نسخة الفيديو النصية
يوضح الشكل الآتي المتجهين 𝐴، و𝐵. طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم يساوي واحدًا. احسب 𝚨 مضروبًا ضربًا اتجاهيًّا في 𝚩.
يسألنا هذا السؤال عن حاصل الضرب الاتجاهي. ومطلوب منا تحديدًا حساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝚨 في 𝚩؛ حيث المتجهان 𝐴 و𝐵 معطيان على صورة سهمين مرسومين على شبكة رسم. بما أن هذا السؤال يطلب منا حساب حاصل الضرب الاتجاهي، دعونا نبدأ بتذكر التعريف العام للضرب الاتجاهي لمتجهين. سنعرف متجهين عامين سنسميهما 𝐶 و𝐷. لنفترض أن هذين المتجهين يقعان في المستوى 𝑥𝑦. ومن ثم، يمكننا كتابتهما على الصورة: مركبة 𝑥، ونشير إليها برمز سفلي 𝑥، مضروبة في 𝐢 هات؛ زائد مركبة 𝑦، ونشير إليها برمز سفلي 𝑦، مضروبة في 𝐣 هات.
تذكر أن 𝐢 هات هو متجه الوحدة في الاتجاه 𝑥، وأن 𝐣 هات هو متجه الوحدة في الاتجاه 𝑦. إذن حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝐂 في 𝐃 يساوي المركبة 𝑥 للمتجه 𝐶 مضروبة في المركبة 𝑦 للمتجه 𝐷، ناقص المركبة 𝑦 للمتجه 𝐶 مضروبة في المركبة 𝑥 للمتجه 𝐷، الكل مضروب في 𝐤 هات؛ حيث 𝐤 هات متجه الوحدة في الاتجاه 𝑧. إذن الضرب الاتجاهي لـ 𝐂 في 𝐃 ينتج عنه متجه له هذا المقدار، ويشير إلى الاتجاه 𝑧. وبما أننا نفترض أن كلا المتجهين 𝐶 و𝐷 يقعان في المستوى 𝑥𝑦، فهذا يعني أن الضرب الاتجاهي للمتجهين ينتج عنه متجه عمودي على اتجاه كلا المتجهين.
تخبرنا الصيغة العامة للضرب الاتجاهي لمتجهين أنه إذا أردنا حساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝚨 في 𝚩، فعلينا إيجاد قيمتي مركبتي المتجهين 𝚨 و𝐵. سنفترض أن المستوى الموضح على الشكل الذي رسم فيه المتجهان هو المستوى 𝑥𝑦. يمكننا بعد ذلك رسم الاتجاهين 𝑥 و𝑦. نعلم من السؤال أن طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم يساوي واحدًا. هذا يعني أنه لإيجاد قيمتي المركبتين 𝑥 و𝑦 للمتجهين لدينا، علينا ببساطة عد المربعات التي تقع على امتداد كل متجه في الاتجاه 𝑥 وفي الاتجاه 𝑦.
سنبدأ بالمتجه 𝚨، وسنبدأ عند ذيل المتجه ونعد المربعات في الاتجاه حتى نصل إلى موضع 𝑥 المقابل لرأس المتجه. إذن، في هذه الحالة هذا واحد، اثنان، ثلاثة مربعات. وإذا فعلنا الأمر نفسه في الاتجاه 𝑦، فسنعد واحدًا، اثنين، ثلاثة مربعات. لكن لاحظ أن رأس المتجه 𝚨 يتجه لأسفل بالنسبة إلى الذيل. بعبارة أخرى، نحن نعد المربعات في الاتجاه السالب لـ 𝑦، وهذا يعطينا قيمة تساوي سالب ثلاثة مربعات. وبما أن المتجه 𝚨 يمتد بمقدار موجب ثلاث وحدات في الاتجاه 𝑥 وسالب ثلاث وحدات في الاتجاه 𝑦، فإن المركبة 𝑥 للمتجه 𝚨 تساوي ثلاثة، والمركبة 𝑦 تساوي سالب ثلاثة. ومن ثم، يمكننا كتابة هذا المتجه على الصورة الإحداثية ثلاثة مضروبًا في 𝐢 هات ناقص ثلاثة مضروبًا في 𝐣 هات.
سنفعل الآن الأمر نفسه مع المتجه 𝚩. إذا بدأنا عند ذيل المتجه 𝚩، فسنجد أن علينا عد واحد، اثنين من المربعات في الاتجاه الموجب لـ 𝑥 حتى نصل إلى موضع 𝑥 المقابل لرأس المتجه. وفي اتجاه 𝑦 وبدءًا من ذيل المتجه 𝚩 مرة أخرى، سنعد واحدًا، اثنين، ثلاثة، أربعة مربعات في الاتجاه الموجب لـ 𝑦 حتى نصل إلى موضع 𝑦 المقابل لرأس المنحنى. إذن المركبة 𝑥 للمتجه 𝚩 تساوي اثنين، والمركبة 𝑦 تساوي أربعة. وعلى الصورة الإحداثية، لدينا المتجه 𝚩 يساوي اثنين 𝐢 هات زائد أربعة 𝐣 هات. والآن بعد أن حصلنا على المتجهين 𝐴 و𝐵 على الصورة الإحداثية، يمكننا الآن حساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝚨 في 𝚩.
بالنظر إلى الصيغة العامة للضرب الاتجاهي لمتجهين، نلاحظ أن الحد الأول هو المركبة 𝑥 للمتجه الأول في عملية الضرب الاتجاهي مضروبة في المركبة 𝑦 للمتجه الثاني. في حالتنا هذه، المتجه الأول في عملية الضرب الاتجاهي لدينا هو المتجه 𝚨، والمتجه الثاني هو المتجه 𝚩. ومن ثم، علينا ضرب المركبة 𝑥 للمتجه 𝚨، وتساوي ثلاثة؛ في المركبة 𝑦 للمتجه 𝚩، وتساوي أربعة. بعد ذلك، نطرح حدًّا ثانيًا من هذا الحد الأول. الحد الثاني هو المركبة 𝑦 للمتجه الأول للضرب الاتجاهي مضروبة في المركبة 𝑥 للمتجه الثاني. إذن، في حالتنا هذه، هذا يكافئ المركبة 𝑦 للمتجه 𝚨، وتساوي سالب ثلاثة؛ مضروبة في المركبة 𝑥 للمتجه 𝚩، وتساوي اثنين. بعد ذلك، نضرب كل هذا في 𝐤 هات.
مهمتنا الأخيرة هي إيجاد قيمة هذا المقدار هنا. الحد الأول هو ثلاثة مضروبًا في أربعة، ويساوي 12. والحد الثاني هو سالب ثلاثة مضروبًا في اثنين، ويساوي سالب ستة. بعد ذلك، 12 ناقص سالب ستة يساوي 18. وبذلك تكون إجابتنا عن هذا السؤال هي أن حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝚨 في 𝚩 يساوي 18𝐤 هات، بعبارة أخرى، متجه مقداره 18، ويشير إلى الاتجاه 𝑧. إذن هذا هو الاتجاه العمودي على مستوى شبكة الرسم.
