فيديو الدرس: مركز كتلة الجسيمات الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد موضع مركز الثقل (أو مركز الكتلة) لمجموعة من الجسيمات مرتبة في مستوى ثنائي الأبعاد.

٢٣:٢١

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتناول موضوع مركز كتلة الجسيمات. سنتناول الآن كيفية حساب مركز كتلة مجموعة من الجسيمات التي لها كتل ومواضع منفردة مختلفة في فضاء ثنائي الأبعاد. يفيد مفهوم مركز الكتلة بوجه عام عندما نفكر في تأثيرات الجاذبية الأرضية على الأجسام، وتحديدًا عند التفكير في تحقيق توازن بينها. مركز الكتلة لجسم أو لمجموعة من الأجسام هو نقطة في فضاء، وهو فعليًا الموضع الذي يتوسط جميع الكتل في النظام.

إن التمكن من إيجاد هذه النقطة أمر مفيد، لأنه في بعض العمليات الحسابية، يمكننا التعامل مع النظام بأكمله باعتباره كتلة واحدة تقع عند مركز الكتلة. بعبارة أخرى، يمكننا أن نفترض فعليًا أن كل الكتل الموجودة في النظام مركزة عند هذه النقطة. يمكننا التفكير في مركز كتلة نظام ما باعتباره نقطة توازنه. لننظر إلى هذا المثال الذي يحمل فيه النادل صينية عليها بعض الأجسام بيد واحدة. من الممكن فعليًا التعامل مع الصينية ومجموعة الأجسام كما لو كانت كتلة واحدة، تقع عند مركز الكتلة. يضمن حمل الصينية من النقطة التي تقع أسفل مركز الكتلة مباشرة أن تظل الصينية متوازنة.

في هذا الفيديو، سوف نركز على إيجاد مركز كتلة مجموعات من الجسيمات. إذن، لنبدأ بمثال بسيط. لنفترض أن لدينا جسيمين يسميان ﺃ وﺏ، وكتلتاهما ﻙﺃ وﻙﺏ على الترتيب. لاحظ أنه عندما نقول جسيمًا، فإننا نعني ببساطة جسمًا حجمه ضئيل للغاية. تذكر أنه يمكننا التفكير في مركز الكتلة باعتباره الموضع الذي يتوسط جميع الكتل الموجودة في النظام. إذن في هذه الحالة، التي يتكون فيها النظام من جسيمين، يكون إيجاد مركز الكتلة أمرًا بديهيًا إلى حد ما. فهو يقع ببساطة عند النقطة التي تتوسط المسافة بين الجسيمين.

إذا كان لدينا محور إحداثي على الشكل، فيمكننا إذن إيجاد إحداثي موضع مركز الكتلة من خلال إيجاد الموضع الذي يتوسط إحداثيات موضع كل من ﺃ وﺏ. في هذه الحالة، الإحداثي ﺱ للجسيم ﺃ يساوي صفرًا، والإحداثي ﺱ للجسيم ﺏ يساوي خمسة. إذن، يمكننا إيجاد الإحداثي ﺱ لمركز الكتلة، والذي نكتبه على الصورة ﺱﻡ، عن طريق جمع إحداثي موضع ﺃ وإحداثي موضع ﺏ والقسمة على عدد الجسيمات. وهذا يعطينا خمسة على اثنين أو ٢٫٥ وهو الإحداثي ﺱ لمركز الكتلة.

لاحظ أننا قلنا في هذا المثال إن كتلة الجسم ﺃ تساوي كتلة الجسم ﺏ، فماذا سيحدث إذا كانت كتلتاهما غير متساويتين؟ إذا كانت كتلة أحد الجسيمين أكبر، فلنفترض أن كتلة الجسيم ﺏ أكبر من كتلة الجسيم ﺃ؛ عندئذ نتوقع أن يكون موضع مركز الكتلة أقرب إلى الجسيم ﺏ منه إلى الجسيم ﺃ. وفي الواقع، يكون تأثير الكتل الكبيرة على موضع مركز الكتلة أكبر من تأثير الكتل الصغيرة.

إذن، لأخذ ذلك في اعتبارنا عند حساب موضع مركز الكتلة، علينا الآن حساب ما يعرف بالمتوسط المرجح لمواضع الجسيمات. إذن، بدلًا من جمع إحداثيات موضع كل جسيم معًا ثم القسمة على عدد الجسيمات، نضرب موضع كل جسيم في كتلته ونقسم على الكتلة الكلية. في هذه الحالة، نأخذ موضع ﺃ، أي الصفر؛ ونضربه في كتلة ﺃ، أي ﻙﺃ؛ ونضيفه إلى موضع ﺏ، وهو خمسة، مضروبًا في كتلة ﺏ أي ﻙﺏ. نقسم بعد ذلك على الكتلة الكلية في النظام، التي تكون في هذه الحالة كتلة ﺃ زائد كتلة ﺏ. يمكننا تعميم هذا المقدار بكتابة ﺱﺃ لموضع ﺃ وﺱﺏ لموضع ﺏ.

تخبرنا هذه المعادلة الآن بالإحداثي ﺱ لمركز الكتلة لأي جسيمين ﺃ وﺏ، حيث يكون موضعا الجسيمين ﺱﺃ وﺱﺏ وكتلتاهما ﻙﺃ وﻙﺏ. ويمكن تعميم هذه المعادلة أكثر للتعامل مع الأنظمة التي تحتوي على أكثر من جسيمين. إذن، لأي عدد من الجسيمات، الإحداثي ﺱ لمركز الكتلة يساوي مجموع كتلة كل جسيم مضروبًا في موضعه ومقسومًا على مجموع كتلة كل جسيم، أو بعبارة أخرى، الكتلة الكلية في النظام.

يمكن بسهولة توسيع هذه الفكرة لتشمل أكثر من بعد واحد. على سبيل المثال، إذا كان لدينا عدة جسيمات موزعة في فضاء ثنائي الأبعاد، إذن فسنحصل على الإحداثي ﺱ لمركز كتلتها باستخدام هذا المقدار، وسنحصل على الإحداثي ﺹ لمركز كتلتها باستخدام هذا المقدار، وهو المقدار نفسه باستثناء أنه يشير إلى الإحداثي ﺹ لكل جسيم بدلًا من الإحداثي ﺱ.

إذن، كمثال سريع، دعونا نفترض بعض الكتل لهذه الجسيمات ونحسب مركز الكتلة. لنفترض أن كتلة الجسيم ﺃ تساوي كيلوجرامًا واحدًا، وكتلة الجسيم ﺏ تساوي كيلوجرامين، وكتلة الجسيم ﺟ تساوي ثلاثة كيلوجرامات، وكتلة الجسم ﺩ تساوي أربعة كيلوجرامات. وجدير بالملاحظة أنه يلزم التعبير عن جميع الكتل باستخدام وحدات القياس نفسها. لكن ما دامت وحدات قياس الكتل واحدة، فإن وحدات القياس المستخدمة لن تؤثر في الواقع في موضع مركز الكتلة. بما أن كل هذه الكتل مكتوبة بالكيلوجرامات، يمكننا أيضًا أن نتجاهل وحدات قياس الكتلة في هذا المثال. لذا يمكننا القول فحسب إن كتل هذه الجسيمات هي واحد، واثنان، وثلاثة، وأربعة، على الترتيب.

حسنًا، نحن نبحث عن إحداثيات مركز كتلة هذه الجسيمات الأربعة، التي يمكننا كتابتها على هذا النحو. أولًا، دعونا نستخدم هذه الصيغة لإيجاد الإحداثي ﺱ لمركز الكتلة. لفعل ذلك، علينا أولًا إيجاد مجموع حاصل ضرب كتلة كل جسيم في الإحداثي ﺱ لموضعه. إذن، فالجسيم ﺃ كتلته واحد، والإحداثي ﺱ يساوي واحدًا. وحاصل ضربهما يساوي بالطبع واحدًا في واحد. الجسيم ﺏ كتلته اثنان والإحداثي ﺱ يساوي ٢٫٥. لذا، سنضيف حاصل ضرب اثنين في ٢٫٥. والجسيم ﺟ كتلته ثلاثة، والإحداثي ﺱ يساوي ستة، ما يعطينا ثلاثة في ستة. ولأن كتلة الجسيم ﺩ أربعة والإحداثي ﺱ هو ثلاثة، إذن يمكننا إضافة أربعة في ثلاثة. ثم نقسم ذلك كله على مجموع الكتل كلها، وهو في هذه الحالة واحد زائد اثنين زائد ثلاثة زائد أربعة.

بإيجاد قيمة بسط هذا المقدار، نجد أن واحدًا في واحد يساوي واحدًا، واثنين في ٢٫٥ يساوي خمسة، وثلاثة في ستة يساوي ١٨، وأربعة في ثلاثة يساوي ١٢. مجموع هذه القيم كلها هو ٣٦. وبالنظر إلى المقام، نجد أن واحدًا زائد اثنين زائد ثلاثة زائد أربعة يساوي ١٠. بذلك نكون قد وجدنا أن الإحداثي ﺱ لمركز الكتلة هو ٣٦ على ١٠ أو ٣٫٦. بعد ذلك، يمكننا استخدام هذه الصيغة لإيجاد الإحداثي ﺹ لمركز الكتلة. لفعل ذلك، علينا أولًا جمع كتلة كل جسيم مضروبة في الإحداثي ﺹ له. كتلة الجسيم ﺃ تساوي واحدًا، وإحداثي ﺹ له يساوي اثنين، ما يعطينا واحدًا في اثنين. كتلة الجسيم ﺏ تساوي اثنين، والإحداثي ﺹ له يساوي أربعة، ما يعطينا اثنين في أربعة. كتلة الجسم ﺟ تساوي ثلاثة، والإحداثي ﺹ له يساوي ثلاثة، ما يعطينا ثلاثة في ثلاثة. وكتلة الجسيم ﺩ تساوي أربعة والإحداثي ﺹ له يساوي واحدًا، ما يعطينا أربعة في واحد.

مرة أخرى، نقسم كل ذلك على مجموع كتل الجسيمات، الذي حسبناه بالفعل وهو ١٠. بإيجاد قيمة البسط مرة أخرى، لدينا واحد في اثنين، وهو ما يساوي اثنين؛ واثنان في أربعة، وهو ما يساوي ثمانية؛ وثلاثة في ثلاثة، وهو ما يساوي تسعة؛ وأربعة في واحد، وهو ما يساوي أربعة بالطبع. وبجمع ذلك كله نحصل على ٢٣. إذن، الإحداثي ﺹ لمركز الكتلة هو ٢٣ على ١٠ أو ٢٫٣. إذن، أخيرًا، يمكننا القول إن مركز كتلة هذه الجسيمات الأربعة يقع تقريبًا هنا، عند الإحداثيين ٣٫٦، ٢٫٣. حسنًا، بعدما تحدثنا قليلًا عن مركز الكتلة وكيفية حساب إحداثيات مركز كتلة نظام من الجسيمات باستخدام هاتين المعادلتين، دعونا نلق نظرة على بعض الأمثلة.

تقع ثلاثة جسيمات على خط مستقيم. يقع الجسيم ﺃ الذي كتلته أربعة كيلوجرامات عند نقطة الأصل، ويقع الجسيم ﺏ الذي كتلته ستة كيلوجرامات عند تسعة، ستة، ويقع الجسيم ﺟ الذي كتلته ١٠ كيلوجرامات عند ستة، أربعة. حدد إحداثيات مركز كتلة الجسيمات الثلاثة.

من الجيد أن نبدأ في هذا السؤال برسم مواضع الجسيمات الثلاثة على زوج من محاور الإحداثيات. إذن، ها هو الجسيم ﺃ عند نقطة الأصل، والجسيم ﺏ عند الإحداثي تسعة، ستة، والجسيم ﺟ عند الإحداثيين ستة، أربعة. يطلب منا هذا السؤال إيجاد مركز كتلة الجسيمات الثلاثة. لعلنا نتذكر أن مركز الكتلة هو في الواقع الموضع المتوسط لجميع الكتل في النظام. يمكننا حساب الموضع الدقيق لمركز كتلة أي نظام جسيمات بإيجاد الموضع المتوسط لهذه الجسيمات الذي يقدر حسب كتلتها.

وتحديدًا، يمكننا حساب إحداثيات مركز كتلة نظام يتكون من جسيمات في فضاء ثنائي الأبعاد باستخدام هاتين المعادلتين. تخبرنا المعادلة الموجودة على اليمين أنه يمكن إيجاد الإحداثي ﺱ لمركز الكتلة، وهو ﺱﻡ، عن طريق جمع حواصل ضرب كتلة كل جسيم في الإحداثي ﺱ لموضعه، وقسمة هذه الكمية على مجموع كل كتل الجسيمات. توضح لنا المعادلة الموجودة على اليسار أن الإحداثي ﺹ لمركز الكتلة يمكن حسابه بطريقة مشابهة، والاختلاف الوحيد هذه المرة أننا نجمع حواصل ضرب كتلة كل جسيم في الإحداثي ﺹ لموضعه. هيا أولًا نستخدم المعادلة التي على اليمين لإيجاد الإحداثي ﺱ لمركز كتلة الجسيمات الثلاثة.

نعرف من بسط هذا المقدار أنه يتعين علينا ضرب كتلة كل جسيم في الإحداثي ﺱ لكل جسيم، ثم جمع هذه الكميات معًا. بعبارة أخرى، نضرب كتلة الجسيم ﺃ، أي ﻙﺃ، في الإحداثي ﺱ للجسيم ﺃ، أي ﺱﺃ، ثم نجمع كتلة الجسيم ﺏ مضروبًا في الإحداثي ﺱ للجسيم ﺏ، ثم نجمع كتلة الجسيم ﺟ مضروبًا في الإحداثي ﺱ للجسيم ﺟ. مقام هذا المقدار هو مجموع الكتل كلها. وفي هذه الحالة، هذا يعني أننا نقسم على كتلة الجسيم ﺃ زائد كتلة الجسيم ﺏ زائد كتلة الجسيم ﺟ.

لحسن الحظ، كل المعلومات التي نحتاجها متاحة في السؤال. كتلة الجسيم ﺃ أربعة كيلوجرامات، وهي تقع عند نقطة الأصل، ما يعني أن الإحداثي ﺱ له هو صفر. إذن، كتلة ﺃ مضروبة في الإحداثي ﺱ لـ ﺃ تساوي أربعة في صفر. بعد ذلك، نعلم أن كتلة الجسيم ﺏ ستة كيلوجرامات، وإحداثي ﺱ له هو تسعة. إذن نضيف ستة في تسعة. وأخيرًا، كتلة الجسيم ﺟ هي ١٠ كيلوجرامات، وإحداثي ﺱ له هو ستة. إذن، نضيف ١٠ في ستة.

ثم نقسم ذلك كله على كتلة ﺃ زائد كتلة ﺏ زائد كتلة ﺟ، أي أربعة كيلوجرامات زائد ستة كيلوجرامات زائد ١٠ كيلوجرامات. لإيجاد قيمة البسط، لدينا أربعة في صفر يساوي صفرًا، وستة في تسعة وهو ما يساوي ٥٤، و١٠ في ستة وهو ما يساوي ٦٠. ‏‏٥٤ زائد ٦٠ في البسط يساوي ١١٤، وأربعة زائد ستة زائد ١٠ في المقام يساوي ٢٠، وهو ما يمكن التعبير عنه على صورة عدد عشري يساوي ٥٫٧. إذن، الإحداثي ﺱ لمركز كتلة هذه الجسيمات الثلاثة هو ٥٫٧.

والآن، علينا فقط إيجاد الإحداثي ﺹ لمركز الكتلة. ويمكننا فعل ذلك باستخدام المعادلة الموجودة على اليسار. إذن أولًا، نضرب كتلة كل جسيم في الإحداثي ﺹ له، ونجمع حواصل الضرب هذه معًا. كتلة الجسيم ﺃ أربعة كيلوجرامات، ولأنها تقع عند نقطة الأصل، فإننا نعرف أن الإحداثي ﺹ له هو صفر. كتلة الجسيم ﺏ ستة والإحداثي ﺹ له هو ستة. والجسيم ﺟ كتلته ١٠ والإحداثي ﺹ له هو أربعة. ثم نقسم ذلك كله على مجموع كتل الجسيمات كلها، الذي حسبنا سابقًا أنه يساوي ٢٠. والآن لإيجاد قيمة البسط، لدينا أربعة في صفر ويساوي صفرًا، وستة في ستة وهو يساوي ٣٦، و١٠ في أربعة وهو يساوي ٤٠. بجمع القيم في البسط نحصل على ٧٦، وهو مقسوم على ٢٠، ويعبر عنه على صورة عدد عشري هو ٣٫٨.

إذن، إذا كان الإحداثي ﺱ يساوي ٥٫٧ والإحداثي ﺹ يساوي ٣٫٨، فإن إحداثيي مركز الكتلة هما ٥٫٧، ٣٫٨. وهذه هي الإجابة النهائية للسؤال.

بعد ذلك، دعونا ننظر إلى مثال لا يخبرنا بالإحداثيات الدقيقة للجسيمات في النظام.

يوضح الشكل نظامًا من الكتل النقطية الموضوعة على رءوس مربع طول ضلعه ست وحدات. وضعت الكتلة عند كل نقطة كما هو مفصل بالجدول. أوجد إحداثيات مركز ثقل النظام.

إذن، بالنظر إلى الشكل، يمكننا أن نرى أن لدينا بالفعل أربع كتل نقطية، يمكننا أيضًا أن نطلق عليها جسيمات، وهي موضوعة عند أركان أو رءوس مربع. يوضح الجدول أن الكتلة النقطية في الموضع ﺃ تساوي ٧٥ كيلوجرامًا، وأن الكتلة عند النقطة ﺏ تساوي ٢٩ كيلوجرامًا، والكتلة عند النقطة ﺟ تساوي ٧١ كيلوجرامًا، والكتلة عند النقطة ﺩ تساوي ٨٥ كيلوجرامًا. يطلب منا السؤال إيجاد مركز ثقل النظام، وهو نفسه السؤال عن مركز الكتلة. يمكننا أن نتذكر أن مركز الكتلة هو، في الواقع، الموضع المتوسط لجميع الكتل في النظام، وأن الإحداثيين ﺱ وﺹ لمركز الكتلة معطيان بهذه الصيغة وهذه الصيغة، على الترتيب.

إذن، لنبدأ باستخدام الصيغة الموجودة على اليمين لإيجاد الإحداثي ﺱ لمركز الكتلة. إذا نظرنا إلى البسط في الطرف الأيسر من هذا المقدار، فسنجد أننا نحتاج إلى إيجاد مجموع كل كتلة مضروبًا في الإحداثي ﺱ لها، لذا يمكننا إعادة كتابة البسط على أنه الكتلة عند الموضع ﺃ مضروبة في الإحداثي ﺱ للموضع ﺃ زائد الكتلة عند الموضع ﺏ مضروبة في الإحداثي ﺱ عند ﺏ، وهكذا لكل نقطة من النقاط الأربع. مقام هذا المقدار هو مجموع كل الكتل في النظام. لذا يمكننا إعادة كتابة المقام على أنه الكتلة عند النقطة ﺃ زائد الكتلة عند النقطة ﺏ، وهكذا. إذن كل ما علينا فعله الآن هو التعويض عن الكتل ومواضع كل الكتل النقطية.

لدينا الآن كتل كل من الكتل النقطية في الجدول. لكن، لم يخبرنا السؤال صراحة بإحداثيات ﺱ لجميع هذه النقاط. لإيجاد إحداثيات ﺱ، علينا أن نستخدم حقيقة أن الكتل النقطية تقع عند رءوس مربع طول ضلعه ست وحدات. هذا يعني أن كل الأطوال هذه على الشكل طولها ست وحدات. يمكننا أن نلاحظ أن الموضع ﺃ هو نقطة الأصل. إذن، يكون له الإحداثيان صفر، صفر. وبما أن الموضع ﺏ يقع على بعد ست وحدات فوق نقطة الأصل، فإننا نعرف أن إحداثييه لا بد أن يكونا صفرًا، ستة. الموضع ﺟ يقع على بعد ست وحدات يمين الموضع ﺏ، أي ست وحدات في اتجاه المحور ﺱ. إذن، يجب أن يكون إحداثياه ستة، ستة. وأخيرًا، نلاحظ أن الموضع ﺩ يقع على بعد ست وحدات في اتجاه ﺱ من نقطة الأصل، إذن لا بد أن يكون إحداثياه ستة، صفرًا.

والآن بعد أن أصبح لدينا إحداثيات جميع النقاط وكتلها، يمكننا التعويض بالإحداثيات ﺱ والكتل في هذا المقدار لإيجاد الإحداثي ﺱ لمركز الكتلة. أولًا، يمكننا أن نرى أن الكتلة عند ﺃ تساوي ٧٥ كيلوجرامًا، وإحداثي ﺱ لها يساوي صفرًا. وهذا يعطينا ٧٥ في صفر. بعد ذلك، لدينا الكتلة عند ﺏ مضروبة في الإحداثي ﺱ لـ ﺏ، أي ٢٩ في صفر، والكتلة عند النقطة ﺟ مضروبة في الإحداثي ﺱ لـ ﺟ تساوي ٧١ في ستة، والكتلة عند ﺩ مضروبة في الإحداثي ﺱ لـ ﺩ هي ٨٥ في ستة.

ثم نقسم كل ذلك على مجموع الكتل. بإيجاد قيمة البسط، يمكننا ملاحظة أن هذا الحد وهذا الحد عددان مضروبان في صفر. إذن، كل من هذين الحدين يساوي صفرًا، ويتبقى لدينا ٧١ في ستة زائد ٨٥ في ستة. وبإدخال هذه العملية الحسابية على الآلة الحاسبة، نحصل على ٩٣٦. المجموع في المقام يساوي ٢٦٠. ويمكن تبسيط هذا الكسر إلى ١٨ على خمسة. وهذا هو الإحداثي ﺱ لمركز ثقل النظام. والآن، علينا استخدام هذه الصيغة لإيجاد الإحداثي ﺹ لمركز الكتلة. في الأساس نفعل الشيء نفسه بالضبط، فيما عدا أننا نستخدم الإحداثي ﺹ لكل نقطة بدلًا من الإحداثي ﺱ.

إذن، لدينا الكتلة عند ﺃ مضروبة في الإحداثي ﺹ لـ ﺃ زائد الكتلة عند ﺏ مضروبة في الإحداثي ﺹ لـ ﺏ زائد الكتلة عند ﺟ مضروبة في الإحداثي ﺹ لـ ﺟ، والكتلة عند ﺩ مضروبة في الإحداثي ﺹ لـ ﺩ. ثم نقسم ذلك كله على مجموع كل كتل الجسيمات، الذي حسبنا سابقًا أنه ٢٦٠. مرة أخرى، في البسط، اثنان من الحدود يساويان صفرًا. وبإيجاد قيمة باقي المقدار، نحصل على ٦٠٠ على ٢٦٠. يمكننا تبسيط هذا الكسر إلى ٣٠ على ١٣. وهذا هو الإحداثي ﺹ لمركز الكتلة. إذن، بوضع إحداثيي ﺱ وﺹ معًا، نجد أن إحداثيي مركز ثقل أو مركز كتلة النظام هما ١٨ على خمسة، ٣٠ على ١٣.

حسنًا، بعد أن أجبنا عن بعض المسائل التدريبية، دعونا نستعرض النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. رأينا أن مركز الكتلة لنظام من الجسيمات هو الموضع المتوسط للجسيمات الذي يرجح حسب كتلتها. يمكننا حساب الإحداثيات المكانية لمركز الكتلة كل على حدة. في النظام الثنائي الأبعاد، ستكون هي الإحداثيين ﺱ وﺹ. ويمكن تحقيق ذلك باستخدام هاتين الصيغتين. الإحداثي ﺱ لمركز الكتلة، الذي يرمز إليه بـ ﺱﻡ ، يساوي مجموع كتلة كل جسيم مضروبًا في الإحداثي ﺱ له مقسومًا على مجموع كتل كل الجسيمات. وبالمثل، الإحداثي ﺹ لمركز الكتلة، الذي يرمز إليه بـ ﺹﻡ ، يساوي مجموع كتلة كل جسيم مضروبًا في الإحداثي ﺹ له مقسومًا على مجموع كتل الجسيمات.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.