فيديو الدرس: الأسس الكسرية الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نبسط الأسس الكسرية ونحول بين التعبيرات الأسية والجذرية.

١٨:٠٢

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نبسط الأسس الكسرية ونحاول إيجاد قيم الكسور والأعداد العشرية ذات الأسس الكسرية. دعونا نذكر أنفسنا بما تعنيه كتابة عدد بأس. لدينا هنا التعبير ثلاثة في ثلاثة، وهو مكتوب على الصورة ثلاثة تربيع. فالعدد ثلاثة الموجود في ثلاثة تربيع يسمى الأساس، والعدد اثنان هو الأس أو القوة لذلك العدد.

إذا نظرنا إلى العدد أربعة أس ثلاثة؛ فهذا يعني أننا سنكتب العدد أربعة مضروبًا في نفسه ثلاث مرات. عند التعامل مع الأسس، علينا استخدام قاعدة جمع الأسس. على سبيل المثال، إذا كان لدينا ثلاثة أس أربعة مضروبًا في ثلاثة أس خمسة، فإننا سنكتب ثلاثة أس أربعة على الصورة ثلاثة مضروبًا في نفسه أربع مرات. وسنكتب ثلاثة أس خمسة على الصورة ثلاثة مضروبًا في نفسه خمس مرات.

ومن ثم، عندما نضرب هاتين القيمتين معًا، يصبح لدينا العدد ثلاثة مضروبًا في نفسه تسع مرات. إذن، ناتج هذه القيم المضروبة هو ثلاثة أس تسعة. يمكن تلخيص ذلك بالقاعدة ﺱ أس ﺃ مضروبًا في ﺱ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ زائد ﺏ.

في هذا المثال، كان لدينا ثلاثة أس أربعة في ثلاثة أس خمسة. وعند جمع هذين الأسين، يصبح لدينا تسعة. وبذلك نكون قد حصلنا على الإجابة ثلاثة أس تسعة.

لكن ماذا يحدث إذن عندما تكون لدينا مسألة مثل تسعة أس نصف في تسعة أس نصف؟ حسنًا، باستخدام قاعدة جمع الأسس، يمكننا كتابة ذلك على الصورة تسعة أس نصف زائد نصف، ما يساوي تسعة أس واحد. وهذا بدوره يساوي تسعة. هذا يعني أن العدد تسعة أس نصف مضروبًا في نفسه لا بد أن يساوي تسعة.

القيمة التي يمكن أن تساوي ذلك ستكون ثلاثة مضروبًا في ثلاثة، أو بعبارة أخرى الجذر التربيعي لتسعة. إذن، تسعة أس نصف يساوي الجذر التربيعي لتسعة.

دعونا نلق نظرة على مثال آخر؛ وهو إيجاد قيمة ٢٧ أس ثلث في ٢٧ أس ثلث في ٢٧ أس ثلث. يمكننا هنا استخدام قاعدة جمع الأسس، التي توضح أن علينا جمع الأسس معًا؛ ما يعطينا ٢٧ أس ثلث زائد ثلث زائد ثلث. وهو ما يساوي ٢٧ أس واحد؛ أي ٢٧. إذن، العدد المضروب في نفسه ثم في نفسه مجددًا ليعطينا ٢٧ لا بد أن يكون الجذر التكعيبي لـ ٢٧، وهو ثلاثة؛ وذلك لأن ثلاثة في ثلاثة في ثلاثة يساوي ٢٧.

من ذلك، يمكننا ملاحظة أن هناك طريقة أخرى لكتابة العدد ٢٧ أس ثلث، وهي الجذر التكعيبي لـ ٢٧. وفي الواقع، القاعدة العامة تنص على أنه إذا كانت لدينا قيمة مكتوبة على الصورة ﺱ أس واحد على ﺃ، فإنها تساوي الجذر ﺃ لـ ﺱ. إذن، سنستخدم الآن هذه القاعدة العامة لإيجاد قيمة عدد مكتوب بأس كسري.

احسب ٦٤ أس ثلث.

للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نستخدم القاعدة التي تنص على أنه إذا كانت لدينا القيمة ﺱ أس واحد على ﺃ، فإنها تساوي الجذر ﺃ لـ ﺱ. حسنًا، يمكننا كتابة القيمة ٦٤ أس ثلث في صورة الجذر التكعيبي لـ ٦٤. بإمكاننا التحقق من صحة ذلك بكتابة ٦٤ أس ثلث في ٦٤ أس ثلث في ٦٤ أس ثلث على الصورة ٦٤ أس واحد. ويمكننا فعل ذلك لأننا نستخدم قاعدة الأسس التي تنص على أنه عند ضرب قيم مكتوبة على الصورة الأسية، فإننا نجمع الأسس. في هذا المثال، الأسس أو القوى ثلث زائد ثلث زائد ثلث تساوي واحدًا.

وبالتالي، فإن هذه القيمة، التي يمكننا ضربها في نفسها ثم في نفسها مرة أخرى لنحصل على ٦٤، يجب أن تساوي الجذر التكعيبي لـ ٦٤. فما الجذر التكعيبي لـ ٦٤؟ حسنًا، إنه أربعة، لأن أربعة في أربعة في أربعة يساوي ٦٤. إذن، ٦٤ أس ثلث يساوي أربعة.

دعونا الآن نلق نظرة على عدد مكتوب بأس كسري والبسط فيه لا يساوي واحدًا. وهذا يجعل الأمر أكثر صعوبة. لحساب ذلك، سنستخدم القاعدة التي ذكرناها سابقًا؛ وهي أنه لضرب الأعداد المكتوبة على الصورة الأسية، نجمع الأسس. يمكننا هنا استخدام هذه الصيغة، لكن بصورة تبدو معكوسة. سنبدأ بالعدد ٢٧ أس ثلثين، ثم نقسمه إلى عددين؛ وهما ٢٧ أس ثلث و٢٧ أس ثلث.

وفي الحقيقة، إذا أردنا أن نكون دقيقين جدًا من الناحية الرياضية، فيمكننا كتابة كل منهما باستخدام الأس ﺃ لأن القيمتين هنا متساويتين. والآن نحن نعلم أنه يمكننا كتابة ٢٧ أس ثلث في صورة الجذر التكعيبي لـ ٢٧. إذن، لدينا الجذر التكعيبي لـ ٢٧ مضروبًا في الجذر التكعيبي لـ ٢٧. وهذا أيضًا يساوي الجذر التكعيبي لـ ٢٧ تربيع.

هل لاحظت علاقة هذا التعبير بالسؤال الأصلي؟ حسنًا، إذا أخذنا القيمة ﺱ أس ﺃ على ﺏ، فسنجد أنها تساوي الجذر ﺏ لـ ﺱ الكل أس ﺃ. وهي أيضًا تساوي الجذر ﺏ لـ ﺱ أس ﺃ. إذا لم تتمكن من ملاحظة الفرق بينهما، فإننا في الحالة الأولى سنوجد الجذر ﺏ لـ ﺱ أولًا، ثم نكتب الناتج مرفوعًا للقوة ﺃ. لكن في الحالة الثانية، سنوجد ﺱ أس ﺃ، ثم نحسب الجذر ﺏ لهذا الناتج.

وبما أن العددين متساويان، فلا يهم الصورة التي نستخدمها. لكن في أغلب الأحيان تكون الصورة الأولى أبسط؛ لأننا في هذه الحالة، نوجد الجذر أولًا، أي الجذر ﺏ، الذي يعطينا عددًا أصغر، ثم نرفعه إلى القوة ﺃ. وبالنظر إلى هذا السؤال، يمكننا القول إن الجذر التكعيبي لـ ٢٧ تربيع يكافئ إيجاد مربع العدد ٢٧ ثم حساب الجذر التكعيبي له.

في الصورة الأولى، نوجد الجذر التكعيبي للعدد ٢٧ أولًا، وهو ما يساوي ثلاثة، ثم نقوم بتربيع هذا العدد، ما يعطينا الناتج تسعة. في الصورة الثانية، علينا تربيع العدد ٢٧ أولًا، ما يساوي ٧٢٩، ثم إيجاد الجذر التكعيبي لهذا الناتج، وهو تسعة. إذن في كلتا الصورتين، حصلنا على القيمة نفسها وهي تسعة. لكن في الصورة الأولى، حيث أوجدنا الجذر التكعيبي أولًا، كانت خطوات الحل أقل.

دعونا نلق نظرة إذن على سؤال نستخدم فيه هذه القاعدة الخاصة بالأسس الكسرية. وبالطبع، يمكنك إيقاف الفيديو مؤقتًا بعد أن ترى السؤال لتحاول حله بنفسك أولًا.

احسب ١٦ أس ثلاثة أرباع.

لدينا هنا عدد مكتوب بأس كسري، وهو ثلاثة أرباع. يمكننا استخدام القاعدة التي تنص على أنه إذا كان لدينا ﺱ أس ﺃ على ﺏ، فإن هذا يساوي الجذر ﺏ لـ ﺱ أس ﺃ. لذا، سنبدأ من الأساس ١٦، ونوجد الجذر الرابع. ثم نرفع المقدار كله إلى القوة ثلاثة. نبدأ بإيجاد الجذر الرابع، حيث يمكننا القول إن الجذر الرابع للعدد ١٦ يساوي اثنين؛ لأن اثنين في اثنين في اثنين في اثنين يساوي ١٦. بعد ذلك، علينا رفع العدد إلى القوة ثلاثة. وعليه، اثنان في اثنين في اثنين يساوي ثمانية. إذن، ١٦ أس ثلاثة أرباع يساوي ثمانية.

احسب ٣١٢٥ أس ثلاثة أخماس.

للإجابة عن هذا السؤال، سنستخدم القاعدة التي تنص على أن ﺱ أس ﺃ على ﺏ يساوي الجذر ﺏ لـ ﺱ أس ﺃ. في الأس الكسري، يكون العدد الموجود في البسط هو القوة. إذن، سنرفع المقدار إلى القوة ثلاثة. والمقام هو الجذر، لذا سنوجد الجذر الخامس.

حسنًا، سنبدأ بإيجاد الجذر الخامس للعدد ٣١٢٥، ثم نرفع القيمة إلى القوة ثلاثة. نبدأ بالجذر الخامس لـ ٣١٢٥، وهو يساوي خمسة؛ لأن خمسة في خمسة في خمسة في خمسة في خمسة يساوي ٣١٢٥. بعد ذلك، نرفع العدد خمسة إلى القوة ثلاثة؛ ما يعني أننا نوجد قيمة خمسة في خمسة في خمسة. خمسة في خمسة يساوي ٢٥، في خمسة يعطينا ١٢٥. إذن، ٣١٢٥ أس ثلاثة أخماس يساوي ١٢٥.

في المثال التالي، سنتناول كسرًا مكتوبًا بأس كسري.

أوجد قيمة ١٢٥ على ٣٤٣ أس ثلثين.

أول ما نلاحظه هنا هو أن الكسر ثلثين أس أو قوة. ولا يعني ذلك أننا سنضربه في الكسر ١٢٥ على ٣٤٣. في البداية، دعونا نأخذ أس هذا الكسر ونكتبه في صورة أس للبسط وأس للمقام. بعبارة أخرى، يمكننا استخدام القاعدة التي تنص على أنه إذا كان لدينا الكسر ﺱ على ﺹ الكل أس ﺃ، فإنه يساوي ﺱ أس ﺃ على ﺹ أس ﺃ. إذن، بالنسبة إلى هذه القيمة، يمكننا كتابة البسط في صورة ١٢٥ أس ثلثين، والمقام في صورة ٣٤٣ أس ثلثين.

والآن، سنبسط هذين الأسين الكسريين اللذين قيمتهما ثلثان. تذكر أنه إذا كانت لدينا القيمة ﺱ أس ﺃ على ﺏ، فإنها تساوي الجذر ﺏ لـ ﺱ أس ﺃ. وبالتالي، نجد في البسط أن ١٢٥ أس ثلثين يساوي الجذر التكعيبي لـ ١٢٥ تربيع. والمقام لدينا يساوي الجذر التكعيبي لـ ٣٤٣ تربيع.

يمكننا هنا ملاحظة أن البسط يكافئ تربيع ١٢٥ أولًا، ثم حساب الجذر التكعيبي. وبالمثل، يمكننا في المقام تربيع ٣٤٣ أولًا، ثم حساب الجذر التكعيبي. لكن في الصورة الثانية المكتوبة باللون البرتقالي، سيكون لدينا أعداد أكبر. ذلك لأننا نقوم بتربيع ١٢٥ أولًا، ثم نحاول إيجاد الجذر التكعيبي للقيمة الناتجة. في حين أنه إذا بدأنا بحساب الجذر التكعيبي أولًا ثم تربيعه، فلن تصبح لدينا قيم كبيرة.

لذا، فإن الجذر التكعيبي للعدد ١٢٥ يساوي خمسة. وبما أنه علينا تربيع هذا العدد بعد ذلك، فسيصبح لدينا خمسة تربيع في البسط. وفي المقام، الجذر التكعيبي للعدد ٣٤٣ يساوي سبعة؛ لأن سبعة في سبعة في سبعة يساوي ٣٤٣. بعد ذلك، علينا تربيع هذه القيمة. وبإيجاد قيمتي المربعين، نحصل على الإجابة النهائية وهي ٢٥ على ٤٩.

في المثال الأخير، سنرى عددًا عشريًا مكتوبًا بأس عشري. لحل هذا المثال، سنحول العددين العشريين إلى كسرين.

أوجد قيمة ٠٫٠٦٢٥ أس ٠٫٢٥.

الطريقة التي سنتبعها هنا لإيجاد قيمة ذلك هي كتابة كل من العددين العشريين، الأساس والأس، في صورة كسور. إذن، ٠٫٠٦٢٥ يساوي ٦٢٥ على ١٠٠٠٠، والأس ٠٫٢٥ يساوي ربعًا. يمكننا بعد ذلك تطبيق بعض قواعد الأسس.

القاعدة الأولى التي سنستخدمها هي أنه إذا كان لدينا كسر على الصورة ﺱ على ﺹ أس ﺃ، فإن هذا يساوي ﺱ أس ﺃ على ﺹ أس ﺃ. إذن، هذا الكسر يساوي ٦٢٥ أس ربع على ١٠٠٠٠ أس ربع.

والآن سنفكر فيما تعنيه القوة ربع. يمكننا استخدام القاعدة الثانية لمساعدتنا هنا، وهي تنص على أنه إذا كانت لدينا القيمة ﺱ أس واحد على ﺃ، فإنها تساوي الجذر ﺃ لـ ﺱ. إذن، الأس الكسري ربع يساوي الجذر الرابع.

إذن، في البسط، لدينا الجذر الرابع للعدد ٦٢٥. وفي المقام، لدينا الجذر الرابع للعدد ١٠٠٠٠. إيجاد قيمة الجذر الرابع لـ ٦٢٥ يعطينا خمسة؛ لأننا إذا كتبنا العدد خمسة مضروبًا في نفسه أربع مرات، فسنحصل على ٦٢٥. والجذر الرابع لـ ١٠٠٠٠ يساوي ١٠، لأنه مرة أخرى إذا كتبنا العدد ١٠ مضروبًا في نفسه أربع مرات، فسنحصل على ١٠٠٠٠. يمكننا بعد ذلك تبسيط الكسر خمسة أعشار، لنحصل على الناتج النهائي نصف.

دعونا نلخص الآن بعض النقاط التي تعلمناها في هذا الفيديو. في البداية، راجعنا كيفية كتابة الأعداد على الصورة الأسية، على سبيل المثال ثلاثة تربيع. في هذه الحالة، ثلاثة هو الأساس، واثنان هو الأس أو القوة. كما تذكرنا قاعدة ضرب الأعداد المكتوبة على الصورة الأسية واستخدمناها، وهي ﺱ أس ﺃ مضروبًا في ﺱ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ زائد ﺏ.

واستعرضنا القاعدة التي تنص على أن ﺱ أس واحد على ﺃ يساوي الجذر ﺃ لـ ﺱ. على سبيل المثال، لاحظنا كيف أن تسعة أس نصف يساوي الجذر التربيعي لتسعة، وكيف أن ٢٧ أس ثلث يساوي الجذر التكعيبي لـ ٢٧. واستعرضنا بعد ذلك قاعدة أخرى أوسع نطاقًا تنص على أن ﺱ أس ﺃ على ﺏ يساوي الجذر ﺏ لـ ﺱ أس ﺃ. واستخدمنا هذه القاعدة لمساعدتنا في حل المسألة ١٦ أس ثلاثة أرباع، لنجد أن هذه القيمة تساوي ثمانية.

بعد ذلك، استخدمنا القاعدة التي تنص على أنه إذا كان لدينا ﺱ على ﺹ أس ﺃ على ﺏ، فيمكننا كتابة ذلك على الصورة ﺱ أس ﺃ على ﺏ على ﺹ أس ﺃ على ﺏ. لاحظنا أيضًا أنه يمكننا إيجاد قيمة عدد مكتوب بأساس عشري و/أو أس عشري عن طريق تحويل الأعداد العشرية إلى كسور. وقد رأينا هذا في المسألة الأخيرة، حيث حولنا ٠٫٠٦٢٥ أس ٠٫٢٥ إلى ٦٢٥ على ١٠٠٠٠ أس ربع. واستطعنا بعد ذلك استكمال الحل.

بذلك، نكون قد عرفنا كيف نوجد قيمة عدد مكتوب بأس كسري. حان الوقت الآن لحل بعض الأسئلة بنفسك.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.