نسخة الفيديو النصية
عين مجال ومدى الدالة: ﺩ ﺱ تساوي ستة عند ﺱ أقل من صفر، وﺩ ﺱ تساوي سالب أربعة عند ﺱ أكبر من صفر.
في هذا السؤال، لدينا الدالة المتعددة التعريف ﺩ ﺱ، والتمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺩ ﺱ. وعلينا استخدام ذلك لإيجاد مجال الدالة ﺩ ﺱ ومداها. دعونا نبدأ باسترجاع ما نعنيه بمجال الدالة ومداها.
أولًا، مجال الدالة هو مجموعة كل القيم المدخلة للدالة. ثانيًا، مدى الدالة هو مجموعة كل القيم المخرجة للدالة بمعلومية مجالها. هيا نبدأ بإيجاد مجال الدالة ﺩ ﺱ. هناك طريقتان مختلفتان لفعل ذلك. يمكننا أولًا ببساطة النظر إلى الدالة المتعددة التعريف ﺩ ﺱ. إننا نريد إيجاد جميع القيم المدخلة الممكنة لهذه الدالة. ومن الدالة المتعددة التعريف المعطاة في السؤال يمكننا ملاحظة أن القيمة المخرجة للدالة تساوي ستة عند ﺱ أقل من صفر، وأن القيمة المخرجة للدالة تساوي سالب أربعة عند ﺱ أكبر من صفر. وتعرف هاتان المتباينتان بأنهما المجالان الجزئيان للدالة المتعددة التعريف. ويوضح لنا هذان المجالان الجزئيان قيم ﺱ المدخلة، والتي تناظر أحد تعريفات الدالة المعطاة.
يمكننا هنا ملاحظة أنه مسموح لنا إدخال أي قيمة لـ ﺱ أقل من صفر أو أي قيمة لـ ﺱ أكبر من صفر. وهذا يعني أي قيمة لـ ﺱ لا تساوي صفرًا. إذن، يمكن لأي قيمة لـ ﺱ لا تساوي صفرًا أن تكون قيمة مدخلة للدالة لدينا. وهنا علينا تذكر أننا نكتب المجال في صورة مجموعة. إذن، مجال هذه الدالة هو مجموعة كل الأعداد الحقيقية فرق المجموعة التي تتضمن صفرًا. لكن هذه ليست الطريقة الوحيدة التي يمكننا من خلالها إيجاد القيم المدخلة للدالة لدينا؛ لأن لدينا هنا تمثيلًا بيانيًّا للدالة.
تذكر أنه في التمثيل البياني، يوضح لنا الإحداثي ﺱ لأي نقطة على المنحنى القيمة المدخلة ﺱ للدالة، ويوضح الإحداثي ﺹ القيمة المخرجة المناظرة لها. على سبيل المثال، عند ﺱ يساوي خمسة، يمكننا ملاحظة أن النقطة التي إحداثياتها خمسة، سالب أربعة تقع على التمثيل البياني. ومن ثم، يمكن أن تكون خمسة قيمة مدخلة للدالة لدينا. وقيمة ﺩ عند خمسة تساوي سالب أربعة. إذن، العدد خمسة يقع ضمن مجال الدالة.
هناك طريقة أخرى للتعبير عن ذلك، وهي أن هناك نقطة تقاطع بين الخط الرأسي ﺱ يساوي خمسة والتمثيل البياني المعطى. وهذا يسمى أحيانًا اختبار الخط الرأسي. إذ نفترض وجود خطوط رأسية ونبحث عن نقاط التقاطع. إذا لم يكن هناك نقاط تقاطع، فهذا يعني أن هذه القيمة لا تقع ضمن مجال الدالة لدينا. يمكننا التفكير في رسم خط رأسي وتحريكه عبر الشكل. على سبيل المثال، إذا كان ﺱ يساوي ١٫٥، يمكننا ملاحظة وجود نقطة تقاطع مع التمثيل البياني. إذن، ﺱ يساوي ١٫٥ يقع ضمن مجال الدالة. ربما نقلق بشأن قيم ﺱ الأكبر من تسعة؛ لأنه لا يبدو أن الخط الرأسي المرسوم عندها سيقطع التمثيل البياني للدالة. لكن يمكننا ملاحظة أن هناك سهمًا عند نهاية التمثيل البياني، وهذا الترميز يعني أن التمثيل البياني يستمر إلى ما لا نهاية في هذا الاتجاه.
وينطبق الأمر نفسه على السهم الآخر الموضح على الشكل. إذن، أي خط رأسي يرسم على الجزء الموجب من المحور ﺱ سيتقاطع مع التمثيل البياني. وفي الواقع، ينطبق الأمر نفسه على الجزء السالب من المحور ﺱ. أي خط رأسي يرسم عليه سيتقاطع مع التمثيل البياني. لكننا لم نفكر فيما سيحدث عند ﺱ يساوي صفرًا. يمكننا أن نلاحظ من الشكل وجود نقطتين على التمثيل البياني عند ﺱ يساوي صفرًا. لكن هاتين النقطتين عبارة عن دائريتين مفرغتين، وهذا يعني أن الدالة غير معرفة عند أي منهما. إذن، المستقيم ﺱ يساوي صفرًا لا يتقاطع مع التمثيل البياني، ومن ثم فإن صفرًا لا يقع ضمن مجال الدالة. وبذلك، نكون قد أوضحنا بيانيًّا أن مجال الدالة هو مجموعة كل القيم الحقيقية ما عدا صفرًا.
دعونا نفرغ بعض المساحة ثم نحدد مدى الدالة. تذكر أن المدى هو مجموعة كل القيم المخرجة الممكنة للدالة بمعلومية المجال. ومرة أخرى، هناك طريقتان مختلفتان لفعل ذلك. يمكننا فعل ذلك مباشرة بالتفكير في كون الدالة ﺩ ﺱ متعددة التعريف. يمكننا ملاحظة أنه عندما تكون القيمة المدخلة لـ ﺱ أقل من صفر، تكون القيمة المخرجة قيمة ثابتة تساوي ستة. وعندما يكون ﺱ أكبر من صفر، تكون القيمة المخرجة قيمة ثابتة تساوي سالب أربعة. لذا، فإننا في الواقع لدينا قيمتان ممكنتان فقط للدالة. والمدى هو المجموعة التي تتضمن هاتين القيمتين المخرجتين الممكنتين. إذن، مدى هذه الدالة هو المجموعة التي تتضمن سالب أربعة وستة.
يمكننا التوقف هنا؛ لكن من المهم أيضًا أن نتمكن من إيجاد مدى دالة من تمثيلها البياني. تذكر هذه المرة أن القيم المخرجة للدالة ممثلة بقيم الإحداثي ﺹ على التمثيل البياني. إذن، يمكننا إيجاد مدى أي دالة بتحديد كل قيم الإحداثي ﺹ الممكنة للنقاط على المنحنى. لكن يمكننا أن نلاحظ من الشكل أن هناك قيمتين ممكنتين فقط للإحداثي ﺹ لأي نقطة على المنحنى. فإما أن تكون قيمة الإحداثي ﺹ تساوي ستة، وإما أن تساوي سالب أربعة، ما يؤكد أن المدى هو المجموعة التي تتضمن سالب أربعة وستة.
وبذلك، نكون قد استطعنا توضيح أنه بالنسبة إلى الدالة ﺩ ﺱ تساوي ستة عند ﺱ أقل من صفر، وﺩ ﺱ تساوي سالب أربعة عند ﺱ أكبر من صفر، فإن مجال هذه الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا صفرًا، ومدى هذه الدالة هو المجموعة التي تتضمن سالب أربعة وستة.
