فيديو: اشتقاق الدوال المثلثية المركبة عند نقطة

إذا كانت ‪𝑦 = 8 cot 𝑥 + 5 sec 𝑥‬‏، فأوجد ‪d𝑦/d𝑥‬‏ عندما تكون ‪𝑥 = 𝜋/6‬‏.

٠٨:٠٦

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كانت 𝑦 تساوي ثمانية cot 𝑥 زائد خمسة sec 𝑥، فأوجد d𝑦 على d𝑥 عندما تكون 𝑥 تساوي 𝜋 على ستة.

إننا نبحث عن مشتقة d𝑦 على d𝑥. وما نبحث عنه فعليًا هو قيمة d𝑦 على d𝑥 عندما تكون 𝑥 يساوي 𝜋 على ستة. ولإيجاد ذلك، نحتاج أولًا إلى إيجاد قيمة d𝑦 على d𝑥 بدلالة 𝑥. فلنقم إذن بعملية الاشتقاق. إننا نبحث عن مشتقة ثمانية cot 𝑥 زائد خمسة sec 𝑥. ويمكن أن نستفيد من حقيقة أن مشتقة مجموع الدوال تساوي مجموع مشتقات هذه الدوال، ومن حقيقة أن مشتقة عدد في دالة تساوي ذلك العدد في مشتقة الدالة، وذلك لكتابة مشتقة d𝑦 على d𝑥 بدلالة مشتقتي cot 𝑥 وsec 𝑥.

إن الجزء الأساسي في هذه المسألة هو إيجاد مشتقة هاتين الدالتين المثلثيتين: cot وsec. وهناك ست دوال مثلثية نستخدمها عادة وهي: sin وcos وtan و csc وsec وcot. وبالتأكيد، يمكن أن نحفظ مشتقات تلك الدوال الست جميعًا إذا أردنا، وهذا ليس بالأمر السيئ. إذ من شأنه مساعدتنا على اشتقاق أي دالة مثلثية بسرعة شديدة. وحتمًا إذا كنا نحفظ مشتقتي sec وcot، فسيمكننا حل هذه المسألة على نحو جيد جدًا.

ولكن إذا نسينا مشتقتي sec وcot أو لم نحفظهما من الأساس، فحل هذه المسألة ليس مستحيلًا. فأهم شيء علينا فعله هو تذكر أول مشتقتين: مشتقة sin 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 هي cos 𝑥، ومشتقة cos 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 هي سالب sin 𝑥. ومن هاتين المشتقتين، يمكننا اشتقاق المشتقات الأربع الأخرى. فلنر كيف يمكننا إيجاد مشتقة cot بمعلومية مشتقتي sin وcos.

حسنًا، إننا نبحث عن مشتقة cot 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥. إذن، كم يساوي cot 𝑥؟ حسنًا، ربما نعلم أنه يساوي واحدًا على tan 𝑥، ومن ثم، فإننا نبحث عن مشتقة واحد على tan 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥. وبما أن tan 𝑥 يساوي sin 𝑥 على cos 𝑥، وcot 𝑥 هو مقلوب ذلك، فإن cot 𝑥 سيساوي cos 𝑥 على sin 𝑥. وهكذا، نكون قد كتبنا بنجاح cot 𝑥 بدلالة sin وcos.

وقد عرفنا أن cot 𝑥 يساوي خارج قسمة cos 𝑥 على sin 𝑥. فيمكننا اشتقاقه باستخدام قاعدة خارج القسمة. إذن، هذه هي قاعدة خارج القسمة، ويمكننا الآن تطبيقها بجعل الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 يساوي cos 𝑥 والدالة 𝑔 في المتغير 𝑥 يساوي sin 𝑥. إذن، لدينا الآن المشتقة التي نبحث عنها بدلالة sin 𝑥 وcos 𝑥 ومشتقتيهما.

ونحن نعرف قيمة مشتقتي sin 𝑥 وcos 𝑥، ويمكننا التعويض بهما. فمشتقة cos 𝑥 تساوي سالب sin 𝑥، ومن ثم، فإن الحد الأول في البسط يصبح sin 𝑥 في سالب sin 𝑥، أي، سالب sin تربيع 𝑥. فماذا عن الحد الثاني في البسط؟ حسنًا، مشتقة sin 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 تساوي cos 𝑥. إذن، فإن الحد الثاني يصبح cos 𝑥 في cos 𝑥، أي، cos تربيع 𝑥.

وليس هناك ما يمكن فعله في المقام. حيث لدينا sin 𝑥 تربيع، الذي يمكننا كتابته في صورة sin تربيع 𝑥. ولكن انتبه إلى أن البسط يساوي سالب sin تربيع 𝑥 ناقص cos تربيع 𝑥، أي، سالب sin تربيع 𝑥 زائد cos تربيع 𝑥. وبالتالي يمكن تطبيق المتطابقة sin تربيع 𝑥 زائد cos تربيع 𝑥 يساوي واحدًا، وهو ما يعني أن البسط سيساوي سالب واحد. وبالتالي، فإن مشتقة cot 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 ستساوي سالب واحد على sin تربيع 𝑥.

وبأخذ علامة الناقص خارج الكسر، نحصل على سالب واحد على sin تربيع 𝑥. ويمكننا تطبيق هذه النتيجة على المشتقة التي نريد إيجادها. إذن، حد d𝑦 على d𝑥 الأول سيصبح ثمانية في سالب واحد على sin تربيع 𝑥. ولكن قبل المتابعة وإيجاد مشتقة sec 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 وبالتالي، الحد الثاني من d𝑦 على d𝑥، فلنراجع أولًا كيف تمكنا من إيجاد مشتقة cot 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥.

لقد كتبنا أولًا cot 𝑥 بدلالة sin 𝑥 وcos 𝑥. ثم بملاحظة أن لدينا خارج قسمة، طبقنا قاعدة خارج القسمة باستخدام مشتقتي sin 𝑥 وcos 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥، اللتين كنا نحفظهما. بعد ذلك، بسطنا بتطبيق المتطابقة sin تربيع 𝑥 زائد cos تربيع 𝑥 يساوي واحدًا، وهو ما أعطانا التعبير البسيط سالب واحد على sin تربيع 𝑥. والآن، لنتبع الخطوات نفسها لإيجاد مشتقة sec 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥.

فيمكننا كتابة sec 𝑥 بدلالة sin 𝑥 وcos 𝑥. ولكننا في الواقع نحتاج فقط إلى cos 𝑥. إذ إن sec 𝑥 يساوي واحدًا على cos 𝑥. ونشتق ذلك بتطبيق قاعدة خارج القسمة حيث الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 يساوي واحدًا والدالة 𝑔 في المتغير 𝑥 يساوي cos 𝑥. إذن، مشتقة واحد بالنسبة إلى 𝑥 هي صفر، ومن ثم، فالحد الأول في البسط يتلاشى. وبالتالي، يتبقى لدينا الحد الثاني: سالب واحد في مشتقة cos 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥. ونحن نعرف مشتقة cos 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥.

فهي تساوي سالب sin 𝑥. إذن، بالجمع بين هذا وسالب واحد، نحصل على sin 𝑥 في البسط وcos تربيع 𝑥 في المقام بالتأكيد. الآن، وقد أوجدنا مشتقة sec 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥، فيمكننا تطبيق هذا في المسألة. فيصبح الحد الثاني لـ d𝑦 على d𝑥 خمسة في sin 𝑥 على cos تربيع 𝑥. حسنًا، يمكننا الآن إفساح بعض المساحة. لقد أوجدنا d𝑦 على d𝑥 بدلالة 𝑥. ونريد الآن إيجاد قيمة هذا عندما 𝑥 يساوي 𝜋 على ستة.

فنعوض بالقيمة 𝜋 على ستة، ومن ثم، نحصل على تعبير يحتوي على sin 𝜋 على ستة وcos 𝜋 على ستة. وحيث إن 𝜋 على ستة تعد زاوية خاصة، فيمكن أن نعرف قيمتي sin 𝜋 على ستة وcos 𝜋 على ستة. ‏sin 𝜋 على ستة يساوي نصفًا وcos 𝜋 على ستة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. إذن، يمكننا التعويض بهاتين القيمتين والتبسيط. على سبيل المثال، نصف تربيع يساوي ربعًا. وجذر ثلاثة على اثنين تربيع يساوي ثلاثة على أربعة. وسالب واحد على ربع يساوي سالب أربعة، ونصف على ثلاثة على أربعة يساوي اثنين على ثلاثة.

ومن ثم، نحصل على ثمانية في سالب أربعة زائد خمسة في اثنين على ثلاثة. وبالتبسيط، نجد أن قيمة d𝑦 على d𝑥 عندما 𝑥 يساوي 𝜋 على ستة هي سالب 86 على ثلاثة. إن هذه المسألة تطلبت منا إيجاد مشتقتي cot وsec. وقد عرفنا أننا يمكننا إيجاد هاتين المشتقتين باستخدام مشتقتي sin وcos المعروفتين لنا وكذلك قاعدة خارج القسمة. فمشتقة cot 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 هي سالب واحد على sin تربيع 𝑥، وهو ما يمكن كتابته كذلك في صورة سالب csc تربيع 𝑥. ومشتقة sec 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 هي sin 𝑥 على cos تربيع 𝑥، وهو ما يمكن كتابته كذلك في صورة sec 𝑥 في tan 𝑥.

ولكننا تركنا هاتين المشتقتين بدلالة sin وcos ليسهل علينا إيجاد قيمتهما عندما تكون 𝑥 يساوي 𝜋 على ستة. إننا لا نحتاج إلى حفظ مشتقات كل الدوال المثلثية الست، على الرغم من أنه قد يكون من الجيد فعل ذلك بما أننا نتذكر مشتقتي sin وcos. وفي الواقع، فحتى مشتقتا sin وcos يمكن معرفتهما بالاستفادة من حقائق أساسية أخرى. ولكن من المفيد بالتأكيد حفظ مشتقتي sin وcos على الأقل.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.