فيديو السؤال: اشتقاق الدوال المثلثية المركبة عند نقطة الرياضيات

إذا كانت ﺹ = ٨ ظتا ﺱ + ٥ قا ﺱ، فأوجد ﺩﺹ‏/‏ﺩﺱ عندما تكون ﺱ = 𝜋‏/‏٦.

٠٨:٤١

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كانت ﺹ تساوي ثمانية ظتا ﺱ زائد خمسة قا ﺱ، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ عندما تكون ﺱ تساوي 𝜋 على ستة.

إننا نبحث عن مشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ. وما نبحث عنه فعليًّا هو قيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ عندما تكون ﺱ يساوي 𝜋 على ستة. ولإيجاد ذلك، نحتاج أولًا إلى إيجاد قيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ بدلالة ﺱ. فلنقم إذن بعملية الاشتقاق. إننا نبحث عن مشتقة ثمانية ظتا ﺱ زائد خمسة قا ﺱ. ويمكن أن نستفيد من حقيقة أن مشتقة مجموع الدوال تساوي مجموع مشتقات هذه الدوال، ومن حقيقة أن مشتقة عدد في دالة تساوي ذلك العدد في مشتقة الدالة، وذلك لكتابة مشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ بدلالة مشتقتي ظتا ﺱ وقا ﺱ.

إن الجزء الأساسي في هذه المسألة هو إيجاد مشتقة هاتين الدالتين المثلثيتين: ظتا وقا. وهناك ست دوال مثلثية نستخدمها عادة وهي: جا وجتا وظا و ظتا وقا وظتا. وبالتأكيد، يمكن أن نحفظ مشتقات تلك الدوال الست جميعًا إذا أردنا، وهذا ليس بالأمر السيئ. إذ من شأنه مساعدتنا على اشتقاق أي دالة مثلثية بسرعة شديدة. وحتمًا إذا كنا نحفظ مشتقتي قا وظتا، فسيمكننا حل هذه المسألة على نحو جيد جدًّا.

ولكن إذا نسينا مشتقتي قا وظتا أو لم نحفظهما من الأساس، فحل هذه المسألة ليس مستحيلًا. فأهم شيء علينا فعله هو تذكر أول مشتقتين: مشتقة جا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هي جتا ﺱ، ومشتقة جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هي سالب جا ﺱ. ومن هاتين المشتقتين، يمكننا اشتقاق المشتقات الأربع الأخرى. فلنر كيف يمكننا إيجاد مشتقة ظتا بمعلومية مشتقتي جا وجتا.

حسنًا، إننا نبحث عن مشتقة ظتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. إذن، كم يساوي ظتا ﺱ؟ حسنًا، ربما نعلم أنه يساوي واحدًا على ظا ﺱ، ومن ثم، فإننا نبحث عن مشتقة واحد على ظا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وبما أن ظا ﺱ يساوي جا ﺱ على جتا ﺱ، وظتا ﺱ هو مقلوب ذلك، فإن ظتا ﺱ سيساوي جتا ﺱ على جا ﺱ. وهكذا، نكون قد كتبنا بنجاح ظتا ﺱ بدلالة جا وجتا.

وقد عرفنا أن ظتا ﺱ يساوي خارج قسمة جتا ﺱ على جا ﺱ. فيمكننا اشتقاقه باستخدام قاعدة خارج القسمة. إذن، هذه هي قاعدة خارج القسمة، ويمكننا الآن تطبيقها بجعل الدالة ﺩﺱ يساوي جتا ﺱ والدالة ﺭﺱ يساوي جا ﺱ. إذن، لدينا الآن المشتقة التي نبحث عنها بدلالة جا ﺱ وجتا ﺱ ومشتقتيهما.

ونحن نعرف قيمة مشتقتي جا ﺱ وجتا ﺱ، ويمكننا التعويض بهما. فمشتقة جتا ﺱ تساوي سالب جا ﺱ، ومن ثم، فإن الحد الأول في البسط يصبح جا ﺱ في سالب جا ﺱ، أي، سالب جا تربيع ﺱ. فماذا عن الحد الثاني في البسط؟ حسنًا، مشتقة جا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي جتا ﺱ. إذن، فإن الحد الثاني يصبح جتا ﺱ في جتا ﺱ، أي، جتا تربيع ﺱ.

وليس هناك ما يمكن فعله في المقام. حيث لدينا جا ﺱ تربيع، الذي يمكننا كتابته في صورة جا تربيع ﺱ. ولكن انتبه إلى أن البسط يساوي سالب جا تربيع ﺱ ناقص جتا تربيع ﺱ، أي، سالب جا تربيع ﺱ زائد جتا تربيع ﺱ. وبالتالي يمكن تطبيق المتطابقة جا تربيع ﺱ زائد جتا تربيع ﺱ يساوي واحدًا، وهو ما يعني أن البسط سيساوي سالب واحد. وبالتالي، فإن مشتقة ظتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ ستساوي سالب واحد على جا تربيع ﺱ.

وبأخذ علامة الناقص خارج الكسر، نحصل على سالب واحد على جا تربيع ﺱ. ويمكننا تطبيق هذه النتيجة على المشتقة التي نريد إيجادها. إذن، حد ﺩﺹ على ﺩﺱ الأول سيصبح ثمانية في سالب واحد على جا تربيع ﺱ. ولكن قبل المتابعة وإيجاد مشتقة قا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ وبالتالي، الحد الثاني من ﺩﺹ على ﺩﺱ، فلنراجع أولًا كيف تمكنا من إيجاد مشتقة ظتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

لقد كتبنا أولًا ظتا ﺱ بدلالة جا ﺱ وجتا ﺱ. ثم بملاحظة أن لدينا خارج قسمة، طبقنا قاعدة خارج القسمة باستخدام مشتقتي جا ﺱ وجتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ، اللتين كنا نحفظهما. بعد ذلك، بسطنا بتطبيق المتطابقة جا تربيع ﺱ زائد جتا تربيع ﺱ يساوي واحدًا، وهو ما أعطانا التعبير البسيط سالب واحد على جا تربيع ﺱ. والآن، لنتبع الخطوات نفسها لإيجاد مشتقة قا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

فيمكننا كتابة قا ﺱ بدلالة جا ﺱ وجتا ﺱ. ولكننا في الواقع نحتاج فقط إلى جتا ﺱ. إذ إن قا ﺱ يساوي واحدًا على جتا ﺱ. ونشتق ذلك بتطبيق قاعدة خارج القسمة حيث الدالة ﺩﺱ يساوي واحدًا والدالة ﺭﺱ يساوي جتا ﺱ. إذن، مشتقة واحد بالنسبة إلى ﺱ هي صفر، ومن ثم، فالحد الأول في البسط يتلاشى. وبالتالي، يتبقى لدينا الحد الثاني: سالب واحد في مشتقة جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ونحن نعرف مشتقة جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

فهي تساوي سالب جا ﺱ. إذن، بالجمع بين هذا وسالب واحد، نحصل على جا ﺱ في البسط وجتا تربيع ﺱ في المقام بالتأكيد. الآن، وقد أوجدنا مشتقة قا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ، فيمكننا تطبيق هذا في المسألة. فيصبح الحد الثاني لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ خمسة في جا ﺱ على جتا تربيع ﺱ. حسنًا، يمكننا الآن إفساح بعض المساحة. لقد أوجدنا ﺩﺹ على ﺩﺱ بدلالة ﺱ. ونريد الآن إيجاد قيمة هذا عندما ﺱ يساوي 𝜋 على ستة.

فنعوض بالقيمة 𝜋 على ستة، ومن ثم، نحصل على تعبير يحتوي على جا 𝜋 على ستة وجتا 𝜋 على ستة. وحيث إن 𝜋 على ستة تعد زاوية خاصة، فيمكن أن نعرف قيمتي جا 𝜋 على ستة وجتا 𝜋 على ستة. ‏جا 𝜋 على ستة يساوي نصفًا وجتا 𝜋 على ستة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. إذن، يمكننا التعويض بهاتين القيمتين والتبسيط. على سبيل المثال، نصف تربيع يساوي ربعًا. وجذر ثلاثة على اثنين تربيع يساوي ثلاثة على أربعة. وسالب واحد على ربع يساوي سالب أربعة، ونصف على ثلاثة على أربعة يساوي اثنين على ثلاثة.

ومن ثم، نحصل على ثمانية في سالب أربعة زائد خمسة في اثنين على ثلاثة. وبالتبسيط، نجد أن قيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ عندما ﺱ يساوي 𝜋 على ستة هي سالب ٨٦ على ثلاثة. إن هذه المسألة تطلبت منا إيجاد مشتقتي ظتا وقا. وقد عرفنا أننا يمكننا إيجاد هاتين المشتقتين باستخدام مشتقتي جا وجتا المعروفتين لنا وكذلك قاعدة خارج القسمة. فمشتقة ظتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هي سالب واحد على جا تربيع ﺱ، وهو ما يمكن كتابته كذلك في صورة سالب ظتا تربيع ﺱ. ومشتقة قا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هي جا ﺱ على جتا تربيع ﺱ، وهو ما يمكن كتابته كذلك في صورة قا ﺱ في ظا ﺱ.

ولكننا تركنا هاتين المشتقتين بدلالة جا وجتا ليسهل علينا إيجاد قيمتهما عندما تكون ﺱ يساوي 𝜋 على ستة. إننا لا نحتاج إلى حفظ مشتقات كل الدوال المثلثية الست، على الرغم من أنه قد يكون من الجيد فعل ذلك بما أننا نتذكر مشتقتي جا وجتا. وفي الواقع، فحتى مشتقتا جا وجتا يمكن معرفتهما بالاستفادة من حقائق أساسية أخرى. ولكن من المفيد بالتأكيد حفظ مشتقتي جا وجتا على الأقل.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.