طريقة الكتلة السالبة. وهي إني بعتبر إن أنا قطعت جزء من الشكل الكبير. وبالتالي أعوّض عن كتلة كل جزء مقطوع بكتلة سالبة. أو بمعنى أصحّ، بطرح كتلة كل دايرة من الكتلة الكبيرة، اللي هي الصفيحة الكبيرة اللي على شكل مستطيل.

وبالتالي أنا محتاج أعرف مركز ثُقل وكتلة المستطيل، اللي أنا هسمِّيها م واحد. ومركز ثُقل الدايرة و، ومركز ثُقل الدايرة ﻫ. وكذلك كتلة كل واحد فيهم. وعلشان أقدر أعرف كتلة كل دايرة منهم، محتاج أعرف مساحتها. لأن القاعدة بتقول: في الأجسام المنتظِمة المقطع، النسبة بين المساحات هي النسبة بين الكتل. وبالتالي محتاج أعرف مساحة كل دايرة.

وهو قال في المسألة: إن الدايرة اللي مركزها ﻫ نصف قطرها أربعة سنتيمتر. والدايرة اللي مركزها و نصف قطرها خمسة سنتيمتر. وبالتالي أقدر أقول: إن كتلة المستطيل اللي أنا هسمِّيها ك واحد. إلى كتلة الدايرة و اللي هسمِّيها ك و. إلى كتلة الدايرة ﻫ اللي هسمِّيها ك ﻫ. تساوي … مساحة المستطيل م واحد، إلى … مساحة الدايرة م و، إلى مساحة الدايرة ﻫ، اللي هي م ﻫ. يساوي … مساحة المستطيل هي الطول في العرض. وفي المسألة قال: إن الطول هو سبعة وتلاتين سنتيمتر، والعرض تلاتة وعشرين سنتيمتر. وبالتالي تكون ك واحد هي تمنمية واحد وخمسين وحدة كتل. وَ ك و هي خمسة وعشرين 𝜋؛ لأنه مساحة الدايرة بتساوي 𝜋 نق تربيع. وأيضًا مساحة الدايرة ﻫ تساوي ستاشر 𝜋.

وعشان أقدر أعرف مركز ثُقل كل جسم منهم، محتاج أعرف معلومات من عَ الرسم. الزاوية د ب ﺟ هسمِّيها الزاوية 𝜃. وبالتالي تكون هي الزاوية دي. وأيضًا الزاوية دي هتبقى هي هي 𝜃، بالتناظر. وعشان أقدر أعرف جا 𝜃 وَ جتا 𝜃. هبصّ للمثلث د ب ﺟ. وهجد إن جا 𝜃 تساوي طول الضلع المقابل اللي هو د ﺟ، على طول الوتر اللي هو د ب. وأيضًا جتا 𝜃 تساوي طول المجاور، وهو ب ﺟ، على طول الوتر اللي هو ب د.

وآخد بالي إن طول الوتر من نظرية فيثاغورس هيساوي تلاتة وأربعين، فصلة خمسة ستة ستة صفر أربعة واحد سنتيمتر. وبالتالي جا 𝜃 هتساوي صفر، فصلة تمنية أربعة تسعة تلاتة. وَ جتا 𝜃 هتساوي صفر، فصلة خمسة اتنين سبعة تسعة. وما أنساش إن المسقط السيني للدايرة ﻫ هو طول الجزء ده. بداية من نقطة الأصل، وصولًا للمسقط السيني للنقطة ﻫ. وده هحسب طوله عن طريق إني أحسب طول الضلع د ﻫ، مضروب في جتا 𝜃. وده طوله هيساوي سبعة فصلة تسعمية وتسعتاشر سنتيمتر. أمّا المسقط الصادي لمركز الدايرة ﻫ، فهو الجزء ﺟ ز. وده عبارة عن طول ﺟ د اللي هو سبعة وتلاتين، ناقص طول ز د.

وعشان أقدر أحسب طول ز د، هحسبه عن طريق إني أضرب الخمستاشر في جا 𝜃. وده هيساوي اتناشر وسبعمية تسعة وتلاتين من ألف سنتيمتر. وبالتالي طول ﺟ ز، اللي هو المسقط الصادي لمركز الدايرة ﻫ، هيكون أربعة وعشرين وميتين وستين من ألف سنتيمتر. وبالتالي هكون جِبت مركز ثُقل الدايرة ﻫ. وبالتالي هكون مش محتاج طول القطعة المستقيمة ز د.

وبنفس الطريقة، مركز الدايرة و هيكون مسقطها السيني هو سبعتاشر وسبعمية وعشرين من ألف سنتيمتر. أمّا المسقط الصادي، فهيكون تمنية وربعمية اتنين وتسعين سنتيمتر. وبالتالي هيكون مركز ثُقل المجموعة مسقطه السيني هو الكتلة الأولى في إحداثيها السيني. زائد الكتلة التانية في إحداثيها السيني. زائد الكتلة التالتة في إحداثيها السيني. مقسوم على مجموع الكتل اللي هو هيكون سبعمية اتنين وعشرين ومية أربعة وتسعين من ألف. وكذلك بالنسبة للمسقط الصادي. وده هيكون شكل المسقط السيني والمسقط الصادي لمركز ثُقل المجموعة.

إذن مركز ثُقل المجموعة هيساوي حداشر وسبعمية سبعة وعشرين من عشرة آلاف، وتسعتاشر وألف تمنمية تلاتة وسبعين من عشرة آلاف. ولأقرب رقمين عشريين، مركز الثُّقل هيساوي حداشر وسبعة من مية، وتسعتاشر وتسعتاشر من مية. وعلى الرسم هيكون ده تقريبًا مركز ثُقل المجموعة.

وعشان أقدر أحصل على إحداثيات لنقطة ن تقع على أ ب، بحيث يتمّ تعليق الصفيحة منها، ويكون أ ب أفقيًّا. لازم يكون القطعة المستقيمة م ن رأسية وقت التعليق. وبالتالي تكون النقطة ن لها إحداثي صادي بالظبط قدّ النقطة م. وبالتالي إحداثيات النقطة ن تكون تلاتة وعشرين، وتسعتاشر وتسعتاشر من مية. وكذلك عشان أقدر أحصل على إحداثيات نقطة ك تنتمي لـ أ د، بحيث إذا تمّ تعليق الصفيحة منها، يكون أ د أفقيًّا. لازم يكون م ك رأسي وقت التعليق. وبالتالي تكون النقطة ك لها نفس المسقط السيني للنقطة م.

وبالتالي تكون إحداثيات النقطة ك هي حداشر وسبعة من مية وسبعة وتلاتين. إذن ن تلاتة وعشرين، وتسعتاشر وتسعتاشر من مية. وَ ك حداشر وسبعة من مية، وسبعة وتلاتين.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.