فيديو الدرس: حركة جسم على مستوى خشن الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف ندرس حركة جسيم على المستويات الأفقية والمستويات الخشنة المائلة مقابل قوة الاحتكاك.

١٩:٢٩

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتحدث عن حركة جسم على مستوى خشن. أي إننا سنتحدث عن الأجسام المتحركة على الأسطح، سواء أكانت مائلة أم مستوية حيث يوجد احتكاك. لتحليل هذه الحركة وفهمها، سنستخدم معاملات الاحتكاك ومخططات الجسم الحر ومعادلات الحركة، وأيضًا قانون نيوتن الثاني.

سنبدأ بتخيل وجود جسم ساكن على سطح خشن، وكتلة هذا الجسم هي ﻙ. إذا رسمنا القوى المؤثرة على هذا الجسم حاليًا، فسنجد أن هناك قوتين. أولًا، هناك قوة الوزن التي تؤثر لأسفل ومقدارها ﻙ في ﺩ؛ حيث ﺩ هي عجلة الجاذبية. وهناك أيضًا قوة مساوية لها في المقدار ومضادة لها في الاتجاه؛ وهي القوة العمودية أو قوة رد الفعل العمودي. في هذه المرحلة، يمكننا أن نتذكر قانون نيوتن الثاني للحركة، والذي ينص على أن محصلة القوى المؤثرة على جسم ما تساوي كتلة هذا الجسم مضروبة في عجلته.

بالنسبة إلى الجسم الذي لدينا هنا، القوتان المؤثرتان عليه تلغي إحداهما الأخرى، ومن ثم فإن القوة المحصلة تساوي صفرًا. وبالتالي، وفقًا لهذا القانون، ليس هناك عجلة. لكن تخيل الآن أننا نؤثر على هذا الصندوق بقوة تدفعه من اليسار إلى اليمين. إذا كان السطح الموضوع عليه الجسم الساكن أملس، أي إذا لم يكن هناك أي احتكاك بين السطح والجسم، فإن ﻕﻡ سيكسب الجسم قوة محصلة مؤثرة في الاتجاه الأفقي وسيبدأ الجسم في التحرك بعجلة. لكن في هذه الحالة، نظرًا لوجود احتكاك بين السطحين، تتولد قوة احتكاك معاكسة.

المثير للاهتمام في قوة الاحتكاك هذه هو وجودها فقط كرد فعل للقوة المؤثرة. إذا لم توجد قوة مؤثرة، فلن يكون هناك قوة احتكاك. بل كلما ازداد مقدار القوة المؤثرة، أي إذا دفعنا هذا الصندوق بقوة أكبر، فستزداد قوة الاحتكاك حتى حد معين إلى أن تساوي تلك القوة. ونقول إلى حد معين لأن هناك قيمة قصوى معينة يمكن أن تصل إليها قوة الاحتكاك. وتعطى هذه القيمة القصوى بهذه المعادلة. يمثل هذا الحرف ﻡ ما يسمى بمعامل الاحتكاك. وكما رأينا، ﻕﺭ هي القوة العمودية أو قوة رد الفعل العمودي. أما معامل الاحتكاك، فهو عدد ليس له وحدة، والذي عادة ما يقع بين صفر وواحد، وليس دائمًا.

هناك عاملان يحددان قيمة ﻡ في أي مسألة. العامل الأول هو المواد المحددة الموجودة لدينا، بعبارة أخرى، المادة المصنوع منها الجسم والمادة المصنوع منها السطح. والعامل الثاني المؤثر على ﻡ هو إذا ما كان الجسم ساكنًا أو متحركًا. إذا لم يكن الجسم متحركًا، فإننا نستخدم ما يسمى بمعامل الاحتكاك السكوني، وهو ﻡ مع الحرف ﺱ أسفله.

من ناحية أخرى، سنفترض أننا قمنا بزيادة القوة المؤثرة بحيث يبدأ الصندوق في الحركة بالرغم من المقاومة الناجمة عن الاحتكاك. في هذه الحالة، تظل هناك قوة احتكاك تقاوم حركة الصندوق. لكن مقدارها مختلف لأننا الآن نستخدم ما يسمى بمعامل الاحتكاك الحركي، وهو ﻡﻙ. بوجه عام، هذان المعاملان غير متساويين. عادة ما يكون معامل الاحتكاك الحركي أقل من معامل الاحتكاك السكوني. ونحن نستخدم أحد المعاملين في معادلة قوة الاحتكاك حسب حركة الجسم. هناك نقطة أخرى عن معادلة قوة الاحتكاك، وهي أنه من المهم استخدام القوة العمودية هنا بدلًا من قوة الوزن. وينطبق هذا بشكل خاص عندما يكون الجسم على سطح خشن مائل، كما سنرى لاحقًا في مثال.

لكي نتعرف على كيفية تغير قوة الاحتكاك بمرور الوقت، سنرجع إلى الحالة الأصلية لدينا حيث لا يوجد سوى قوى مؤثرة رأسيًا على الجسم. إذا أردنا رسم قوة الاحتكاك المؤثرة على الجسم مقابل القوة المؤثرة عليه، فسنعلم في هذه اللحظة أن القوة المؤثرة تساوي صفرًا وكذلك قوة الاحتكاك. بعد ذلك، سنفترض أننا نزيد القوة المؤثرة تدريجيًا من صفر إلى وحدة واحدة، بحيث تكون الوحدات غير محددة. ولنفترض أيضًا أننا أثناء القيام بذلك، لا نتجاوز أقصى قوة احتكاك سكوني يمكنها التأثير على الصندوق. يخبرنا هذا أنه كرد فعل لهذه القوة المؤثرة، ستزداد قوة الاحتكاك، إن صح التعبير، لتساوي تلك القوة.

طوال هذا الوقت، ظل الجسم في حالة عدم حركة. وما زالت القوة المحصلة التي تؤثر عليه تساوي صفرًا. لنفترض أننا سنستمر في زيادة القوة المؤثرة من وحدة واحدة إلى وحدتين. وبينما نفعل ذلك، تستمر قوة الاحتكاك في الزيادة، ويظل الصندوق ثابتًا. في هذه الحالة، سيبدو التمثيل البياني بهذا الشكل حيث يكون مقدار قوة الاحتكاك مساويًا لمقدار القوة المؤثرة دائمًا. معامل الاحتكاك الذي سنستخدمه في معادلة الاحتكاك حتى الآن هو ﻡﺱ، وهو معامل الاحتكاك السكوني؛ وذلك لأن الصندوق ليس في حالة حركة. ولكن كما نعرف من التجربة العملية، إذا واصلنا دفع الصندوق بقوة أكبر، فسيبدأ في الحركة. وعندما يحدث ذلك، نكون قد تجاوزنا أقصى قيمة لقوة الاحتكاك السكوني.

قد نتخيل أن التمثيل البياني سيبدو حينها بهذا الشكل، حيث تظل قوة الاحتكاك عند هذا المستوى بينما تزداد القوة المؤثرة. لكنه في الواقع سيكون أقرب إلى هذا الشكل. إن أقصى قوة احتكاك ممكنة هي ﻡﺱ، أو معامل الاحتكاك السكوني، في القوة العمودية، حيث يمثل هذا الجزء من المنحنى ﻡﻙ في ﻕﺭ. ويؤكد هذا أن ﻡﻙ أصغر من ﻡﺱ بالفعل. بالنظر إلى هذا الخط الرأسي المتقطع على التمثيل البياني، يمكننا القول إن الصندوق سيكون في حالة سكون على يسار هذا الخط، بينما سيكون في حالة حركة على يمينه.

وفي كل حالة من حالات الحركة، يجب الحرص على استخدام معامل الاحتكاك الصحيح. وهاتان القيمتان إما أن تكونا من معطيات المسألة، أو نجدهما بالبحث عنهما في جدول. وسواء أكان الجسم في حالة حركة أم لا، سيساعدنا قانون نيوتن الثاني للحركة في تحليل القوى المؤثرة عليه. عندما يكون الجسم في حالة حركة، قد نتمكن من تطبيق معادلات أخرى للحركة. تسمى بمعادلات الحركة بعجلة ثابتة، وهي عبارة عن مجموعة من أربع معادلات تساعدنا في وصف حركة الأجسام المتحركة. تتضمن هذه المعادلات السرعتين الابتدائية والنهائية، والعجلة والإزاحة والزمن.

بعد معرفة كل هذا عن كيفية حركة الأجسام عند وجود احتكاك، هيا نتدرب قليلًا من خلال مثال.

باستخدام المعطيات المذكورة في الشكل الموضح، احسب معامل الاحتكاك الحركي لأقرب منزلتين عشريتين. وذلك مع العلم أن كتلة الجسم ٢٨ كيلوجرامًا وعجلة الجاذبية، ﺩ، تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

بالنظر إلى الشكل لدينا، نرى الجسم على سطح ما ويتحرك نحو اليمين بعجلة قدرها ٢٫٢ متر لكل ثانية مربعة. وتنتج هذه العجلة عن قوة مقدارها ١٥٥ نيوتن تؤثر على الجسم بزاوية قياسها ٤٥ درجة مع المستوى الأفقي. بمعلومية ذلك، بالإضافة إلى حقيقة أن كتلة الجسم — سنطلق عليها ﻙ — تساوي ٢٨ كيلوجرامًا، علينا الحل لإيجاد معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والسطح.

يمكننا البدء في الحل لإيجاد هذا المعامل برسم جميع القوى المؤثرة على الجسم أولًا. يسمى هذا مخطط الجسم الحر. أولًا، نحن نعلم أن الجسم يتعرض لقوة الجاذبية. ونعلم أيضًا أن هناك قوة مؤثرة، سنطلق عليها ﻕﻡ، وهي تساوي ١٥٥ نيوتن، وتؤثر على الجسم بزاوية قياسها ٤٥ درجة. إضافة إلى ذلك، توجد قوة عمودية أو قوة رد فعل عمودي تؤثر مباشرة من السطح. وأخيرًا، هناك قوة احتكاك سنسميها ﻕﺣ. وهي معاكسة لحركة الجسم. ويحدث هذا دائمًا عند الاحتكاك، ومن هنا علمنا أن هذه القوة تؤثر في اتجاه اليسار.

الآن وقد عرفنا كل القوى المؤثرة على الجسم، يمكننا استرجاع قانون نيوتن الثاني للحركة. وهو ينص على أن القوة المحصلة التي تؤثر على جسم ما تساوي كتلة هذا الجسم في عجلته. وبما أن الحركة في الاتجاه الرأسي مستقلة عن الحركة في الاتجاه الأفقي، يمكننا تطبيق قانون نيوتن الثاني على أي من الحركتين بشكل مستقل. بعبارة أخرى، يمكننا القول إن القوة المحصلة المؤثرة على الجسم في المستوى الأفقي تساوي كتلة الجسم مضروبة في عجلته الأفقية. وهذا هو البعد الذي سنركز عليه لأننا نريد إيجاد معامل الاحتكاك الحركي المرتبط بقوة الاحتكاك.

وعندما نقول ذلك، فإننا نعني أن قوة الاحتكاك المؤثرة على جسم في حالة حركة تساوي معامل الاحتكاك الحركي مضروبًا في القوة العمودية المؤثرة على الجسم. إليك ما سنفعله. سنركز أولًا على هذا الاتجاه الأفقي، دعونا نفرغ بعض المساحة هنا ونطبق قانون نيوتن الثاني على هذا المستوى الأفقي. أول شيء سنفعله هو افتراض قاعدة للإشارات؛ الموجبة والسالبة.

لاحظ أن العجلة المعطاة لنا في المسألة هي قيمة موجبة وهذه العجلة في اتجاه اليمين. إذن سنقول إن أي قوة أو حركة في هذا الاتجاه موجبة، وأي قوة أو حركة في الاتجاه الآخر سالبة. وبينما نتناول القوى المؤثرة أفقيًا في مخطط الجسم الحر، نلاحظ وجود مركبة القوة المؤثرة أفقيًا. كما نلاحظ وجود قوة الاحتكاك التي تؤثر بالكامل في هذا الاتجاه.

إذا كان لدينا مثلث قائم الزاوية وبه زاوية قياسها ٤٥ درجة حيث طول الوتر هو مقدار القوة المؤثرة، أي ١٥٥ نيوتن، يمكننا إيجاد طول الضلع الأفقي لهذا المثلث بضرب ﻕﻡ في جتا ٤٥ درجة. هذا يمثل القوة الأفقية الموجبة التي تؤثر على الجسم. بعد ذلك سنطرح من هذا قوة الاحتكاك. تذكر أن هذه القوة تساوي معامل الاحتكاك الحركي، وهو ما نريد إيجاده، مضروبًا في القوة العمودية. وهذا يمثل جميع القوى الأفقية المؤثرة على الكتلة. وبناء عليه، طبقًا لقانون نيوتن الثاني، فإن هذا المجموع يساوي الكتلة مضروبة في العجلة في الاتجاه الأفقي.

تخبرنا المسألة بقيمة ﻕﻡ وكذلك كتلة الجسم وعجلته، لكننا لا نعلم قيمة ﻕﺭ لكي نتمكن من إيجاد قيمة ﻡﻙ. لإيجاد الحل، علينا تطبيق قانون نيوتن الثاني مرة أخرى، لكن هذه المرة في البعد الرأسي. وفي أثناء ذلك، يمكننا افتراض أن الحركة لأعلى تمثل الاتجاه الموجب، والحركة لأسفل تمثل ما سنسميه الاتجاه السالب. لذا، دعونا نفكر في القوى المؤثرة رأسيًا على الجسم. أولًا، توجد القوة العمودية، ﻕﺭ. ثم نضيف إليها المركبة الرأسية للقوة المؤثرة، ﻕﻡ.

وبالعودة إلى المثلث، نستنج أن طول هذا الضلع يساوي ﻕﻡ في جا ٤٥ درجة. وأخيرًا في الاتجاه الرأسي، لدينا قوة الوزن، ﻙ في ﺩ، التي تؤثر لأسفل. وفقًا لافتراضنا، تعتبر هذه القوة سالبة. ووفقًا لقانون نيوتن الثاني، كل هذا يساوي كتلة الجسم في عجلته بالاتجاه الرأسي، وهو ما سنطلق عليه ﺟﺭ. بعد ذلك، ندرك أن الجسم لا يتحرك بعجلة رأسيًا، ومن ثم فهذه القيمة تساوي صفرًا. وهذا يعني أن مجموع هذه القوى يساوي صفرًا. إذن، إذا طرحنا هذا الحد من طرفي المعادلة وأضفنا هذا الحد إلى كلا الطرفين، فسنحصل على مقدار يعبر عن القوة العمودية، وذلك بدلالة قوة الوزن ناقص المركبة الرأسية للقوة المؤثرة.

يمكننا بعد ذلك التعويض بهذا الطرف الأيسر عن ﻕﺭ هنا. والآن، لدينا مقدار يمكننا استخدامه لإيجاد ﻡﻙ؛ أي معامل الاحتكاك الحركي. وهذا لأننا نعرف القيم العددية لـ ﻕﻡ وﻙ وﺩ وﺟ، وكذلك جا ٤٥ وجتا ٤٥ درجة. ولكن قبل أن نعوض بهذه القيم، دعونا نعد ترتيب هذا المقدار ليصبح ﻡﻙ هو المتغير التابع. أولًا، سنطرح ﻕﻡ جتا ٤٥ درجة من كلا الطرفين. ثم نقسم طرفي المعادلة على المقدار الموجود بين القوسين. وأخيرًا، سنضرب كلا الطرفين في سالب واحد. لنحصل في النهاية على هذا المقدار. والآن نحن على استعداد للتعويض بما لدينا من قيم.

‏‏ﻕﻡ يساوي ١٥٥ نيوتن. كل من جتا ٤٥ درجة وجا ٤٥ درجة يساوي الجذر التربيعي لاثنين على اثنين. كتلة الجسم، ﻙ، تساوي ٢٨ كيلوجرامًا. والعجلة، ﺟ، تساوي ٢٫٢ متر لكل ثانية مربعة. وأخيرًا، عجلة الجاذبية، ﺩ، تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة. عندما نكتب هذا المقدار على الآلة الحاسبة، ونقربه لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على الناتج ٠٫٢٩. وهذا هو معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والسطح.

دعونا نلق نظرة الآن على تمرين يكون فيه الجسم على سطح خشن مائل.

جسم وزنه ٢٤ نيوتن وضع على مستوى خشن يميل على الأفقي بزاوية قياسها ٣٠ درجة. معامل الاحتكاك السكوني بين الجسم والمستوى هو واحد على ستة جذر ثلاثة. ومعامل الاحتكاك الحركي هو واحد على ١٢ جذر ثلاثة. أثرت قوة دافعة على الجسم في اتجاه خط أكبر ميل لأعلى. أوجد مقدار هذه القوة التي تجعل الجسم على وشك الحركة.

عند رسم هذه المعطيات، يمكن أن تبدو بهذا الشكل حيث يكون الجسم في حالة سكون على مستوى يميل بزاوية ٣٠ درجة. بوجود الجسم على هذا الوضع، فإنه يتعرض لقوة احتكاك سكوني تعتمد على معامل الاحتكاك السكوني المعطى لنا، وهو واحد على ستة جذر ثلاثة. وتخبرنا المسألة بأن هناك قوة، سنطلق عليها ﻕ، تؤثر على الجسم في اتجاه خط أكبر ميل. ونحن نريد معرفة مقدار القوة الذي يجعل الجسم على وشك الحركة.

دعونا أولًا نفرغ بعض المساحة لنبدأ الحل. ثم لنوضح على هذا الرسم جميع القوى المؤثرة على الجسم. إننا نعلم أن هناك قوة وزن مقدارها ٢٤ نيوتن. ونعلم أيضًا أن هناك قوة رد فعل عمودية على السطح المائل لدينا. إلى جانب ذلك كله، توجد قوة احتكاك سكوني. إذا لم تكن هناك قوة مؤثرة، نشير إليها بـ ﻕ، تدفع الجسم إلى أعلى المستوى المائل، فإن قوة الاحتكاك السكوني ستكون في هذا الاتجاه نفسه. وهذا من شأنه أن يمنع الجسم من الانزلاق لأسفل المستوى. لكن في الحالة لدينا، نريد إيجاد أقصى قيمة ممكنة لـ ﻕ حيث يكاد الجسم يتحرك لأعلى المستوى المائل. وهذا يعني أن قوة الاحتكاك السكوني تؤثر لأسفل المستوى المائل.

عندما نبدأ تحليل هذه القوى المؤثرة على الجسم، يمكننا أن نوجه أنفسنا باستخدام محورين متعامدين. سنقول إن القوى المؤثرة لأعلى المستوى المائل موجبة، والقوى التي تؤثر في الاتجاه المعاكس سالبة. وبالمثل، القوى المؤثرة عموديًا بعيدًا عن السطح تكون موجبة، والقوى في الاتجاه الآخر تكون سالبة. بمعلومية ذلك، يمكننا تطبيق قانون نيوتن الثاني للحركة على كل من الاتجاهين اللذين سنطلق عليهما الاتجاه ﺹ والاتجاه ﺱ.

وبالنظر أولًا إلى الاتجاه ﺱ، سنرى أن القوة ﻕ تؤثر في الاتجاه الموجب لـ ﺱ، بينما تؤثر قوة الاحتكاك في الاتجاه المعاكس. لكن هاتين القوتين ليستا الوحيدتين المؤثرتين في الاتجاه ﺱ. وذلك لأن قوة الوزن لها مركبة هنا في الاتجاه السالب لـ ﺱ. وقياس هذه الزاوية في هذا المثلث يساوي ٣٠ درجة. وبما أن هذا التقاطع هو زاوية قائمة، يمكننا استنتاج أن المركبة ﺱ لقوة الوزن تساوي ٢٤ نيوتن في جا ٣٠ درجة. يمكننا أن نتذكر أن جا ٣٠ درجة يساوي نصفًا، إذن سنعوض بذلك مباشرة.

هذه هي جميع القوى المؤثرة فيما نسميه الاتجاه ﺱ. ووفقًا لقانون نيوتن الثاني، مجموع هذه القوى يساوي كتلة الجسم مضروبة في العجلة في هذا البعد. لكن تذكر أننا نوجد قيمة ﻕ والجسم ليس في موضع حركة بعد. بعبارة أخرى، ﺟﺱ يساوي صفرًا. وهذا يعني أن الطرف الأيسر بأكمله يساوي صفرًا، أي إنه يمكننا إعادة ترتيبه مع ملاحظة أن أقصى قوة يمكن التأثير بها على الجسم دون أن يتحرك بعد ستساوي قوة الاحتكاك السكوني زائد ١٢ نيوتن. بشكل عام، قوة الاحتكاك السكوني تساوي معامل الاحتكاك السكوني في القوة العمودية المؤثرة على الجسم.

في هذه المسألة، نحن نعلم قيمة ﻡﺱ. لكن ماذا عن ﻕﺭ؟ لمعرفة ذلك، علينا النظر إلى قانون نيوتن الثاني للحركة المطبق في الاتجاه ﺹ. لدينا هنا قوة عمودية موجبة، ولكن لدينا أيضًا مركبة سالبة لقوة الوزن موضحة هنا على الرسم. وهذه المركبة تساوي ٢٤ نيوتن في جتا ٣٠ درجة، وجيب تمام هذه الزاوية يساوي الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين. تمامًا مثلما حدث في الاتجاه ﺱ، ونظرًا لعدم وجود عجلة في الاتجاه ﺹ، فإن مجموع هاتين القوتين يساوي صفرًا. وهذا يخبرنا أن القوة العمودية تساوي ١٢ في الجذر التربيعي لثلاثة نيوتن.

والآن بعد أن عرفنا قيمة ﻕﺭ، يمكننا التعويض بقيمتها وبقيمة ﻡﺱ في المعادلة المستخدمة لحساب قوة الاحتكاك. وبضرب هاتين الكميتين معًا، يلغى الجذر التربيعي لثلاثة، لنجد أن أقصى قوة احتكاك تساوي اثنين نيوتن. إذن، ﻕ يساوي ١٤ نيوتن. هذا هو مقدار أكبر قوة يمكن أن تؤثر مباشرة لأعلى المستوى المائل دون أن يتحرك الجسم.

لنراجع الآن بعض النقاط الأساسية لما تعلمناه. في هذا الدرس، رأينا أن الجسم الموضوع في حالة سكون على سطح خشن يمكن أن يتعرض لقوة احتكاك سكوني، بينما الجسم في حالة حركة على سطح خشن يتعرض لقوة احتكاك حركي. إلى جانب هذا، تعلمنا أن قوة الاحتكاك، رياضيًا، تساوي معامل الاحتكاك في القوة العمودية المؤثرة على الجسم. يمكن أن نشير إلى معامل الاحتكاك بـ ﻡﺱ إذا كان الجسم ساكنًا أو ﻡﻙ إذا كان الجسم في حالة حركة. وأخيرًا، عرفنا أن قانون نيوتن الثاني للحركة ومخططات الجسم الحر أدوات مفيدة لفهم الحركة التي تتضمن احتكاكًا.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.