فيديو الدرس: التمثيلات البيانية للمسافة مقابل الزمن العلوم • الصف الثالث الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتدرب على استخدام التمثيلات البيانية للمسافة مقابل الزمن للمقارنة بين سرعات الأجسام. نلاحظ هنا أن هذه الأجسام يمكن أن تكون عدائين في سباق. وللبدء، تخيل أنه بدلًا من العداء، لدينا شخص سائر يتحرك في مسار. لدراسة حركة السائر، سنسعى إلى قياس المسافة التي يقطعها والزمن الذي يستغرقه لقطع هذه المسافة. بتشغيل ساعة الإيقاف عند صفر ثانية، يمكننا القول إن هذا يمثل بداية حركة السائر. وهكذا عند هذه اللحظة، يكون السائر قد قطع مسافة صفر متر. وبعد مرور ثانية واحدة، يكون السائر قد قطع مسافة ما. عند هذه اللحظة، نقول إن السائر يبعد مسافة متر واحد عن نقطة البداية.

بعد ذلك، لنفترض أننا ننتظر ثانية أخرى وبعد مرور ثانيتين نقيس مرة أخرى المسافة التي قطعها السائر. دعونا نفترض أن المسافة الكلية أصبحت الآن مترين. وينقضي الزمن خلال حركة السائر بالسرعة نفسها. بعد ثلاث ثوان، قطع السائر مسافة ثلاثة أمتار، وبعد أربع ثوان، تكون المسافة الكلية أربعة أمتار. القيم التي سجلناها هنا موضحة في أزواج؛ وكل زوج يتضمن قيمة واحدة للزمن وقيمة واحدة للمسافة. يمكننا فهم حركة السائر بالنظر إلى جدول يتضمن قيم بيانات كهذا. ولكن، عادة ما يكون ذلك أسهل إذا مثلنا هذه القيم على تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن.

هذا التمثيل البياني يتكون من عدة أجزاء. أولًا، هناك المحاور. بوجه عام، التمثيلات البيانية لها محور رأسي؛ أي محور يتجه لأعلى ولأسفل، ومحور أفقي يتجه إلى اليسار وإلى اليمين. وكل محور على التمثيل البياني يجب أن يكون له مسمى. هذا المسمى يشير إلى ما يوضحه هذا المحور أو يمثله. وفي التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن، تكون المسافة ممثلة على المحور الرأسي، والزمن على المحور الأفقي. المسافة والزمن متغيران. وبما أننا قررنا قياس المسافة التي يقطعها السائر مع مرور كل ثانية من الزمن، يكون المتغير الذي يقع على المحور الأفقي هو الزمن وليس العكس.

على الرغم من أن لدينا الآن محورًا للمسافة ومحورًا للزمن، فإننا لا نستطيع بعد تمثيل القيم التي قسناها للسائر على هذا التمثيل البياني. هذا لأن التمثيل البياني الذي لدينا الآن غير مرسوم بمقياس رسم. هذا يعني أننا لم نحدد تقدمًا منتظمًا لقيم الزمن والمسافة لهذين المحورين. لقد قسنا خمسة أزواج من القيم تسمى نقاط البيانات، لكن باستخدام محاور غير مرسومة بمقياس رسم، لا نعرف أين يمكننا رسم هذه القيم أو تحديد أماكنها على التمثيل البياني. إذن دعونا نضف مقياسي رسم إلى محوري المسافة والزمن.

أولًا، نلاحظ أن كل قيم الزمن مقيسة بوحدة الثواني، وكل قيم المسافة مقيسة بوحدة المتر. سنضيف هاتين الوحدتين إلى مسمى كل محور: ثانية للزمن ومتر للمسافة. وهذا يخبرنا بأن أي قيمة زمنية تظهر على التمثيل البياني ستكون بوحدة الثانية، وبالمثل فإن أي قيمة للمسافة ستكون بوحدة المتر. بمجرد إضافة هاتين الوحدتين إلى مسمى المحورين، لن نحتاج إلى كتابتهما مرة أخرى. لنبدأ أولًا بوضع مقياس رسم لمحور الزمن. نعرف أن هذا المقياس يبدأ من نقطة الأصل هنا. نرسم علامة رأسية صغيرة على المحور، ثم نشير إلى أن هذه القيمة تناظر زمنًا يساوي صفرًا ثانية.

بالرجوع إلى البيانات، نجد أن قيم الزمن الأخرى هي واحدة، اثنتان، ثلاث، حتى أربع ثوان. نريد أن يمتد مقياس الرسم على محور الزمن حتى أربع ثوان على الأقل. ما سنفعله هو وضع علامات على مسافات متساوية على طول هذا المحور بدءًا من نقطة الأصل. العلامة الأولى التي تقع بعد نقطة الأصل تمثل زمنًا يساوي ثانية واحدة، والعلامة التالية تمثل زمنًا يساوي ثانيتين، وهكذا. من المهم أن تكون المسافات متساوية بين كل علامتين من هذه العلامات. ونفعل ذلك للتأكد من أن كل ثانية من الزمن ممثلة بالطول نفسه في التمثيل البياني.

والآن بعد أن أصبح لمحور الزمن مقياس رسم يشمل جميع البيانات التي قسناها، دعونا نفعل الأمر نفسه مع محور المسافة. سيبدأ مقياس رسم المسافة أيضًا هنا عند نقطة الأصل. هذه النقطة تقابل مسافة صفر متر. قيم المسافة التي قطعها السائر تبدأ من صفر إلى أربعة أمتار، لذا نريد أن يغطي مقياس الرسم هذه المسافات. نرسم علامات على مسافات متساوية. تناظر العلامة الأولى مسافة متر واحد، والثانية مسافة مترين، وهكذا حتى أربعة أمتار.

والآن بعد أن أصبح لمحوري المسافة والزمن مقاييس رسم، يمكننا رسم نقاط البيانات التي قسناها. كما رأينا، توجد خمس نقاط بيانات. الأولى هنا. عند زمن صفر ثانية، تحرك السائر صفرًا متر. سنحدد موقع هاتين القيمتين على التمثيل البياني. وسنفعل ذلك باستخدام مقياس الرسم الذي رسمناه. أولًا، نبحث عن الزمن الذي يساوي صفرًا ثانية. بالنظر إلى محور الزمن، نلاحظ أنه يوجد عند هذه النقطة باللون البرتقالي. بعد ذلك، نبحث عن المسافة التي تساوي صفرًا متر. فنجدها عند النقطة نفسها، وهي نقطة الأصل في التمثيل البياني. وبناء على ذلك، هذه النقطة البرتقالية تمثل نقطة البيانات التي تمثل زمنًا مقداره صفر ثانية، ومسافة مقدارها صفر متر.

ما سنفعله هو تمثيل كل نقطة من نقاط البيانات الخمس بهذه الطريقة. ننتقل إلى النقطة التالية؛ حيث قطع السائر مسافة متر واحد عند ثانية واحدة. لتمثيل هذه النقطة على التمثيل البياني، علينا أولًا إيجاد الزمن الذي مقداره ثانية واحدة على محور الزمن. يقع هذا الزمن هنا على المحور. بعد ذلك، نبحث عن المسافة التي مقدارها متر واحد على محور المسافة. على مقياس رسم المسافة، تقع هذه المسافة التي مقدارها متر واحد هنا. لاحظ أن هاتين النقطتين اللتين رسمناهما لا تقع إحداهما فوق الأخرى مثل نقطة البيانات الأولى.

لمعرفة الموضع الذي تقع فيه نقطة البيانات الثانية التي تمثل زمنًا مقداره ثانية واحدة على مسافة مقدارها متر واحد على التمثيل البياني، فإننا نرسم خطًّا أفقيًّا من المحور الرأسي عند قيمة متر واحد، ثم خطًّا رأسيًّا من المحور الأفقي عند قيمة ثانية واحدة. والموضع الذي يتقاطع فيه هذان الخطان هو موضع رسم نقطة البيانات. هذه هي النقطة الوحيدة على التمثيل البياني التي لها قيمة زمن مقدارها ثانية واحدة، بالإضافة إلى قيمة مسافة مقدارها متر واحد. والآن بعد أن عرفنا نقطة تقاطع هذين الخطين، سنحذف الخطوط ونترك نقطة البيانات نفسها.

نحن الآن جاهزون لرسم نقطة البيانات الثالثة. لفعل ذلك، علينا أولًا تحديد قيمة الزمن التي مقدارها ثانيتان على مقياس رسم المحور الأفقي. إنها تقع هنا. ثم نفعل الشيء نفسه مع قيمة المسافة التي مقدارها متران على مقياس رسم المسافة. تقع هذه المسافة هنا. مرة أخرى نمد خطًّا أفقيًّا من قيمة المسافة وخطًّا رأسيًّا من قيمة الزمن، ونحدد موضع نقطة البيانات عند تقاطع هذين الخطين. هذه هي النقطة الوحيدة على التمثيل البياني التي لها قيمة زمن مقدارها ثانيتان وقيمة مسافة مقدارها متران.

بالانتقال إلى نقطة البيانات التالية، نبحث في محور الزمن عن زمن مقداره ثلاث ثوان؛ أي هنا، ثم نبحث في محور المسافة عن مسافة مقدارها ثلاثة أمتار. والموضع الذي يلتقي فيه الخطان الأفقي والرأسي من هذين الموضعين هو موضع نقطة البيانات. وأخيرًا، دعونا نرسم نقطة البيانات الأخيرة في هذا التمثيل البياني. يقع الزمن الذي مقداره أربع ثوان هنا على محور الزمن، وتقع المسافة التي مقدارها أربعة أمتار هنا على محور المسافة. يتقاطع الخطان الأفقي والرأسي من هذين الموضعين هنا. هذه هي النقطة الوحيدة على هذا التمثيل البياني التي لها قيمة زمن مقدارها أربع ثوان وقيمة مسافة مقدارها أربعة أمتار.

والآن بعد أن رسمنا جميع نقاط البيانات لدينا، لاحظ أن لدينا خمس نقاط فقط على التمثيل البياني. ستكون هذه المعطيات مفيدة إذا أردنا معرفة المسافة التي قطعها السائر بعد مرور ثانية واحدة أو ثلاث ثوان مثلًا. لكن ماذا إذا أردنا معرفة المسافة التي قطعها السائر بعد ثانيتين ونصف مثلًا؟ بعبارة أخرى، ما قيمة المسافة التي تناظر قيمة الزمن التي مقدارها ٢٫٥ ثانية؟ البيانات الموجودة لدينا لا تشير مباشرة إلى الإجابة، لكن يمكن أن نحصل على قيمة تقريبية جيدة باستخدام ما يسمى خطوط النمط.

لتكوين خط نمط، نرسم ببساطة خطًّا يمر بكل نقاط البيانات. وبعد رسم هذا الخط، إذا أردنا معرفة المسافة التي قطعها السائر عند زمن مقداره ثانيتان ونصف، فسنرسم خطًّا رأسيًّا من هذه القيمة الزمنية حتى خط النمط. ثم من تلك النقطة، نرسم خطًّا أفقيًّا إلى محور المسافة. النقطة التي يقطع عندها هذا الخط محور المسافة هي قيمة تقريبية جيدة للمسافة التي قطعها السائر بعد مرور ثانيتين ونصف. خطوط النمط على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن مفيدة إلى حد كبير. ويوضح لنا ميل خط النمط سرعة الجسم المتحرك.

لمعرفة سبب ذلك، علينا تذكر أن السرعة تعرف بأنها المسافة المقطوعة مقسومة على الزمن المستغرق لقطع هذه المسافة. يوضح التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن المسافة بمرور الزمن، ومن ثم فإن ميل خط النمط يوضح لنا سرعة الجسم المتحرك، وهو السائر في هذه الحالة التي لدينا. يمكننا استخدام هذه الحقيقة للمقارنة بين السرعات. لنفترض أن لدينا سائرًا آخر وأنه عند تحركه من صفر إلى أربع ثوان، سجلنا مسافات متناظرة مقدارها صفر متر، و ٠٫٥ متر، ومتر واحد، و ١٫٥ متر، ومتران. مرة أخرى، لدينا خمس نقاط بيانات يمكننا رسمها على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن. برسم النقاط الخمس في الوقت نفسه، ستبدو بهذا الشكل. ويمكننا ربط هذه النقاط الخمس بخط النمط الخاص بها.

والآن، أي من الشخصين يتحرك بسرعة أكبر؟ يمكننا الإجابة عن طريق المقارنة بين ميلي خطي النمط. فكلما زاد انحدار الميل، زادت المسافة التي يقطعها السائر في فترة زمنية معينة. ونظرًا لأن خط النمط البرتقالي أكثر انحدارًا، فإننا نعرف أن السائر الأول يتحرك بسرعة أكبر. فكلما كان خط النمط أكثر انحدارًا على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن، زادت السرعة. ثمة نقطة جديرة بالذكر، وهي أن الشكل الذي يظهر به خط النمط يعتمد على مقياس الرسم المرسوم عليه.

دعونا نفرغ مساحة على الجانب الأيمن من الشاشة. وفي هذه المساحة، سنرسم نفس نقاط البيانات التي لدينا هنا على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن بمقياس رسم مختلف. هنا، لدينا مرة أخرى محور مسافة رأسي ومحور زمن أفقي. كما أن لدينا أيضًا قيمًا زمنية مقدارها صفر ثانية، وثانية واحدة، وثانيتان، وثلاث ثوان، وأربع ثوان على مقياس الرسم نفسه الذي استخدمناه من قبل. لكن لاحظ أن قيم المسافة الآن تقع على مسافات أبعد على هذا المحور. ما تزال المسافات متساوية كما في السابق، من صفر إلى أربعة أمتار. ولكن على التمثيل البياني زادت المسافة المادية بين علامات الأمتار.

عند تمثيل مجموعتي البيانات وخطي نمطيهما في التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن الجديد، ستبدو بهذا الشكل. تبدو خطوط النمط أكثر انحدارًا من ذي قبل، وهي بالفعل كذلك. لكن هذه هي مجموعات البيانات نفسها في كلا المنحنيين. السبب الوحيد لهذا الفرق هو أن مقياس رسم المسافة بين هذين المنحنيين لم يرسم بالطريقة نفسها. ومن ثم، من المهم أن نأخذ في الاعتبار مقياس رسم المحور عندما نريد مقارنة البيانات بين تمثيلات بيانية مختلفة. للوهلة الأولى، يمكننا أن نقول، على سبيل المثال، إن هذا الخط أكثر انحدارًا من هذا الخط، ومن ثم يمثل جسمًا يتحرك بسرعة أكبر. لكن عند النظر إلى مقياسي الرسم المدرجين، نجد أنهما يمثلان الجسم نفسه. كل ما في الأمر أن نقاط البيانات مرسومة على مقاييس رسم غير متساوية.

لاحظ أن خطي النمط في هذا التمثيل البياني خطان مستقيمان. ورأينا أن ميل هذين الخطين يمثل سرعتي هذين الجسمين المتحركين. عندما يكون خط النمط مستقيمًا، كما هو الحال هنا، فهذا يمثل جسمًا يتحرك بسرعة ثابتة. بمعرفة كل هذا عن التمثيلات البيانية للمسافة مقابل الزمن، لنلق نظرة على مثال.

أي خط ملون على التمثيل البياني يوضح أكبر سرعة؟

هذا التمثيل البياني هو تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن. وتوجد معادلة رياضية تربط بين المسافة، والزمن، والسرعة. إذا أخذنا المسافة التي يقطعها جسم ما وقسمناها على الزمن المستغرق لقطع هذه المسافة، فإن هذا الكسر يساوي سرعة الجسم. إذن بالنسبة إلى التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن، فإن ميل الخط على التمثيل البياني يساوي سرعة الجسم المعطى. وكلما زاد انحدار الميل، زادت السرعة. لاحظ أن محوري المسافة والزمن على هذا التمثيل البياني غير مرسومين بمقياس رسم، وهو ما يعني أننا لا نعرف قيمة الزمن أو المسافة عند أي نقطة على التمثيل البياني. على أي حال، نحن فقط نبحث عن أي من الخطوط الثلاثة يعبر عن أكبر سرعة، أي الأكبر مقارنة بالسرعتين الأخريين.

يمكننا الإجابة عن هذا السؤال دون أن نعرف تحديدًا قيمة السرعة الأكبر. كما قلنا، بما أن سرعة الأجسام على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن تساوي ميل الخط، فإن أكثر الخطوط انحدارًا بين هذه الخطوط الثلاثة؛ الأحمر والأخضر والأزرق، يناظر أعلى سرعة. تبدأ هذه الخطوط الثلاثة جميعًا عند الصفر عند نقطة الأصل، لكن الخط الأخضر هو الذي يقطع أكبر مسافة في أقل زمن. عند النظر إليه، فإن هذا يعني أن له ميلًا أكثر انحدارًا. ومن ثم، فهو يمثل أعلى سرعة. على هذا التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن غير المرسوم بمقياس رسم، يمثل الخط الأخضر أعلى سرعة. لاحظ أيضًا أنه نظرًا لأن هذه الخطوط الثلاثة كلها مستقيمة، فإنها تمثل أجسامًا تتحرك بسرعة ثابتة.

دعونا نختتم هذا الدرس بمراجعة بعض النقاط الأساسية. في هذا الفيديو، تعلمنا أن التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يمكنه عرض بيانات المسافة مقابل الزمن من جدول. يسمى الخط المستقيم المرسوم عبر نقاط البيانات هذه خط النمط. وميل خط النمط على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يشير إلى سرعة الأجسام. وأخيرًا، خط النمط الأكثر انحدارًا على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يشير إلى سرعة أكبر. وهذا ملخص التمثيلات البيانية للمسافة مقابل الزمن.