فيديو السؤال: إيجاد مجموع الجذور النونية للعدد واحد الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموع الجذور السداسية للعدد واحد.

عندما نفكر في الجذور السداسية للعدد واحد، نجد أنها قيم ﻉ؛ حيث ﻉ أس ستة يساوي واحدًا. ونستخدم صيغة لإيجاد الجذور النونية للعدد واحد. الصورة القطبية هي: جتا اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ زائد ﺕ جا اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ؛ حيث ﻙ يمثل جميع القيم الصحيحة من صفر حتى ﻥ ناقص واحد.

بما أننا نتعامل مع الجذور السداسية للعدد واحد، فإن قيمة ﻥ تساوي ستة. والجذور السداسية ستأتي من قيم ﻙ الواقعة بين صفر وخمسة. عندما يساوي ﻙ صفرًا، يصبح لدينا جتا صفر زائد ﺕ جا صفر. ونحن نعرف أن ذلك يساوي واحدًا. وعندما يساوي ﻙ واحدًا، يصبح لدينا جتا اثنين 𝜋 على ستة زائد ﺕ جا اثنين 𝜋 على ستة. ويمكننا تبسيط هذه السعة إلى 𝜋 على ثلاثة. وعند هذه النقطة، دعونا نترك الجذر في الصورة القطبية، ونوجد جذر ﻙ يساوي اثنين، وهو ما يساوي جتا أربعة 𝜋 على ستة زائد ﺕ جا أربعة 𝜋 على ستة. ويمكن تبسيط هذه السعة أيضًا إلى اثنين 𝜋 على ثلاثة. مرة أخرى، سنترك الجذر على هذه الصورة.

ثم لدينا جتا ثلاثة 𝜋 على ثلاثة زائد ﺕ جا ثلاثة 𝜋 على ثلاثة. وجتا 𝜋 زائد ﺕ جا 𝜋 يساوي سالب واحد. بالنسبة للجذر الخامس، لدينا جتا ثمانية 𝜋 على ستة زائد ﺕ جا ثمانية 𝜋 على ستة. نعلم أن هذه السعة تبسط إلى أربعة 𝜋 على ثلاثة، لكن الأربعة 𝜋 على ثلاثة هذه تقع خارج نطاق السعة الأساسية.

يمكننا إيجاد قيمة مكافئة لهذه القيمة تقع داخل النطاق عن طريق طرح اثنين 𝜋. وعندما نفعل ذلك، نحصل على سالب ثلثي 𝜋، وبهذا يصبح لدينا جتا سالب ثلثي 𝜋 زائد ﺕ جا سالب ثلثي 𝜋، وهو الجذر الخامس. ثم ننتقل إلى الجذر السادس والأخير، حيث ﻙ يساوي خمسة، وهو جتا ١٠‏𝜋‏ على ستة زائد ﺕ جا ١٠‏𝜋‏ على ستة. يمكننا تبسيط السعة هنا إلى خمسة 𝜋 على ثلاثة. لكن هذه السعة تقع خارج نطاق السعة الأساسية، ما يعني مرة أخرى أننا سنطرح اثنين 𝜋 من خمسة 𝜋 على ثلاثة لنحصل على قيمة جديدة تساوي سالب 𝜋 على ثلاثة، ولذلك الجذر الأخير هو جتا سالب 𝜋 على ثلاثة زائد ﺕ جا سالب 𝜋 على ثلاثة.

هكذا أصبحت لدينا الجذور السداسية للعدد واحد على الصورة القطبية. ولجمع هذه القيم، دعونا نعد كتابتها على الصورة الجبرية. الواحد يظل كما هو. ويصبح الجذر الثاني نصفًا زائد الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين ﺕ. والجذر الثالث هو سالب نصف زائد الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين ﺕ. والجذر الرابع سيبقى كما هو، سالب واحد. والجذر الخامس هو سالب نصف ناقص الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين ﺕ، والجذر الأخير هو نصف ناقص الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين ﺕ.

الخطوة الأخيرة هي جمع هذه القيم. عند جمع كل هذه الحدود الستة، نجد أننا نجمع واحدًا زائد سالب واحد، ما يساوي صفرًا. نصف زائد سالب نصف ما يساوي صفرًا. ومرة أخرى، سالب نصف زائد نصف يساوي صفرًا. الآن أصبح لدينا الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين ﺕ ناقص الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين ﺕ. عند تجميع هاتين القيمتين، نحصل على صفر. ومرة أخرى، الحد الأخير هو موجب الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين ﺕ ناقص الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين ﺕ، وهو ما يساوي صفرًا. من ثم مجموع الجذور السداسية للعدد واحد يساوي صفرًا.

ومع ذلك، فإن عملية حساب الجذور النونية للعدد واحد، ثم جمعها، ليست بالأمر الذي يمكنك فعله مرارًا وتكرارًا. وذلك لأن لدينا مبدأ يخبرنا بأن مجموع الجذور النونية للعدد واحد، حيث ﻥ أكبر من واحد، يساوي صفرًا. بناء على هذا، يمكننا القول إن مجموع الجذور السداسية للعدد واحد يساوي صفرًا. وأثبتنا أن هذا صحيح من خلال العمليات الحسابية التي أجريناها.