تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: القواعد الأساسية لاشتقاق الدوال

سوزان فائق

يوضح مفهوم اشتقاق الدوال، والقواعد الأساسية للاشتقاق، وإيجاد مشتقة دالة القوة، ومشتقة الثابت، ومشتقة مضاعفات القوة، ومشتقة المجموع والفرق، وأمثلة توضيحية.

١٤:١٥

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على القواعد الأساسية لاشتقاق الدوال. هنعرف يعني إيه مشتقّة الدالة. وإزاي هنستخدم قواعد لاشتقاق الدوال.

مشتقّة الدالة هي ميل المماس لمنحنى الدالة د س عند أي نقطة عليه، وبيرمز لها بالرمز د شرطة س؛ حيث أن د شرطة س بتساوي نهاية د س زائد ھ ناقص د س على ھ، لمّا الـ ھ بتئول للصفر، بشرط وجود هذه النهاية.

الاشتقاق هو عملية إيجاد المشتقّة للدالة. وبتسمى النتيجة معادلة تفاضلية. كمان الاشتقاق ده بيوضّح لنا معدّل تغير دالة د س. القانون ده علشان نستخدمه في كل مرة هنجيب مشتقّة الدالة، هيبقى صعب جدًّا. علشان كده فيه قواعد أسهل علشان نقدر نجيب المشتقّة بدون استخدام النهاية كل مرة. وهي دي القواعد اللي هنتكلّم عنها.

أول قاعدة عندنا ودي من القواعد المهمة: قاعدة مشتقّة دالة القوة، ودي بتساعدنا كتير في اشتقاق الدوال. إذا كانت د س تساوي س أُس ن؛ حيث ن عدد حقيقي، فإن د شرطة س تساوي ن في س أُس ن ناقص الواحد. يعني هننقّص الأُس واحد ونضرب فيه. يعني لو كان عندنا د س هتساوي س أُس خمسة. يبقى د شرطة س هتساوي … الأُس هننزّله ونضرب فيه. س أُس خمسة ناقص الواحد. هننقّص الأُس واحد. هتبقى خمسة في س أُس أربعة.

نقلب الصفحة وناخد مثال.

اوجد مشتقّة الدالة الآتية: د س تساوي س أُس تسعة.

أول خطوة عندنا هنكتب الدالة المعطاة د س، هتساوي س أُس تسعة. وبعد كده هنجيب الاشتقاق، دي قاعدة مشتقّة القوة؛ يعني دالة مرفوعة لقوة تساوي تسعة. يبقى د شرطة س هتساوي … هننزّل الأُس اللي هو تسعة نضرب فيه. س أُس تسعة ناقص واحد. هننّقص الأُس واحد. يبقى هتساوي تسعة في س أُس تمنية.

ناخد مثال كمان: اوجد مشتقّة الدالة الآتية: د س تساوي الجذر الخامس لِـ س أُس سبعة.

الدالة المُعطاة دي الجذر الخامس لِـ س أُس سبعة، نقدر نحطها بصورة قوى نسبية. يعني الجذر الخامس ده اللي هو خُمس … س أُس سبعة على خمسة. يبقى اشتقاق الدالة دي د شرطة س، هيساوي … سبعة على خمسة، هنضربها في س أُس سبعة على خمسة ناقص الواحد. هتساوي سبعة على خمسة في س أُس اتنين على خمسة. يبقى هتساوي سبعة على خمسة س أُس اتنين على خمسة. دي جذر الخامس؛ لأن ده في المقام، الخمسة في المقام. والـ س تربيع؛ لأن الاتنين في البسط.

ناخد مثال كمان: اوجد مشتقّة الدالة: د س تساوي واحد على س أُس تمنية.

يعني د س بتساوي … س أُس تمنية في المقام هتطلع في البسط، هتبقى س أُس سالب تمنية. يبقى د شرطة س هتساوي … هننزّل الأُس اللي هو سالب تمنية، ونضرب في س أُس سالب تمنية ناقص الواحد. هننّقص الأُس واحد. يبقى هيساوي سالب تمنية في س أُس سالب تسعة. س أُس سالب تسعة هي نفسها س أُس تسعة في المقام. يبقى د شرطة س هتساوي سالب تمنية على س أُس تسعة.

في المثال الأخير ده، ناخد بالنا إن في مشتقات القوة السالبة … إذا كانت د س تساوي س أُس سالب أربعة، فإن د شرطة س لا تساوي سالب أربعة في س أُس سالب تلاتة. حيث عند طرح واحد من الأُس، يكون سالب أربعة ناقص واحد بيساوي سالب خمسة. لذلك فإن د شرطة س للدالة س أُس سالب أربعة، يساوي سالب أربعة في س أُس سالب خمسة.

قاعدة مشتقّة دالة القوة اللي اتكلمنا عنها دي، كانت عبارة عن حدّ واحد. لكن عندنا العديد من قواعد الاشتقاق الأخرى المهمة برضو، اللي بتفيد في إيجاد مشتقات الدوال، والتي تحوي أكتر من حدّ.

نقلب الصفحة ونشوف إيه هي.

أول قاعدة عندنا مشتقّة الثابت. إذا كانت د س بتساوي ل، فإن د شرطة س بتساوي صفر؛ حيث الـ ل ده عدد ثابت. يعني الدالة الثابتة، لما بنشتقها بيبقى ميل المماس بتاعها بصفر. مشتقّة مضاعفات القوى. إذا كانت د س بتساوي ل في س أُس ن. الـ ل ما بتأثرش معانا؛ لأن ده عدد ثابت. الـ ن ده عدد حقيقي، اللي هو دالة القوة س أُس ن، هنفاضلها كأننا بنفاضل دالة قوى، اللي هي س أُس ن. هننزّل الأُس اللي هو ن، ونطرح من الأُس واحد. والثابت عندنا الـ ل هيفضل زي ما هو، اللي هو ده مضاعفات دالة القوى.

مشتقّة المجموع والفرق إذا كانت ك س تساوي د س زائد أو ناقص ر س، فإن ك شرطة س بتساوي … د شرطة س زائد أو ناقص ر شرطة س. يعني هنجيب مشتقّة كل دالة، ونجمعهم على بعض أو نطرحهم من بعض، حسب اللي هو مدّيهولنا في المسألة.

فيه ملحوظة: إذا كانت د س بتساوي س، فإن د شرطة س بتساوي واحد. جت منين؟ لأن الـ س دي دالة قوة أُس واحد. وإحنا بننقّص الأُس واحد؛ يعني واحد ناقص الواحد. وننزّل الواحد. يبقى معنى كده واحد في س أُس واحد ناقص الواحد، هتساوي واحد في س أُس صفر. وَ س أُس صفر بتساوي واحد. يبقى معنى كده إن مشتقّة د س تساوي س، اللي هو د شرطة س، هيساوي واحد. ونفس الكلام ده لو كانت د س بتساوي ل في س، فإن د شرطة س هتساوي الـ ل؛ حيث أن مشتقّة مضاعفات القوى بتبقى الثابت اللي عندنا اللي هو اللي ضاعفنا بيه دالة القوة، في س أُس واحد … لما هنشتقها هتبقى بواحد، يبقى ل في واحد، اللي هي هتساوي ل. دي د شرطة س لو كانت الدالة س بتساوي ل س.

نقلب الصفحة ونشوف إزَّاي هنطبق قواعد الاشتقاق على الدوال.

اوجد مشتقّة الدالة الآتية: د س تساوي خمسة س أُس تلاتة زائد الأربعة.

هنا عندنا خمسة في س تكعيب؛ يعني مضاعفات دالة القوى. وعندنا الأربعة دي دالة ثابت. والزائد ده اللي هو قاعدة المجموع. يبقى د شرطة س هتساوي … هنطبق القواعد دي باستخدام القواعد دي، هتبقى خمسة س تكعيب، لما هنشتقها هتبقى خمسة في … الأُس تلاتة هننّزله ونضرب في س أُس تلاتة ننّقص الأُس واحد. زائد أربعة ده عدد ثابت، يبقى اشتقاقه هيبقى بصفر. يبقى معنى كده إن د شرطة س هتساوي خمستاشر في س تربيع.

ناخد مثال كمان: اوجد مشتقّة الدالة الآتية: د س تساوي س أُس خمسة في اتنين س تكعيب زائد أربعة.

أول حاجة هنستخدم خاصية التوزيع. س أُس خمسة هنضربها في القوس اللي عندنا. يبقى اتنين س … س أُس خمسة في س أُس تلاتة؛ يعني خمسة زائد تلاتة، يعني اتنين س أُس تمنية. زائد أربعة في س أُس خمسة. يبقى الدالة اللي عندنا بقت اتنين س أُس تمنية زائد أربعة س أُس خمسة. لما هنشتق د شرطة س، هنحتاج إن إحنا نستخدم مضاعفات القوى، وكمان المجموع. يبقى د شرطة س هتساوي … الاتنين ثابت عندنا هنسيبه زي ما هو. وهنضرب في … الأُس تمنية يبقى هينزل معانا، وهنضرب في س أُس تمنية ننّقص الأُس واحد، زائد أربعة في خمسة في س أُس خمسة ناقص الواحد. يبقى ستاشر س أُس سبعة زائد عشرين س أُس أربعة.

يبقى عرفنا إن قواعد المجموع بنجيب مشتقّة الدالة الأولانية، ونجمعها على مشتقّة الدالة التانية. طيب مضاعفات القوى. القيمة اللي بنضرب فيها في الدالة اللي هي كانت هنا خمسة. هنسيبها زي ما هي، ونستخدم دالة القوى، مشتقّة دالة القوة، إن إحنا بننّزل الأُس اللي عندنا نضرب فيه. ونخلي الأُس بتاع الـ س ينقص واحد.

نقلب الصفحة وناخد مثال كمان.

اوجد مشتقّة الدالة الآتية: د س بتساوي خمسة س أُس تلاتة ناقص اتناشر س زائد ستة في جذر س أُس خمسة؛ على س. حيث الـ س لا تساوي صفر.

علشان نحسب مشتقّة الدالة دي، فإحنا هنقسم كل حدّ من الحدود على الـ س؛ يعني د س هتساوي خمسة س تكعيب على س، ناقص اتناشر س على س، زائد ستة في جذر س أُس خمسة على س. جذر س أُس خمسة دي اللي هي س أُس، خمسة على اتنين؛ لأن ده جذر تربيعي يبقى الأُس نُص. يبقى خمسة في الأُس اللي هو نص، يعني خمسة على اتنين. يبقى خمسة س تربيع ناقص اتناشر زائد ستة س أُس خمسة على الاتنين في البسط، ناقص المقام س أُس واحد؛ يبقى هنطرح واحد. يبقى الكلام ده هيساوي خمسة س تربيع ناقص الاتناشر زائد ستة … س أُس خمسة على الاتنين ناقص الواحد، يعني س أُس تلاتة على الاتنين.

ناخد بالنا على معلومة مهمة كده في الأُسُس. س أُس خمسة الكل تربيع. هنا بنضرب الأُسُس؛ يعني دي بتساوي س أُس عشرة. لكن س أُس خمسة على س تربيع. فإحنا بنطرح الأُس خمسة ناقص الاتنين. أو س أُس خمسة في س تربيع، بتساوي … بنجمع الأُسُس؛ يعني في الضرب بنجمع الأُسُس. في القسمة بنطرح الأُسُس. لكن لما بنرفع لقوى بنضرب الأُسُس.

نرجع تاني للدالة بتاعتنا د س. يبقى الاشتقاق د شرطة س هيساوي … أول حاجة خمسة س تربيع ناقص الاتناشر زائد ستة س أُس تلاتة عَ الاتنين … هنحدد قواعد اللي هنستخدمها. هنا دي مضاعفات القوى، دالة ثابتة مضاعفات القوة. وهنا فيه مجموع. وهنا فيه طرح. يبقى هنستخدم قاعدة المجموع والطرح وكمان مضاعفات القوى ودالة الثابت. يبقى د شرطة س هتساوي … خمسة س تربيع، يبقى خمسة في اتنين في … الأُس هننّقصه واحد، ناقص … اشتقاق الاثناشر دالة ثابتة، يبقى بصفر، زائد ستة، في تلاتة على الاتنين، في س أُس تلاتة عَ الاتنين ناقص الواحد.

يبقى عشرة … س أُس اتنين ناقص الواحد يعني س، زائد … ستة في تلاتة عَ الاتنين يبقى تسعة، س أُس تلاتة على الاتنين ناقص الواحد، يعني س أُس نص. يبقى د شرطة س تساوي عشرة س زائد تسعة في جذر س. وهو ده اشتقاق الدالة اللي هو مدّيهالنا.

د شرطة س هنا ممكن كمان نرمز لها بالرمز د على د س للدالة د س. وممكن لو قال لنا إن الـ ص بتساوي د س، فبيبقى الاشتقاق عندنا ص شرطة، أو د ص على د س، أو د على د س للدالة د س. أي واحدة من دول بتبقى سليمة، ودي بنقول عليها مشتقّة الدالة أو تفاضل الدالة.

يبقى في الفيديو ده اتكلمنا على القواعد الأساسية للاشتقاق الدوال. وعرفنا يعني إيه مشتقّة الدالة. وإزاي بنحسبه باستخدام قواعد الاشتقاق.