فيديو الدرس: محصلة قوتين الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد محصلة قوتين تؤثران في نقطة واحدة، وكيف نوجد اتجاه المحصلة.

١٤:٠٠

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد محصلة قوتين تؤثران في نقطة واحدة، وكيف نوجد اتجاه المحصلة. سنبدأ باسترجاع المقصود بالقوة المحصلة.

القوة المحصلة هي قوة واحدة لها التأثير نفسه الناتج عن قوتين أو أكثر معًا. في هذا الفيديو، سوف نتعامل مع قوتين فقط. دعونا نبدأ بالتفكير في القوتين ﻕ واحد وﻕ اثنين اللتين تؤثران في الاتجاه نفسه. القوة المحصلة ﺣ تساوي مجموع القوتين. إذن، ﺣ يساوي ﻕ واحد زائد ﻕ اثنين.

هيا نتعرف على ما يحدث عندما تؤثر القوتان ﻕ واحد وﻕ اثنان في اتجاهين متعاكسين. عندما تؤثر قوتان في اتجاهين متعاكسين، تنتج عنهما قوة محصلة ﺣ أصغر من كل قوة على حدة. ولحساب هذه المحصلة، نطرح مقدار القوة الأصغر من مقدار القوة الأكبر. في هذا الشكل، إذا كان ﻕ واحد أكبر من ﻕ اثنين، فإن القوة المحصلة ﺣ تساوي ﻕ واحد ناقص ﻕ اثنين. ويكون اتجاه القوة المحصلة في نفس اتجاه القوة الأكبر في المقدار. نستنتج إذن أنه إذا كانت لدينا قوتان مؤثرتان متوازيتان، يمكننا جمع القوتين أو طرحهما لحساب المحصلة.

دعونا الآن نتعرف على ما يحدث عندما تؤثر القوتان في اتجاه عمودي. عندما تكون لدينا قوتان تؤثر إحداهما على الأخرى عموديًّا، نستخدم معرفتنا بالمثلثات القائمة الزاوية لتساعدنا في حساب القوة المحصلة. ويكون تأثير محصلة القوتين ﻕ واحد وﻕ اثنين في الاتجاه الموضح. برسم مثلث قائم الزاوية، يمكننا حساب مقدار المحصلة باستخدام نظرية فيثاغورس. ‏ﺣ تربيع يساوي ﻕ واحد تربيع زائد ﻕ اثنين تربيع. وبأخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة واستخدام حقيقة أن مقدار المحصلة يجب أن يكون موجبًا، فإن ﺣ يساوي الجذر التربيعي لـ ﻕ واحد تربيع زائد ﻕ اثنين تربيع.

يمكننا أيضًا استخدام الشكل لدينا لحساب اتجاه المحصلة. وتمثله الزاوية المحصورة بين إحدى القوتين والمحصلة. في ضوء ما نعرفه عن حساب المثلثات القائمة الزاوية، نعلم أن ظل أي زاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. هذا يعني أن ظا 𝜃 يساوي ﻕ اثنين على ﻕ واحد. إذن، اتجاه زاوية القوة المحصلة 𝜃 يساوي الدالة العكسية لظل ﻕ اثنين على ﻕ واحد.

لنتناول الآن ما يحدث إذا لم تكن القوتان متوازيتين ولا متعامدتين. نفترض أن القوتين ﻕ واحد وﻕ اثنين تؤثران في نقطة كما هو موضح. لأي قوتين متجهتين متساويتين في المقدار والاتجاه، يمكننا إعادة رسم ﻕ واحد وﻕ اثنين بحيث تكون نهاية المتجه هي بداية المتجه الآخر، كما هو موضح. القوة المحصلة ﺣ هي القطر في متوازي الأضلاع. يمكننا بعد ذلك استخدام قاعدة الجيب وقاعدة جيب التمام لحساب مقدار المحصلة ﺣ واتجاهها، أي الزاوية 𝜃.

سنتناول الآن بعض الأسئلة التي تتضمن قوتين متعامدتين.

قوتان مقداراهما ٣٥ نيوتن و٩١ نيوتن تؤثران على جسيم. إذا كانت المحصلة تتعامد على القوة الأولى، فأوجد مقدار المحصلة.

علمنا أن لدينا قوتين مقداراهما ٣٥ نيوتن و٩١ نيوتن تؤثران على جسيم. وعلى الرغم من أننا لا نعرف قياس الزاوية بين هاتين القوتين، فإننا نعرف أن القوة المحصلة تتعامد على القوة التي مقدارها ٣٥ نيوتن. يمكننا تمثيل ذلك على الشكل كما هو موضح؛ حيث إن مقدار المحصلة يساوي ﺣ نيوتن.

تنص نظرية فيثاغورس على أن ﺃ شرطة تربيع زائد ﺏ شرطة تربيع يساوي ﺟ شرطة تربيع؛ حيث ﺟ شرطة هو طول الضلع الأطول في المثلث القائم الزاوية. ‏ﺃ شرطة وﺏ شرطة هما طولا الضلعين الأقصرين. وبالتعويض بمقداري القوتين لدينا، نحصل على: ٣٥ تربيع زائد ﺣ تربيع يساوي ٩١ تربيع. يمكننا طرح ٣٥ تربيع من طرفي هذه المعادلة. وبذلك نجد أن ﺣ تربيع يساوي ٩١ تربيع ناقص ٣٥ تربيع. الطرف الأيسر يساوي ٧٠٥٦. يمكننا بعد ذلك أخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة. وبما أن قيمة ﺣ يجب أن تكون موجبة، فإن ﺣ يساوي ٨٤ نيوتن. إذن، مقدار القوة المحصلة يساوي ٨٤ نيوتن.

في السؤال التالي، علينا إيجاد اتجاه محصلة قوتين متعامدتين.

تؤثر قوتان متعامدتان مقداراهما ٨٨ نيوتن و٤٤ نيوتن في نقطة. تصنع محصلة القوتين زاوية 𝜃 مع القوة التي مقدارها ٨٨ نيوتن. أوجد قيمة جا 𝜃.

علمنا أن لدينا قوتين متعامدتين تؤثران في نقطة كما هو موضح. محصلة القوتين ﺣ تصنع زاوية 𝜃 مع القوة التي مقدارها ٨٨ نيوتن. ومطلوب منا إيجاد قيمة جا 𝜃. في ضوء ما نعرفه عن حساب المثلثات القائمة الزاوية، فإن جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. وبتكوين مثلث قائم الزاوية، نجد أن طول الضلع المقابل يساوي ٤٤، وطول الضلع المجاور يساوي ٨٨، وطول الوتر هو القوة المحصلة.

باستخدام نظرية فيثاغورس، يمكننا حساب مقدار المحصلة ﺣ‏. ‏ﺣ تربيع يساوي ٤٤ تربيع زائد ٨٨ تربيع. ٤٤ تربيع زائد ٨٨ تربيع يساوي ٩٦٨٠. يمكننا بعد ذلك أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة. وبما أن قيمة ﺣ يجب أن تكون موجبة، فإن ﺣ يساوي الجذر التربيعي لـ ٩٦٨٠. ويمكن تبسيط ذلك إلى ٤٤ جذر خمسة. ومن ثم، فإن مقدار المحصلة يساوي ٤٤ جذر خمسة نيوتن.

وعليه، جا 𝜃 يساوي ٤٤ على ٤٤ جذر خمسة. يمكننا قسمة البسط والمقام على ٤٤. وبضرب بسط هذا الكسر الجديد ومقامه في جذر خمسة لإنطاق المقام، نحصل على أن قيمة جا 𝜃 تساوي جذر خمسة على خمسة.

في السؤال التالي، علينا حساب مقداري قوتين متعامدتين.

تؤثر قوتان متعامدتان ﻕ واحد وﻕ اثنان في نقطة. محصلة القوتين ﺣ تساوي ١٨٨ نيوتن وتصنع زاوية قياسها ٦٠ درجة مع ﻕ واحد. أوجد مقدار كل من ﻕ واحد وﻕ اثنين.

يمكننا البدء برسم شكل للقوتين المتعامدتين ﻕ واحد وﻕ اثنين. محصلة هاتين القوتين تساوي ١٨٨ نيوتن، وهي تصنع زاوية قياسها ٦٠ درجة مع ﻕ واحد. برسم مثلث قائم الزاوية، يمكننا استخدام النسب المثلثية ونظرية فيثاغورس لحساب قيمة كل من ﻕ واحد وﻕ اثنين. تنص نظرية فيثاغورس على أن ﺃ شرطة تربيع زائد ﺏ شرطة تربيع يساوي ﺟ شرطة تربيع؛ حيث ﺟ شرطة هو طول الضلع الأطول في المثلث القائم الزاوية، والمعروف باسم الوتر.

عند التعويض بالقيم في الشكل، يصبح لدينا ﻕ واحد تربيع زائد ﻕ اثنين تربيع يساوي ١٨٨ تربيع. يمكن تبسيط الطرف الأيسر إلى ٣٥٣٤٤. سنسمي هذه المعادلة رقم واحد. نعلم أيضًا أنه في المثلث القائم الزاوية، ظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. بالتعويض بهذه القيمة، يصبح لدينا ظا ٦٠ درجة يساوي ﻕ اثنين على ﻕ واحد. وعليه، فإن ظا ٦٠ درجة يساوي جذر ثلاثة.

يمكننا بعد ذلك ضرب طرفي هذه المعادلة في ﻕ واحد، فيصبح ﻕ اثنان يساوي جذر ثلاثة ﻕ واحد. وبتربيع طرفي هذه المعادلة، نحصل على: ثلاثة ﻕ واحد تربيع يساوي ﻕ اثنين تربيع. سنسمي هذه المعادلة رقم اثنين.

إذا عوضنا بالمعادلة رقم اثنين في المعادلة رقم واحد، يمكننا التعويض عن ﻕ اثنين تربيع بثلاثة ﻕ واحد تربيع. يمكن تبسيط الطرف الأيمن إلى: أربعة ﻕ واحد تربيع، وهذا يساوي ٣٥٣٤٤. وبقسمة طرفي هذه المعادلة على أربعة، نجد أن ﻕ واحد تربيع يساوي ٨٨٣٦. وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين، وبما أن ﻕ واحد يجب أن يكون موجبًا؛ إذن ﻕ واحد يساوي ٩٤. أي إن القوة ﻕ واحد تساوي ٩٤ نيوتن. نعلم أن ﻕ اثنين يساوي جذر ثلاثة مضروبًا في ﻕ واحد. هذا يعني أن ﻕ اثنين يساوي ٩٤ جذر ثلاثة نيوتن.

في السؤال الأخير، علينا حساب محصلة قوتين غير متعامدتين.

الزاوية بين القوتين ﻕ واحد وﻕ اثنين تساوي ١١٢ درجة، والزاوية بين محصلتهما والقوة ﻕ اثنين تساوي ٥٦ درجة. إذا كانت ﻕ واحد مقدارها ٢٨ نيوتن، فما مقدار ﻕ اثنين؟

هيا نبدأ برسم هاتين القوتين بينهما زاوية قياسها ١١٢ درجة. علمنا من السؤال أن قياس الزاوية المحصورة بين محصلة القوتين وﻕ اثنين يساوي ٥٦ درجة. ١١٢ ناقص ٥٦ يساوي ٥٦. إذن قياس الزاوية المحصورة بين محصلة القوتين وﻕ واحد يساوي ٥٦ درجة أيضًا.

باستخدام ما نعرفه عن القوى المتجهة، يمكننا تكوين متوازي أضلاع كما هو موضح. ويمكن تقسيم هذا الشكل إلى مثلثين متطابقين. بما أن ﻕ واحد يساوي ٢٨ نيوتن، يمكننا استخدام قاعدة الجيب لحساب ﻕ اثنين. تنص قاعدة الجيب على أن ﺃ شرطة على جا ﺃ يساوي ﺏ شرطة على جا ﺏ؛ حيث تكون الزاويتان ﺃ وﺏ مقابلتين للضلعين ﺃ شرطة وﺏ شرطة.

بالتعويض بالقيم التي لدينا، نحصل على: ٢٨ على جا ٥٦ درجة يساوي ﻕ اثنين على جا ٥٦ درجة. وبضرب الطرفين في جا ٥٦ درجة، نحصل على: ﻕ اثنان يساوي ٢٨. إذن، مقدار القوة ﻕ اثنين يساوي ٢٨ نيوتن.

نلاحظ أن هذا يساوي قيمة ﻕ واحد، وهو ما يقودنا إلى قاعدة عامة. إذا كانت القوة المحصلة تنصف قوتين، فإن القوتين متساويتان في المقدار. وفي هذا السؤال، بما أن قياس الزاوية المحصورة بين محصلة القوتين والقوة ﻕ واحد يساوي ٥٦ درجة، وقياس الزاوية المحصورة بين المحصلة وﻕ اثنين يساوي ٥٦ درجة أيضًا، فلا بد أن مقدار ﻕ اثنين يساوي مقدار ﻕ واحد.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. يمكننا حساب محصلة قوتين تؤثران في نقطة واحدة لكن في اتجاهين مختلفين؛ أولًا باستخدام نظرية فيثاغورس والنسب المثلثية عندما تكون القوتان متعامدتين، ثانيًا باستخدام قاعدتي الجيب وجيب التمام عندما تكون القوتان غير متعامدتين. اتجاه القوة المحصلة هو الزاوية المحصورة بين المحصلة وإحدى القوتين.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.