نسخة الفيديو النصية
احسب التكامل المحدد من صفر إلى واحد للدالة العكسية لـ ظاﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
لدينا هنا تكامل محدد علينا حسابه. والدالة التي سنجري التكامل عليها هي الدالة العكسية للظل لـ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. أول شيء علينا التأكد منه دائمًا عند حساب تكامل غير محدد، هو أن الدالة التي سنجري التكامل عليها متصلة على الفترة المغلقة بين حدي التكامل. في هذه المسألة، نحن نعلم أن الدالة العكسية للظل لـ ﺱ متصلة لجميع القيم الحقيقية لـ ﺱ. لذا، لا داع للقلق بشأن ذلك.
لكننا نواجه مشكلة هنا. وهي أننا لا نعلم كيف نحسب تكامل الدالة العكسية للظل لـ ﺱ. فنحن لا نعلم سوى كيفية اشتقاق هذه الدالة بالنسبة إلى ﺱ. نعرف بالفعل بعض الطرق المختلفة التي تمكننا من حساب تكامل الدوال. على سبيل المثال، قد نلجأ إلى استخدام التكامل بالتعويض. والتعويض الوحيد الذي قد يبدو منطقيًّا هو أن نجعل ﺱ يساوي ظا𝜃. لكن إذا فعلنا ذلك، فسنجد أن ﺩﺱ على ﺩ𝜃 هو مشتقة ظا𝜃 بالنسبة إلى 𝜃. ونعرف أن ذلك يساوي قتا تربيع 𝜃.
إذا استخدمنا هذا التعويض في التكامل المحدد، فسنحصل على الدالة العكسية لـ ظا لـ ظا𝜃 في قتا تربيع 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃. وبالطبع، الدالة العكسية لـ ظا لـ ظا𝜃 تساوي 𝜃؛ لذا سيكون علينا حساب تكامل 𝜃 في قتا تربيع 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃. يبدو هذا التكامل معقدًا للغاية. وقد نتمكن من حساب ذلك. لكن من السهل جدًّا الوقوع في أي خطأ. لذا، سنجرب إحدى القواعد الأخرى بدلًا من ذلك. سنحاول استخدام التكامل بالتجزيء.
لعلنا نتذكر أولًا أن التكامل بالتجزيء يوضح لنا أن تكامل ﻉ مضروبًا في ﻕ شرطة بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﻉ في ﻕ ناقص تكامل ﻕ في ﻉ شرطة بالنسبة إلى ﺱ. وهذا يعطينا طريقة لإيجاد تكامل حاصل ضرب ﻉ وﻕ شرطة بالنسبة إلى ﺱ. لكننا نلاحظ وجود مشكلتين. أولًا، الدالة التي سنجري عليها التكامل ليست حاصل ضرب دالتين. إنها الدالة العكسية لـ ظاﺱ فقط. ثانيًا، نحصل من هذا على تكامل غير محدد. نحن نريد حساب تكامل محدد. لذا، يبدو أنه لا يمكننا استخدام التكامل بالتجزيء لحل هذا السؤال. لكن يمكننا التغلب على هاتين المشكلتين باستخدام ما نعرفه عن التكامل.
دعونا نبدأ بالمشكلة الأولى، وهي أن الدالة التي سنجري عليها التكامل ليست حاصل ضرب دالتين. حسنًا، يمكننا حل هذه المشكلة ببساطة عن طريق كتابة هذا التكامل على صورة التكامل المحدد من صفر إلى واحد للدالة العكسية لـ ظاﺱ مضروبة في واحد بالنسبة إلى ﺱ. وبذلك، أصبحت الدالة التي سنجري عليها التكامل هي حاصل ضرب دالتين.
لكن ما تزال المشكلة الثانية قائمة. نحن بصدد حساب تكامل محدد. وفي الواقع، يمكننا حل هذه المشكلة باستخدام ما نعرفه عن التكاملات المحددة. أولًا، سنستخدم التكامل بالتجزيء مع التكامل غير المحدد فقط. وإذا نجحت طريقة التكامل بالتجزيء، فسنحصل على دالة، وهي ﻕﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. الأمر المهم هنا هو أن ﻕﺱ هي المشتقة العكسية للدالة العكسية لـ ظاﺱ. وإذا كان لدينا المشتقة العكسية للدالة، يمكننا حساب تكاملها المحدد. ومن ثم، فإن التكامل المحدد للدالة العكسية لـ ظاﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﻕﺱ ويتم حساب قيمتها عند حدي التكامل صفر وواحد.
نحن الآن مستعدون لحساب هذا التكامل باستخدام التكامل بالتجزيء. آخر شيء علينا فعله هو اختيار الدالتين ﻉ وﻕ شرطة. لسنا بحاجة إلى التفكير كثيرًا في هذه الحالة. إننا بالفعل لا نعلم تكامل الدالة العكسية لـ ظا ﺱ. ولذا، لا يمكننا اختيارها لتكون ﻕ شرطة. إذن، نختار الدالة العكسية لـ ظا ﺱ لتكون الدالة ﻉ. ونختار الدالة واحدًا لتكون ﻕ شرطة. وبهذا نكون قد انتهينا من تحديد أي الدالتين يكون ﻉ، وأيها يكون ﻕ شرطة.
بذلك، نكون قد افترضنا أن الدالة ﻉ تساوي الدالة العكسية لـ ظاﺱ والدالة ﻕ شرطة تساوي واحدًا. علينا الآن إيجاد مقدارين يعبران عن ﻉ شرطة وﻕ. دعونا نبدأ بـ ﻉ شرطة. وهي مشتقة الدالة العكسية لـ ظاﺱ بالنسبة إلى ﺱ. هذه إحدى نتائج مشتقات الدوال المثلثية العكسية القياسية التي علينا تذكرها جيدًا. وهي تساوي واحدًا مقسومًا على واحد زائد ﺱ تربيع. لإيجاد ﻕ بعد ذلك، فإننا نحتاج إلى المشتقة العكسية لواحد. ونعرف أنها تساوي ﺱ. يمكننا الآن استخدام المقادير التي تعبر عن ﻉ وﻕ وﻉ شرطة وﻕ شرطة لحساب التكامل بالتجزيء.
نحصل على الدالة العكسية لـ ظاﺱ مضروبة في ﺱ ناقص تكامل ﺱ في واحد على واحد زائد ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ. أول ما سنفعله هو تبسيط الدالة التي سنجري عليها التكامل لنحصل على ﺱ مقسومًا على واحد زائد ﺱ تربيع. ولإيجاد المشتقة العكسية التي سنستخدمها، علينا الآن حساب تكامل ﺱ مقسومًا على واحد زائد ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ. وأسهل طريقة لحساب هذا التكامل هي ملاحظة نمط معين. دعونا نفترض أن الدالة ﺩﺱ هي الدالة التي لدينا في المقام، وهي تساوي واحدًا زائد ﺱ تربيع.
إذن، إذا حسبنا ﺩ شرطة ﺱ، فسنحصل على اثنين ﺱ. ونلاحظ أن هذا هو البسط مضروبًا في عدد ثابت. ومن ثم، نحصل على صورة نعرفها. نحن نعلم أن تكامل ﺩ شرطة ﺱ مقسومًا على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺩﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. ليس لدينا هنا ﺩ شرطة ﺱ في البسط. لذا، سنضرب الدالة التي سنجري عليها التكامل في اثنين، ثم سنضرب التكامل بأكمله في نصف.
لدينا الآن تكامل ﺩ شرطة ﺱ مقسومًا على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. لذا، يمكننا استخدام هذه الصيغة. وباستخدامها، نحصل على ﺱ في الدالة العكسية لـ ظاﺱ ناقص نصف مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لواحد زائد ﺱ تربيع زائد ثابت التكامل ﺙ. لكن تذكر أننا نستخدم هذه الصيغة لإيجاد المشتقة العكسية التي سنستخدمها في حساب التكامل المحدد. لذا، لا نحتاج إلى ثابت التكامل.
يمكننا إذن حذف ثابت التكامل. أوجدنا الآن المشتقة العكسية للدالة العكسية لـ ظاﺱ. وبعد أن أوجدنا المشتقة العكسية، أصبحنا مستعدين أخيرًا لحساب التكامل من صفر إلى واحد للدالة العكسية لـ ظاﺱ بالنسبة إلى ﺱ. إنه يساوي ﺱ في الدالة العكسية لـ ظاﺱ ناقص نصف في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لواحد زائد ﺱ تربيع، ونحسب قيمة ذلك عند حدي التكامل ﺱ يساوي صفرًا وﺱ يساوي واحدًا.
بحساب ذلك عند حدي التكامل صفر وواحد، فإننا نحصل على واحد مضروبًا في الدالة العكسية لـ ظا واحد ناقص نصف مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لواحد زائد واحد تربيع ناقص صفر في الدالة العكسية لـ ظا صفر ناقص نصف مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لواحد زائد صفر تربيع. ويمكننا الآن البدء في حساب قيمة ذلك.
أولًا، نجد أن الحد الأول، وهو الدالة العكسية لـ ظا واحد، يساوي 𝜋 على أربعة. و𝜋 على أربعة مضروبًا في واحد يساوي 𝜋 على أربعة. إذن، الحد الأول هو 𝜋 على أربعة. في الحد الثاني، لدينا واحد زائد واحد تربيع يساوي اثنين. والقيمة المطلقة لاثنين تساوي اثنين. ومن ثم، يمكن تبسيط الحد الثاني لنحصل على سالب اللوغاريتم الطبيعي لاثنين الكل مقسومًا على اثنين. يتضمن الحد الثالث العامل صفر. ويتضمن الحد الرابع عاملًا وهو اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لواحد زائد صفر تربيع. ولكن هذا يساوي اللوغاريتم الطبيعي لواحد، ونحن نعرف أنه يساوي صفرًا. إذن، يحتوي الحد الرابع أيضًا على العامل صفر. ومن ثم، فإنه يساوي صفرًا.
يمكن تبسيط الناتج لنحصل على 𝜋 على أربعة ناقص اللوغاريتم الطبيعي لاثنين مقسومًا على اثنين. إذن، باستخدام التكامل بالتجزيء وما نعرفه عن التكاملات المحددة، نكون قد تمكنا من توضيح أن التكامل من صفر إلى واحد للدالة العكسية لـ ظاﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي 𝜋 على أربعة ناقص اللوغاريتم الطبيعي لاثنين مقسومًا على اثنين.
