نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم الاحتمال لنتنبأ بتأثير مجموعة أكبر باستخدام عينة، وإيجاد القيمة المتوقعة. دعونا نبدأ بتذكير أنفسنا بأن الاحتمال هو احتمالية أو فرصة وقوع حدث ما. يمكننا أن نحسب احتمال وقوع حدث ما بطريقتين.
الطريقة الأولى تكون باستخدام الاحتمال النظري، وهو يستخدم عندما نستخدم المنطق الرياضي لمعرفة النتائج المحتملة. على سبيل المثال، إذا ألقينا قطعة نقود منتظمة بوجه به صورة والآخر به كتابة، يمكننا القول إن احتمال الحصول على كتابة يساوي نصفًا؛ لأنه يوجد وجه كتابة واحد من بين نتيجتين محتملتين. والطريقة الثانية لحساب احتمال وقوع حدث ما هي استخدام الاحتمال التجريبي أو التكرار النسبي. وفيها نستخدم نتائج تجربة متكررة لحساب الاحتمال.
يمكننا استخدام الاحتمال النظري أو الاحتمال التجريبي لإيجاد القيمة المتوقعة. وهي القيمة التي نتوقع حدوثها في المتوسط لعدد كبير من المحاولات. ويمكن أن نحسب القيمة المتوقعة عن طريق ضرب احتمال وقوع حدث ما في عدد المحاولات أو التجارب التي أجريت. دعونا الآن نتناول بعض الأمثلة حول كيفية حساب القيمة المتوقعة لحدث ما.
احتمال استقرار حجر نرد غير منتظم على عدد زوجي هو ٠٫٦. إذا تدحرج حجر النرد ٨٠ مرة، فما عدد المرات المتوقعة لاستقرار حجر النرد على عدد زوجي؟
حسنًا، هذا هو حجر النرد. نعلم من المعطيات أنه غير منتظم، وهو ما يعني أن احتمالات الحصول على كل عدد غير متساوية. كما نعلم من المعطيات أن احتمال الحصول على عدد زوجي هو ٠٫٦. وعلينا أن نحسب عدد المرات المتوقعة للحصول على أعداد زوجية إذا ألقي حجر النرد ٨٠ مرة.
لإيجاد القيمة المتوقعة، نضرب احتمال وقوع الحدث في عدد المحاولات. إذن، لإيجاد القيمة المتوقعة لعدد مرات الحصول على أعداد زوجية، نأخذ احتمال الحصول على عدد زوجي ونضربه في ٨٠، بما أنه ألقي ٨٠ مرة. ومن ثم، نضرب ٠٫٦ في ٨٠، وهو ما يساوي ٤٨. إذن، نتوقع الحصول على عدد زوجي ٤٨ مرة عند إلقاء حجر النرد ٨٠ مرة.
يلعب شادي بأوراق اللعب مع صديقه، والنتيجة فوز أو هزيمة أو تعادل. كل مرة يلعبان فيها، يكون احتمال فوز شادي ٠٫٥، واحتمال خسارته ٠٫٣. إذا لعبا ٥٠ مباراة، فما عدد المرات المتوقع أن تنتهي فيها اللعبة بالتعادل؟
علمنا من المعطيات أن لعبة الورق هذه لها ثلاث نتائج محتملة فقط؛ فوز أو خسارة أو تعادل. وعلمنا من المعطيات أن احتمال فوز شادي هو ٠٫٥ واحتمال خسارته هو ٠٫٣. ولكي نحسب احتمال التعادل بما أن لدينا ثلاث نتائج محتملة فقط، فإن مجموع احتمالات حدوثها يساوي واحدًا. هذا يعني أن احتمال تعادل شادي هو ٠٫٢.
نريد الآن أن نعرف عدد المباريات التي ستنتهي بالتعادل إذا لعبا ٥٠ مباراة. هذا يعني أننا سنحسب القيمة المتوقعة بضرب احتمال وقوع الحدث في عدد المحاولات. احتمال وقوع الحدث هنا هو احتمال حدوث تعادل. لذلك يمكننا التعويض بقيمة احتمال الحصول على تعادل، وهي ٠٫٢، مضروبًا في عدد المحاولات، وهو ٥٠ مباراة. وبما أن ٠٫٢ يساوي خمسًا، فإن خمسًا في ٥٠ يساوي ١٠. إذن الإجابة هي أنه من المتوقع أن تنتهي ١٠ مباريات بالتعادل.
في الأمثلة الآتية، سنرى كيف يمكننا استخدام الاحتمال التجريبي لحدث ما لحساب القيمة المتوقعة.
في استبيان أجري على ٤٠٠ سائح زاروا مصر، وجد أن ١٦٠ منهم من الدول العربية، و١٢٠ من أوروبا، و٤٠ من أمريكا اللاتينية، و٨٠ من أستراليا. إذا كان إجمالي عدد السائحين الذين زاروا مصر في أحد الشهور ٥٠٠٠، فكم منهم من المتوقع أن يكونوا من أوروبا؟
لنبدأ بتحديد المعطيات الأساسية. مطلوب منا معرفة عدد السائحين القادمين من أوروبا. بالنظر إلى نتائج الاستبيان، نجد أن ١٢٠ كانوا من أوروبا وإجمالي عدد السائحين ٤٠٠. بهذا نحصل على الكسر ١٢٠ على ٤٠٠. لاحظ أنه حتى لو لم يذكر في السؤال أن الإجمالي ٤٠٠، لكان من الممكن حساب ذلك بجمع ١٦٠ زائد ١٢٠ زائد ٤٠ زائد ٨٠. إذن طبقًا لنتائج الاستبيان، لدينا ١٢٠ سائحًا من أوروبا من بين ٤٠٠ سائح.
والآن، نريد أن نعرف عدد السائحين القادمين من أوروبا خلال شهر إذا أصبح الإجمالي ٥٠٠٠ سائح. ولمعرفة ذلك، نحسب القيمة المتوقعة. لحساب القيمة المتوقعة، نضرب احتمال وقوع الحدث في عدد المحاولات. إذن، لإيجاد القيمة المتوقعة لعدد السائحين القادمين من أوروبا، نضرب احتمال أن يكون السائح قادمًا من أوروبا، والذي نجده من الاستبيان باستخدام الاحتمال التجريبي، في عدد المحاولات، لنحصل على ١٢٠ على ٤٠٠ في ٥٠٠٠.
ويمكن أن نبسط الكسر ١٢٠ على ٤٠٠ ليصبح ثلاثة على ١٠. لدينا ١٠ في المقام و٥٠٠٠ في البسط. لذا، يمكن أن نبسط المقدار ليصبح لدينا ثلاثة في ٥٠٠، وهو ما يساوي ١٥٠٠. إذن، من المتوقع أن يأتي ١٥٠٠ سائح من أوروبا من بين ٥٠٠٠ سائح.
يوضح الجدول نتائج إلقاء حجر نرد ٧٨ مرة. باستخدام هذه المعطيات، ما عدد المرات المتوقع أن يظهر فيها العدد اثنان إذا ألقي حجر النرد ٢٣٤ مرة؟
لدينا هنا جدول يعرض نتائج تجربة إلقاء حجر النرد. يمكننا ملاحظة أن إجمالي عدد مرات إلقاء حجر النرد هو ٧٨. ما نحن مهتمون بمعرفته هو عدد مرات ظهور العدد اثنين. وهو ١٧ من بين ٧٨ مرة. وبذلك، يمكن أن نكتب أن احتمال ظهور العدد اثنين في هذه التجربة يساوي ١٧ على ٧٨.
لاحظ أن هذا هو الاحتمال التجريبي أو التكرار النسبي، وليس الاحتمال النظري لظهور العدد اثنين، والذي عادة سيساوي واحدًا على ستة. وسنستخدم هذا الاحتمال التجريبي لإيجاد الناتج عند إلقاء حجر النرد ٢٣٤ مرة. لفعل ذلك، نستخدم قانون حساب القيمة المتوقعة، والتي تساوي احتمال وقوع الحدث في عدد المحاولات.
إذن احتمال وقوع الحدث هنا هو ١٧ على ٧٨ مضروبًا في عدد المحاولات، وهو ٢٣٤. يمكن أن نبسط هذه العملية الحسابية إذا لاحظنا أن ٢٣٤ على ٧٨ يساوي ثلاثة، و١٧ في ثلاثة يساوي ٥١. إذن، من المتوقع ظهور العدد اثنين على حجر النرد ٥١ مرة إذا ألقي ٢٣٤ مرة.
ينتج مصنع ملابس نوعين من القمصان؛ ﺃ وﺏ. لوحظت عينة من ١٠٠ قميص من خمسة مراكز تسوق لمعرفة عدد القمصان المبيعة من كل نوع. النتائج معروضة في الجدول. إذا باع المصنع ٣٠٠٠ قميص، فما عدد القمصان المتوقع بيعها من النوع ﺃ؟
حسنًا، دعونا نلق نظرة على المعطيات في الجدول. يمكننا أن نلاحظ أن كل مركز تسوق من واحد إلى خمسة يبيع ١٠٠ قميص. ومكتوب عدد مبيعات النوعين ﺃ وﺏ لكل مركز تسوق. إذا جمعنا مبيعات النوع ﺃ في كل مراكز التسوق، فسنجد أنها تساوي ٢٢٧ قميصًا. ومبيعات النوع ﺏ تساوي ٢٧٣. هذا يعني أنه إذا أردنا أن نختار قميصًا من النوع ﺃ من مراكز التسوق الخمسة، فاحتمال اختيار قميص من النوع ﺃ سيساوي ٢٢٧ على العدد الإجمالي للقمصان، وهو ٥٠٠؛ لأننا نعلم أن هذا هو مجموع القمصان من النوعين ﺃ وﺏ. أو يساوي خمس مجموعات من ١٠٠ قميص في كل مركز تسوق.
نريد الآن حساب عدد القمصان المتوقع بيعها من النوع ﺃ من بين ٣٠٠٠ قميص. يمكننا تذكر أن القيمة المتوقعة تساوي احتمال وقوع الحدث في عدد المحاولات. لذا، الاحتمال يساوي ٢٢٧ على ٥٠٠. وعدد المحاولات سيكون عدد القمصان، وهو ٣٠٠٠. يمكن أن نبسط هذه العملية الحسابية لتصبح ٢٢٧ في ستة، وهو ما يساوي ١٣٦٢ قميصًا من النوع ﺃ.
والآن، دعونا نلخص ما تعلمناه في هذا الفيديو. القيمة المتوقعة هي ما نتوقع حدوثه في المتوسط من عدة محاولات أو تجارب. ونحسبها عن طريق ضرب احتمال وقوع حدث ما في عدد المحاولات أو التجارب. وأخيرًا، يمكننا استخدام الاحتمال التجريبي أو النظري لمعرفة احتمال وقوع حدث ما.
