فيديو الدرس: تطبيقات على قانون نيوتن الثاني: البكرة المائلة الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل مسائل عن حركة جسمين متصلين بواسطة خيط يمر على بكرة ملساء، حيث يقع أحدهما على مستوى مائل.

١٨:٠٧

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل مسائل عن حركة جسمين متصلين بواسطة خيط يمر على بكرة ملساء، حيث يقع أحدهما على مستوى مائل. وسوف نتدرب على بعض المسائل التي يكون فيها المستوى أملس أو خشنًا. للبدء في هذا الفيديو، سنسترجع قانون نيوتن الثاني للحركة.

ينص قانون نيوتن الثاني أن محصلة القوى المؤثرة على جسم ما تساوي كتلته مضروبة في عجلته. في هذا الفيديو، سنتعامل مع كميات قياسية ونستخدم المعادلة ﻕ تساوي ﻙﺟ، حيث ﻕ هي محصلة القوى وﻙ هي الكتلة وﺟ هي العجلة. سنقيس العجلة بالمتر لكل ثانية مربعة. ونقيس الكتلة بالكيلوجرام. وبضربهما، نحصل على كيلوجرام متر لكل ثانية مربعة. واحد كيلوجرام متر لكل ثانية مربعة يساوي واحد نيوتن. وهذه هي الوحدة التي سنستخدمها لقياس القوى.

سنفكر الآن في شكل المسألة عندما يكون المستوى أملس. سيكون لدينا جسمان ﺃ وﺏ متصلان بعضهما ببعض بخيط خفيف غير مرن يمر على بكرة ملساء. ويعني هذا أن الشد سيكون متساويًا على طول الخيط. وسيؤثر كل جسم بقوة مقدارها يساوي وزنه في الاتجاه الرأسي لأسفل. هذا الوزن يساوي كتلة الجسم مضروبة في الجاذبية. كما ستوجد أيضًا قوة رد فعل عمودي على المستوى. وبما أن المستوى أملس، فلن تؤثر عليه قوة احتكاك.

بما أن الخيط غير مرن، فسيتحرك النظام بعجلة منتظمة عند تركه. وسنستخدم قانون نيوتن الثاني لنحلل مركبات القوى بالنسبة إلى الجسم ﺃ والجسم ﺏ. بالنسبة إلى الجسم ﺏ، سوف نحلل القوى المؤثرة إلى مركبات في الاتجاه الرأسي. وبالنسبة إلى الجسم ﺃ، سوف نحلل القوى المؤثرة إلى مركبات في اتجاه مواز للمستوى. ولفعل ذلك علينا معرفة زاوية الميل، وهي هنا الزاوية 𝛼. باستخدام ما نعرفه عن حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية، سيمكننا تحديد مركبتي وزن الجسم ﺃ الموازية للمستوى والعمودية عليه. فالقوة المؤثرة في الاتجاه الموازي للمستوى تساوي ﻙ واحد ﺩ مضروبًا في ‎جا 𝛼، والقوة العمودية على المستوى تساوي ﻙ واحد ﺩ مضروبًا في ‎جتا 𝛼.

إذا كان الجسم ﺏ يتحرك بعجلة لأسفل، مع اعتبار هذا الاتجاه الموجب، فإن محصلة القوى ستساوي ﻙ اثنين ﺩ ناقص ﺵ. وسيساوي هذا كتلة الجسم ﺏ مضروبة في العجلة. الجسم ﺃ يتحرك لأعلى المستوى. وإذا كان هذا الاتجاه موجبًا، فإن مجموع القوتين المؤثرتين في اتجاه مواز مع المستوى سيساوي ﺵ ناقص ‎ﻙ واحد ﺩ جا 𝛼. وهو ما يساوي كتلة الجسم ﺃ مضروبة في العجلة.

ينتج لنا من هذا معادلتين آنيتين يمكننا حلهما لإيجاد أي قيم مجهولة. سنتناول الآن مثالين.

يرتكز جسم كتلته خمسة كيلوجرامات على مستوى أملس يميل على الأفقي بزاوية قياسها ٣٥ درجة. ومربوط بخيط خفيف غير مرن يمر فوق بكرة ملساء مثبتة في أعلى قمة المستوى في جسم آخر كتلته ١٩ كيلوجرامًا معلق بحرية رأسيًا أسفل البكرة. أوجد عجلة النظام، علمًا بأن عجلة الجاذبية الأرضية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

سنبدأ برسم النظام. تخبرنا المسألة أن المستوى الأملس يميل بزاوية ٣٥ درجة. وكتلتا الجسمين هما خمسة كيلوجرامات و١٩ كيلوجرامًا. ويعني هذا أنهما سيؤثران بقوتين رأسيتين لأسفل مقدارهما خمسة ﺩ و‎١٩ ﺩ، على الترتيب، حيث الجاذبية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

نعلم أن البكرة ملساء وأن الخيط خفيف وغير مرن. ويعني هذا أن الشد سيكون متساويًا على طول الخيط. عند ترك النظام، سيكون مقدار العجلة ثابتًا أيضًا. وبما أن المستوى أملس، فلن توجد قوة احتكاك. لحل هذه المسألة، سنستخدم قانون نيوتن الثاني الذي ينص على أن محصلة القوى تساوي الكتلة مضروبة في العجلة. بالنسبة إلى الجسم الموضوع على المستوى، سوف نحلل القوى المؤثرة إلى مركبات موازية للمستوى. وبالنسبة إلى الجسم المعلق بحرية، سوف نحلل القوى المؤثرة إلى مركبات في الاتجاه الرأسي.

القوة خمسة ﺩ ليست موازية للمستوى ولا عمودية عليه. إذن، علينا حساب هاتين المركبتين. باستخدام ما نعرفه عن حساب المثلثات للمثلث قائم الزاوية، نستنتج أن المركبة العمودية على المستوى تساوي خمسة ﺩ مضروبًا في جتا ٣٥ درجة والمركبة الموازية له تساوي خمسة ﺩ مضروبًا في جا ٣٥ درجة.

يتحرك الجسم ﺃ لأعلى المستوى. إذا افترضنا أن هذا هو الاتجاه الموجب، فإن مجموع القوتين المؤثرتين عليه يساوي ﺵ ناقص خمسة ﺩ مضروبًا في جا ٣٥. وهو ما يساوي خمسة ﺟ لأن كتلة الجسم خمسة كيلوجرامات. وبما أن الجسم ﺏ يتحرك بعجلة لأسفل، فإن مجموع القوتين المؤثرتين يساوي ‎‎١٩ ﺩ ناقص ﺵ. وهو ما يساوي ‎١٩ﺟ. لدينا الآن معادلتان آنيتان يمكننا حلهما لإيجاد عجلة النظام. بجمع المعادلة واحد مع المعادلة اثنين، سيحذف الشد ﺵ.

يصبح الطرف الأيمن ‎‎١٩ ﺩ ناقص خمسة ﺩ مضروبًا في جا ٣٥ درجة. ويصبح الطرف الأيسر ‎‎٢٤ﺟ. يمكننا إذن قسمة طرفي هذه المعادلة على ٢٤. وبكتابة هذا على الآلة الحاسبة، نجد أن قيمة ﺟ تساوي ٦٫٥٨٧٢ وهكذا مع توالي الأرقام. بتقريب هذا الناتج لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على ٦٫٥٩ متر لكل ثانية مربعة. يمكننا التعويض بهذه القيمة في المعادلة واحد أو المعادلة اثنين لحساب مقدار الشد ﺵ. لكن هذا ليس مطلوبًا في هذه المسألة.

سنتناول الآن ما يحدث عندما يكون السطح خشنًا. تذكر أننا في الشكل السابق الذي يتضمن مستوى أملس استخدمنا قانون نيوتن الثاني لتكوين معادلتين. وحللنا القوى المؤثرة على الجسم المعلق بحرية إلى مركبات رأسية، والقوى المؤثرة على الجسم الموضوع على المستوى المائل إلى مركبات موازية للمستوى. لنعرف الآن ما يحدث عندما يكون المستوى خشنًا.

عندما يتحرك الجسم ﺃ بعجلة إلى أعلى المستوى، ستوجد قوة احتكاك تؤثر لأسفل في اتجاه مواز للمستوى. ويعني هذا أن لدينا قوة شد مؤثرة في الاتجاه الموجب وقوتين مؤثرتين في الاتجاه السالب. إذن، محصلة القوى الموازية للمستوى تساوي ﺵ ناقص ﻙ واحد ﺩ مضروبًا في جا 𝛼 ناقص قوة الاحتكاك ﺣﻙ. ويساوي هذا الكتلة مضروبة في العجلة.

نعلم أن قوة الاحتكاك تساوي ﻡﻙ، وهو معامل الاحتكاك، مضروبًا في قوة رد الفعل العمودي ﺭ، حيث ﻡﻙ ثابت يقع بين صفر وواحد متضمنًا العددين. إذا حللنا القوى إلى مركبات عمودية على المستوى، فسنجد أن محصلة القوى تساوي ﺭ ناقص ﻙ واحد ﺩ مضروبًا في جتا 𝛼. لكن الجسم لا يتحرك في هذا الاتجاه. إذن، العجلة تساوي صفرًا. ‏‏ﺭ ناقص ﻙ واحد ﺩ مضروبًا في جتا 𝛼 يساوي صفرًا.

يمكن إعادة كتابة هذا بالصورة ﺭ يساوي ﻙ ﺩ مضروبًا في جتا 𝛼. عند حل مسائل تتضمن حركة على مستوى خشن، يمكننا استخدام المعادلات الثلاث لحساب أي قيم مجهولة، بالإضافة إلى الصيغة التي تربط بين قوة الاحتكاك وقوة رد الفعل العمودي. سنتناول الآن مثالًا على هذا النوع.

جسم ﺃ كتلته ٢٤٠ جرامًا يرتكز على مستوى خشن يميل على الأفقي بزاوية جيبها ثلاثة أخماس. ربط الجسم بجسم آخر ﺏ كتلته ٣٠٠ جرام بواسطة خيط خفيف غير مرن يمر على بكرة ملساء مثبتة عند أعلى المستوى. إذا تحرك النظام من السكون وتحرك الجسم ﺏ لأسفل مسافة ١٩٦ سنتيمترًا في ثلاث ثوان، فأوجد معامل الاحتكاك بين الجسم والمستوى. اعلم‎ أن ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

نبدأ برسم النظام. نعلم من المعطيات أن جيب الزاوية 𝛼 يساوي ثلاثة أخماس. وباستخدام ما نعرفه عن حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية وثلاثية فيثاغورس لمثلث أطوال أضلاعه ثلاثة وأربعة وخمسة، نستنتج أن جيب تمام الزاوية 𝛼، أو جتا 𝛼، يساوي أربعة أخماس. كتلة الجسمين معطاة لنا بالجرام. ونعرف أنه يوجد ١٠٠٠ جرام في الكيلوجرام الواحد. وبذلك، فإن ٢٤٠ جرامًا يساوي ٠٫٢٤ كيلوجرام. أي إننا قسمنا القيمة بالجرام على ١٠٠٠.

يؤثر الجسم ﺃ بقوة مقدارها ٠٫٢٤ ﺩ في الاتجاه الرأسي لأسفل، حيث ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة. كتلة الجسم ﺏ تساوي ٣٠٠ جرام، أي ٠٫٣ كيلوجرام. ومن ثم، يؤثر هذا الجسم بقوة لأسفل مقدارها ٠٫٣ مضروبًا في ﺩ.

لدينا خيط خفيف غير مرن يمر فوق بكرة ملساء. ويعني هذا أن مقدار الشد سيكون متساويًا على طول الخيط. كما يعني أيضًا أنه عند ترك النظام، سيتحرك بعجلة منتظمة. يؤثر الجسم ﺃ بقوة رد فعل عمودي على المستوى. وبما أن المستوى نفسه خشن، فستوجد قوة احتكاك تؤثر أسفل المستوى.

سنستخدم الآن قانون نيوتن الثاني، الذي ينص أن محصلة القوى تساوي الكتلة مضروبة في العجلة، لتحليل القوى المؤثرة على الجسم ﺃ إلى مركبات موازية للمستوى وعمودية عليه، وتحليل الجسم ﺏ إلى مركبات رأسية. يؤثر وزن الجسم ﺃ بقوة في الاتجاه الرأسي لأسفل. ومن ثم، علينا إيجاد مركبتيه الموازية للمستوى والعمودية عليه. مرة أخرى، باستخدام ما نعرفه عن حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية، نحصل على قوة تساوي ٠٫٢٤ ﺩ مضروبًا في ‎جتا 𝛼 عمودية على المستوى و٠٫٢٤ ﺩ مضروبًا في جا 𝛼 موازية للمستوى.

توجد ثلاث قوى تؤثر على ﺃ بالتوازي مع المستوى: قوة الشد وقوة الاحتكاك ومركبة الوزن هذه. ويعطينا هذا المعادلة ﺵ ناقص ٠٫٢٤ ﺩ مضروبًا في ‎جا 𝛼 ناقص قوة الاحتكاك ‎ﺣﻙ تساوي ٠٫٢٤ﺟ. وبالنسبة إلى الاتجاه العمودي على المستوى، محصلة القوى تساوي ﺭ ناقص ٠٫٢٤ ﺩ مضروبًا في جتا 𝛼. ولكن الجسم لا يتحرك في هذا الاتجاه. إذن، هذا يساوي صفرًا.

بإعادة ترتيب المعادلة، نجد أن قوة رد الفعل العمودي ﺭ تساوي ﺟ مضروبًا في جتا 𝛼. وأخيرًا، بتحليل المركبات الرأسية للقوى المؤثرة على الجسم ﺏ، حيث الاتجاه لأسفل هو الموجب، ينتج لنا ‎٠٫٣ ﺩ ناقص ﺵ يساوي ‎‎٠٫٣ﺟ. يمكننا الآن التعويض بقيمتي ‎جا 𝛼 وجتا 𝛼. ويعني هذا أن قوة رد الفعل العمودي تساوي ١١٧٦ على ٦٢٥. و‎٠٫٢٤ ﺩ‎ مضروبًا في جا 𝛼 يساوي ٨٨٢ على ٦٢٥.

خطوتنا التالية هي حساب عجلة النظام إذا تحرك الجسم ﺏ لمسافة ١٩٦ سنتيمترًا لأسفل في ثلاث ثوان. وللقيام بذلك سنستخدم معادلات الحركة بعجلة ثابتة. إزاحة الجسم تساوي ١٩٦ سنتيمترًا. وهو ما يساوي ١٫٩٦ مترًا، حيث يوجد ١٠٠ سنتيمتر في المتر الواحد. بدأ الجسم حركته من السكون؛ ومن ثم فإن السرعة الابتدائية تساوي صفر متر لكل ثانية. علينا حساب العجلة علمًا بأن الزمن هو ثلاث ثوان.

يعني هذا أنه يمكننا استخدام المعادلة ﻑ تساوي ﻉ صفر ﻥ زائد نصف ‎ﺟﻥ تربيع. بالتعويض بالقيم التي لدينا، نحصل على ١٫٩٦ يساوي صفرًا مضروبًا في ثلاثة زائد نصف مضروبًا في ﺟ مضروبًا في ثلاثة تربيع. نبسط الطرف الأيسر إلى ‎٤٫٥ﺟ. بقسمة الطرفين على ٤٫٥، نجد أن ﺟ تساوي ٩٨ على ٢٢٥. إذن، عجلة النظام تساوي ٩٨ على ٢٢٥ مترًا لكل ثانية مربعة. يمكننا الآن التعويض بهذه القيمة في المعادلتين.

لدينا الآن مجهولان: الشد ﺵ وقوة الاحتكاك ﺣﻙ. نعلم أن قوة رد الفعل العمودي تساوي ١١٧٦ على ٦٢٥ نيوتن. بإضافة ﺵ وطرح ٤٩ على ٣٧٥ من طرفي المعادلة الأخيرة، يمكننا حساب قوة الشد ﺵ. ويعطينا هذا قيمة ﺵ تساوي ٢١٠٧ على ٧٥٠ نيوتن. يمكننا الآن التعويض بذلك في المعادلة الأولى. وبإعادة ترتيب هذه المعادلة، نجد قوة الاحتكاك ﺣﻙ تساوي ١٦١٧ على ١٢٥٠ نيوتن.

علينا الآن حساب معامل الاحتكاك. نعرف أن قوة الاحتكاك تساوي معامل الاحتكاك مضروبًا في قوة رد الفعل العمودي. ويعني هذا أن معامل الاحتكاك ﻡﻙ يساوي ‎ﺣﻙ مقسومًا على ﺭ. وبكتابة هذا على الآلة الحاسبة، نحصل على معامل الاحتكاك ﻡﻙ يساوي ١١ على ١٦.

سنلخص الآن النقاط الأساسية في هذا الفيديو. لحل المسائل التي تتضمن وجود بكرات على مستوى مائل، استخدمنا قانون نيوتن الثاني، ﻕ تساوي ﻙﺟ. وحللنا القوى إلى مركبات رأسية وموازية للمستوى وعمودية عليه. إذا كان المستوى خشنًا، فستوجد قوة احتكاك ‎ﺣﻙ تؤثر في عكس اتجاه الحركة، وقوة الاحتكاك هذه تساوي معامل الاحتكاك ﻡﻙ مضروبًا في قوة رد الفعل العمودي ﺭ. يمكننا أيضًا استخدام معادلات الحركة بعجلة ثابتة لحساب القيم المجهولة ومساعدتنا في حل المسائل من هذا النوع.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.