فيديو السؤال: حساب مدى المقذوف الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

أطلق مقذوف سرعته الابتدائية 15 مترًا لكل ثانية بزاوية إطلاق قياسها 28 درجة أعلى الأفقي. ما الإزاحة الأفقية للمقذوف من موضع إطلاقه إلى موضع هبوطه إذا كانت إزاحته الرأسية من موضع إطلاقه تساوي صفرًا؟

لنبدأ برسم شكل لهذه الحالة. لدينا مقذوف أطلق بسرعة ابتدائية سنسميها ‪𝑉‬‏. أطلق المقذوف بزاوية أعلى الأفقي سنسميها ‪𝜃‬‏. القوة الوحيدة المؤثرة على المقذوف خلال حركته هي قوة الجاذبية. إذن، توجد قوة تؤثر على المقذوف لأسفل مقدارها يساوي كتلة المقذوف، التي سنسميها ‪𝑚‬‏، مضروبة في عجلة الجاذبية الأرضية، وهي ‪𝑔‬‏.

ونظرًا للقوة التي تؤثر لأسفل على المقذوف، يكون مساره منحنيًا. ويخبرنا السؤال بأنه عندما يهبط المقذوف، فإن إزاحته الرأسية من موضع إطلاقه تساوي صفرًا. هذا يعني أن الموضع النهائي للمقذوف يكون على نفس ارتفاع موضعه الابتدائي.

يطلب منا السؤال إيجاد الإزاحة الأفقية للمقذوف من موضع إطلاقه إلى موضع هبوطه. هذا يعرف أيضًا بمدى المقذوف، وسنسميه ‪𝑅‬‏. ونظرًا لعدم وجود أي قوة تؤثر على المقذوف في الاتجاه الأفقي، فعند أي نقطة خلال الحركة تكون إزاحته الأفقية، التي سنسميها ‪𝑆𝑥‬‏، مساوية لسرعته الأفقية، التي سنسميها ‪𝑉𝑥‬‏، مضروبة في الزمن، الذي سنسميه ‪𝑡‬‏.

عندما يهبط المقذوف، تكون إزاحته الأفقية ‪𝑅‬‏. وهذا يستغرق زمنًا سنسميه ‪𝑇‬‏. يمكننا إذن كتابة ‪𝑅‬‏ يساوي ‪𝑉𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝑇‬‏. و‪𝑇‬‏ يعرف أيضًا باسم زمن تحليق المقذوف. إذن لحساب المدى الأفقي للمقذوف ‪𝑅‬‏، علينا حساب سرعته الأفقية ‪𝑉𝑥‬‏، وزمن تحليق المقذوف ‪𝑇‬‏. وسندون ذلك بالأسفل هنا على اليسار.

لنبدأ بحساب السرعة الأفقية للمقذوف. يمكننا فعل ذلك برسم شكل يمثل سرعته الابتدائية والزاوية التي يصنعها مع الأفقي. يمكننا أن نلاحظ أن السرعة لها مركبة أفقية، وهي السرعة الأفقية، التي سميناها ‪𝑉𝑥‬‏. ولها مركبة رأسية، وهي السرعة الرأسية الابتدائية للمقذوف، وسنسميها ‪𝑉𝑦‬‏. ويشكل ذلك مثلثًا قائم الزاوية. إذن، يمكننا كتابة ‪𝑉𝑥‬‏ تساوي ‪𝑉‬‏ مضروبة في ‪cos 𝜃‬‏، و‪𝑉𝑦‬‏ تساوي ‪𝑉‬‏ مضروبة في ‪sin 𝜃‬‏. وكلتا المعادلتين مهمة لنا، ولذا سندونهما بالأسفل هنا على اليسار.

إذن لدينا مقدار يعبر عن السرعة الأفقية للمقذوف. وكل ما علينا فعله الآن هو حساب زمن تحليقه. يمكن حساب زمن تحليق المقذوف الذي يهبط عند الارتفاع نفسه الذي أطلق منه باستخدام الصيغة التالية. زمن التحليق، ‪𝑇‬‏، يساوي اثنين مضروبًا في السرعة الرأسية الابتدائية ‪𝑉𝑦‬‏ على عجلة الجاذبية الأرضية ‪𝑔‬‏.

لنعوض بالمقدار الذي يعبر عن ‪𝑉𝑦‬‏ في هذه المعادلة. فيمكننا كتابة ‪𝑇‬‏ يساوي اثنين مضروبًا في ‪𝑉‬‏ في ‪sin 𝜃‬‏ على ‪𝑔‬‏. إذن، لدينا الآن مقدار يعبر عن زمن تحليق المقذوف، وسندونه بالأسفل هنا على اليسار.

بذلك صار لدينا كل ما نحتاج إليه لحساب المدى الأفقي للمقذوف. ولذا سنبدأ بالمقدار الذي يعبر عن المدى الأفقي. ‏‪𝑅‬‏ يساوي ‪𝑉𝑥‬‏ في ‪𝑇‬‏. سنعوض بعد ذلك بالمقدارين اللذين يعبران عن ‪𝑉𝑥‬‏ و‪𝑇‬‏ في هذه المعادلة. فنكتب ‪𝑅‬‏ يساوي ‪𝑉‬‏ في ‪cos 𝜃‬‏ في اثنين ‪𝑉‬‏ في ‪sin 𝜃‬‏ على ‪𝑔‬‏. وكما نلاحظ، هذا الجزء على اليسار هو السرعة الأفقية، وهذا الجزء على اليمين هو زمن التحليق. لنعد ترتيب هذه المعادلة ليسهل التعامل معها.

أولًا، سنخرج الاثنين من القوسين. وسنفعل الأمر نفسه مع الحدين ‪𝑉‬‏. وهذان يصبحان ‪𝑉‬‏ تربيع. بعد ذلك، يمكننا نقل ‪cos 𝜃‬‏ و‪sin 𝜃‬‏ خارج الأقواس. وأخيرًا، تصبح المعادلة كلها مقسومة على ‪𝑔‬‏. وهذا هو المقدار النهائي الذي يعبر عن المدى الأفقي للمقذوف.

كل ما علينا فعله الآن هو إيجاد قيم ‪𝑉‬‏ و‪𝜃‬‏ و‪𝑔‬‏. يخبرنا السؤال بأن سرعة المقذوف الابتدائية تساوي 15 مترًا لكل ثانية. لذا يمكننا كتابة ‪𝑉‬‏ تساوي 15 مترًا لكل ثانية. يخبرنا السؤال أيضًا بأن المقذوف أطلق بزاوية قياسها 28 درجة أعلى الأفقي. إذن، يمكننا كتابة ‪𝜃‬‏ تساوي 28 درجة. وأخيرًا، ‪𝑔‬‏ تساوي 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة.

‏‪𝑉‬‏ و‪𝑔‬‏ مقيستان بوحدتين أساسيتين من وحدات النظام الدولي، وجيب تمام الزاوية وجيب الزاوية ليست لهما وحدة قياس، ولذا ليس علينا تحويل أي من هذه القيم قبل التعويض بها. وبالمضي قدمًا، يمكننا كتابة ‪𝑅‬‏ يساوي اثنين في 15 تربيع في cos 28 درجة في sin 28 درجة الكل مقسوم على 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة، ما يعطينا ‪𝑅‬‏ يساوي 19.0 مترًا.

إذن الإزاحة الأفقية للمقذوف من موضع إطلاقه إلى موضع هبوطه، إذا كانت إزاحته الرأسية من موضع إطلاقه تساوي صفرًا، تساوي 19.0 مترًا.