فيديو الدرس: الضرب الثلاثي القياسي الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب حاصل الضرب الثلاثي القياسي ونستخدمه في التطبيقات الهندسية.

٢٠:١٥

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب حاصل الضرب الثلاثي القياسي ونستخدمه في التطبيقات الهندسية.

الضرب الثلاثي القياسي، والذي يطلق عليه أحيانًا الضرب المختلط أو الضرب العددي الثلاثي، هو حاصل الضرب القياسي لمتجه في حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين آخرين. لا بد أن تكون على دراية بالفعل بالضرب القياسي والاتجاهي للمتجهات. يعرف حاصل الضرب الثلاثي القياسي لثلاثة متجهات ﺃ وﺏ وﺟ بأنه حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ في حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺏ وﺟ.

إذا قسمنا ذلك، فإننا نعلم أن ناتج حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺏ وﺟ هو متجه آخر. دعونا نطلق على ذلك ﺩ. إذا أخذنا بعد ذلك حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ في المتجه ﺩ، فإننا نعلم أن الضرب القياسي تنتج عنه كمية قياسية. دعونا نطلق على ذلك 𝜆. إذن، حاصل الضرب الثلاثي القياسي هو في الواقع كمية قياسية، ومن هنا يأتي اسم حاصل الضرب الثلاثي القياسي. من المهم ملاحظة أننا لا نحتاج إلى أقواس؛ حيث إننا إذا حاولنا حساب حاصل الضرب القياسي لـ ﺃ في ﺏ أولًا، فهذا سيعطينا كمية قياسية. وسيصبح لدينا بعد ذلك ضرب اتجاهي لكمية قياسية في متجه، وهو ما لا يمكننا فعله؛ لأنه لا يمكن ضرب كمية قياسية في متجه.

ومن ثم، يكون حاصل الضرب الثلاثي القياسي هو حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ في حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺏ وﺟ. دعونا الآن نعرف شكل حاصل الضرب الثلاثي القياسي على الصورة الإحداثية. إذا كانت ﺱ وﺹ وﻉ هي متجهات الوحدة في الاتجاهات ﺱ وﺹ وﻉ، فإن المتجهات الثلاثة تكتب على الصورة الإحداثية كما هو موضح. وإذا كتبنا حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺏ وﺟ على الصورة الإحداثية، يصبح لدينا ﺏ ضرب اتجاهي ﺟ يساوي ﺏ ﺹ ﺟ ﻉ ناقص ﺏ ﻉ ﺟ ﺹ في ﺱ ناقص ﺏ في ﺏ ﺱ ﺟ ﻉ ناقص ﺏ ﻉ ﺟ ﺱ في ﺹ زائد ﺏ ﺱ ﺟ ﺹ ناقص ﺏ ﺹ ﺟ ﺱ في ﻉ. والآن إذا حسبنا الضرب القياسي للمتجه ﺃ في هذا، أي نضرب معاملات كل متجه من متجهات الوحدة معًا، فإننا نحصل على سبيل المثال في الحد الأول على ﺃ ﺱ في ﺏ ﺹ ﺟ ﻉ ناقص ﺏ ﻉ ﺟ ﺹ.

لكن بماذا يذكرنا ذلك؟ حسنًا، تذكر أن محدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين وعناصرها ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ يساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. على سبيل المثال، في الحد الأول ﺏ ﺹ ﺟ ﻉ ناقص ﺏ ﻉ ﺟ ﺹ هو محدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين التي عناصرها ﺏ ﺹ وﺏ ﻉ وﺟ ﺹ وﺟ ﻉ. وعليه، فإن الحد الأول في حاصل الضرب الثلاثي القياسي يساوي ﺃ ﺱ في محدد المصفوفة التي عناصرها ﺏ ﺹ وﺏ ﻉ وﺟ ﺹ وﺟ ﻉ، وبالمثل بالنسبة إلى الحدين الثاني والثالث.

لا بد أن هذا يبدو مألوفًا لأن هذا هو محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، والتي تتكون من مركبات المتجهات ﺃ وﺏ وﺟ. في الواقع، الضرب الثلاثي القياسي للمتجهات الثلاثة ﺃ وﺏ وﺟ هو محدد المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة وتتكون من مركبات المتجهات الثلاثة. وبالطبع، محدد المصفوفة يساوي كمية قياسية. دعونا نر الآن كيف يمكننا تطبيق هذا في مثال.

إذا كان لدينا المتجهات ﺃ وﺏ وﺟ حيث المتجه ﺃ مركباته واحد، خمسة، سالب خمسة، والمتجه ﺏ مركباته اثنان، أربعة، ثلاثة، والمتجه ﺟ مركباته صفر، خمسة، سالب أربعة، فأوجد حاصل الضرب الثلاثي القياسي لـ ﺃ وﺏ وﺟ.

مطلوب منا حساب حاصل الضرب الثلاثي القياسي للمتجهات ﺃ وﺏ وﺟ. ونعلم أن هذا يكافئ حساب محدد المصفوفة التي تتكون من مركبات المتجهات الثلاثة كما هو موضح. إذن، باستخدام المتجهات ﺃ وﺏ وﺟ، نريد إيجاد قيمة محدد المصفوفة التي يتكون صفها الأول من مركبات المتجه ﺃ، ويتضمن صفها الثاني مركبات المتجه ﺏ، وصفها الثالث يحتوي على مركبات المتجه ﺟ.

وتذكر أنه لكي نحسب قيمة محدد مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة باستخدام الصف الأول باعتباره محور الفك، فإننا نأخذ العنصر العلوي الأيمن الأول ﺃ ﺱ ونضربه في محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين في الركن السفلي الأيسر. ثم نأخذ سالب العنصر الثاني في الصف العلوي ونضربه في المحدد الموضح. وأخيرًا، نضيف العنصر الثالث في الصف العلوي ونضربه في المحدد المكون من العناصر الأربعة في الركن السفلي الأيمن.

في هذه الحالة، يتحول هذا إلى واحد في المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها أربعة، ثلاثة، خمسة، سالب أربعة ناقص خمسة في محدد المصفوفة التي عناصرها اثنان، وثلاثة، وصفر، وسالب أربعة زائد سالب خمسة في محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها اثنان، أربعة، صفر، خمسة. وتذكر الآن أن قيمة محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ هي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ، لدينا واحد في أربعة في سالب أربعة ناقص ثلاثة في خمسة ناقص خمسة في اثنين في سالب أربعة ناقص ثلاثة في صفر ناقص خمسة مرة أخرى في اثنين في خمسة ناقص أربعة في صفر.

وهذا يساوي واحدًا في سالب ١٦ ناقص ١٥ ناقص خمسة في سالب ثمانية ناقص صفر ناقص خمسة في ١٠ ناقص صفر. بإيجاد قيمة ذلك، نحصل على سالب ٣١ زائد ٤٠ ناقص ٥٠، وهو ما يساوي سالب ٤١. إذن، حاصل الضرب الثلاثي القياسي للمتجهات ﺃ وﺏ وﺟ يساوي سالب ٤١.

لقد رأينا أن الضرب الثلاثي القياسي لثلاثة متجهات يكافئ محدد المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة المكونة من مركباتها. ويتبين لنا أننا إذا بدلنا ترتيب متجهين، فإن هذا سيغير إشارة الناتج.

وهذا بالطبع ما نتوقعه؛ لأننا إذا بدلنا ترتيب صفين في المحدد، فإن هذا سيغير الإشارة. وإذا أجرينا بعد ذلك عملية تبديل إضافية، على سبيل المثال بدلنا ﺃ بـ ﺟ أو ﺏ بـ ﺟ، فستتغير الإشارة مرة أخرى. وهذا يوضح لنا أن حاصل الضرب الثلاثي القياسي ﺃ ضرب قياسي ﺏ ضرب اتجاهي ﺟ يساوي ﺏ ضرب قياسي ﺟ ضرب اتجاهي ﺃ. وهذا يساوي ﺟ ضرب قياسي ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ. ونستنتج من ذلك أنه عندما لا يتغير الترتيب الدوري للمتجهات الثلاثة، فإن حواصل الضرب الثلاثي القياسي لها متساوية.

دعونا نتناول هذه الخاصية للضرب الثلاثي القياسي في مثال.

أوجد مجموع حاصل الضرب الثلاثي القياسي ﺱ ضرب قياسي ﺹ ضرب اتجاهي ﻉ زائد ﺹ ضرب قياسي ﻉ ضرب اتجاهي ﺱ زائد ﻉ ضرب قياسي ﺱ ضرب اتجاهي ﺹ.

لدينا في المعطيات مجموع حواصل الضرب الثلاثي القياسي لمتجهات الوحدة الثلاثة نفسها ﺱ وﺹ وﻉ، حيث تمثل متجهات الوحدة في الاتجاهات ﺱ وﺹ وﻉ. وهذه ثلاثة حواصل ضرب ثلاثي قياسي بترتيبات مختلفة. الأول هو حاصل الضرب القياسي لـ ﺱ في ﺹ ضرب اتجاهي ﻉ. والثاني هو حاصل الضرب القياسي لـ ﺹ في ﻉ ضرب اتجاهي ﺱ. والثالث هو حاصل الضرب القياسي لـ ﻉ في ﺱ ضرب اتجاهي ﺹ. لكننا نعلم أنه نظرًا إلى أن هذه ثلاثة حواصل ضرب ثلاثي قياسي للمتجهات الثلاثة نفسها، فإن القيم المطلقة لحواصل الضرب الثلاثي القياسي ستكون نفسها.

ونعلم أيضًا أن المتجهات الثلاثة لن تكون بنفس الإشارة إلا إذا كانت بالترتيب الدوري نفسه. في هذه الحالة، الترتيب الدوري للضرب الثلاثي الأول هو ﺱ إلى ﺹ إلى ﻉ. والآن إذا نظرنا إلى الضرب الثلاثي الثاني، فإن لدينا ﺹ إلى ﻉ إلى ﺱ، وهو في الاتجاه الدوري نفسه. وينتقل حاصل الضرب الثلاثي الثالث من ﻉ إلى ﺱ إلى ﺹ، وهو مرة أخرى في الاتجاه الدوري نفسه.

وبما أن جميعها في الاتجاه الموجب، فإذا أوجدنا قيمة أحد حواصل الضرب الثلاثي القياسي، فإننا نضرب الناتج في ثلاثة؛ لأن جميعها له المقدار نفسه. باستخدام هذا المخطط الدوري الموضح على اليسار، ومن خلال الخواص الدورية، يتضح أن ﺹ ضرب اتجاهي ﻉ يساوي ﺱ، وبالمثل ﻉ ضرب اتجاهي ﺱ يساوي ﺹ، وأن ﺱ ضرب اتجاهي ﺹ يساوي ﻉ. هذا يوضح أن حاصل الضرب القياسي لـ ﺱ في الضرب الاتجاهي لـ ﺹ وﻉ يساوي الضرب القياسي لـ ﺱ في نفسه. ونعرف أن هذا يساوي مقياس أو معيار ﺱ تربيع. وبما أن ﺱ هو متجه وحدة، فإنه يساوي واحدًا.

ونتذكر أنه لجميع حواصل الضرب الثلاثي القياسي المعيار نفسه. وبما أن الثلاثة كلها في الاتجاه نفسه، فكلها متساوية. إذن، يمكننا القول إن مجموع حواصل الضرب الثلاثي القياسي الثلاثة يساوي ثلاثة في أحد حواصل الضرب الثلاثي القياسي. وبما أننا وجدنا أن حاصل الضرب الثلاثي القياسي لـ ﺱ في ﺹ ضرب اتجاهي ﻉ يساوي واحدًا، فإننا نحصل على ثلاثة في واحد، وهو ما يساوي ثلاثة. إذن، مجموع حاصل الضرب الثلاثي القياسي للثلاثة يساوي ثلاثة.

من المهم ملاحظة أنه كان بإمكاننا أيضًا استخدام طريقة المحدد لإيجاد قيمة ذلك. نستفيد مرة أخرى من حقيقة أن جميع المعايير تساوي واحدًا وأن جميعها في الاتجاه الدوري نفسه. إذن، بإيجاد أحد المحددات، فإننا نضرب هذا في ثلاثة. ومرة أخرى، الإجابة تساوي ثلاثة.

لنتناول الآن خاصية أخرى للضرب الثلاثي القياسي مرتبطة بالمتجهات في المستوى نفسه. تذكر أن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺏ في متجه آخر ﺟ يساوي متجهًا آخر عموديًّا على المستوى المعرف بالمتجهين ﺏ وﺟ. والآن، إذا كان المتجه ﺃ في المستوى نفسه الذي يقع فيه المتجهان ﺏ وﺟ، فإنه لا بد أيضًا أن يكون المتجه ﺃ عموديًّا على ﺏ ضرب اتجاهي ﺟ. والآن إذا فكرنا في الضرب القياسي لمتجهين، إذا كان المتجهان متعامدين، فإن حاصل الضرب القياسي لهما يساوي صفرًا؛ لأن قياس الزاوية المحصورة بينهما يساوي ٩٠ درجة وجتا ٩٠ درجة يساوي صفرًا.

والآن، إذا عدنا إلى حاصل الضرب الثلاثي القياسي، إذا كانت المتجهات ﺃ وﺏ وﺟ في المستوى نفسه، فإن ﺃ يكون عموديًّا على ﺏ ضرب اتجاهي ﺟ، ويكون حاصل الضرب الثلاثي القياسي يساوي صفرًا. والعكس صحيح أيضًا. إذا كان حاصل الضرب الثلاثي القياسي يساوي صفرًا، فإن المتجهات ﺃ وﺏ وﺟ لا بد أن تكون مستوية. دعونا نستخدم هذه الخاصية في المثال التالي.

أوجد قيمة ﻙ التي تجعل النقاط الأربع واحدًا، سبعة، سالب اثنين؛ وثلاثة، خمسة، ستة؛ وسالب واحد، ستة، سالب أربعة؛ وسالب أربعة، سالب ثلاثة، ﻙ، تقع في نفس المستوى.

لدينا أربع نقاط، وهي التي علمنا من المعطيات أنها مستوية. ومطلوب منا إيجاد قيمة الثابت المجهول ﻙ. للقيام بذلك، سنستخدم حاصل الضرب الثلاثي القياسي؛ حيث إننا نعلم أنه إذا كان حاصل الضرب الثلاثي القياسي لثلاثة متجهات يساوي صفرًا، فإن المتجهات الثلاثة لا بد أن تكون مستوية. لكن قبل أن نفعل ذلك، علينا التأكد من أن النقاط الثلاث المعلومة ليست على استقامة واحدة. نفعل ذلك؛ لأن علينا التأكد من أننا لن نحسب الضرب القياسي الذي يضم المتجه الصفري في حاصل الضرب الثلاثي القياسي.

دعونا نسم النقاط ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ. ويمكننا أخذ أي متجهين تكونهما النقاط ﺃ وﺏ وﺟ. لنختر ﺏﺃ وﺏﺟ. نعرف أن ﺏﺃ يساوي وﺃ ناقص وﺏ. وبطرح المركبات المتناظرة، فإننا نحصل على سالب اثنين، اثنين، سالب ثمانية. وبالمثل، ﺏﺟ يساوي وﺟ ناقص وﺏ. وهذا يساوي سالب أربعة، واحدًا، سالب ١٠. نعلم أن حاصل الضرب الاتجاهي لـ ﺏﺃ في ﺏﺟ يعطى بالمحدد الموضح، حيث ﺱ وﺹ وﻉ هي متجهات الوحدة في الاتجاهات ﺱ وﺹ وﻉ، إذن، المحدد يساوي ﺱ في اثنين في سالب ١٠ ناقص سالب ثمانية في واحد، وهو ما يساوي ﺱ في محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين في الركن السفلي، ناقص ﺹ في محدد المصفوفة التي عناصرها سالب اثنين، وسالب ثمانية، وسالب أربعة، وسالب ١٠ زائد ﻉ في محدد المصفوفة التي عناصرها سالب اثنين، واثنان، وسالب أربعة، وواحد.

وبإفراغ بعض المساحة، نجد أن قيمة ذلك تساوي سالب ١٢، ١٢، ستة، وهو ما لا يساوي متجهًا صفريًّا. إذن، نعرف من ذلك أن النقاط الثلاث ليست على استقامة واحدة. ويمكننا الانتقال إلى استخدام حاصل الضرب الثلاثي القياسي لإيجاد قيمة ﻙ. علمنا من المعطيات أن النقاط الأربع ﺃ، وﺏ، وﺟ، وﺩ تقع في المستوى نفسه. ونعلم أن حاصل الضرب الثلاثي القياسي لثلاثة متجهات في المستوى نفسه يساوي صفرًا. لدينا بالفعل جزء من حاصل الضرب الثلاثي القياسي. وهو المتعلق بحاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺏﺃ وﺏﺟ. والآن، إذا كانت النقاط الأربع كلها تقع في المستوى، فلا بد أن المتجه ﺃﺩ يقع أيضًا في المستوى. المتجه ﺃﺩ يساوي وﺩ ناقص وﺃ. وهذا يساوي سالب خمسة، سالب ١٠، ﻙ زائد اثنين.

إذن، بحساب حاصل الضرب الثلاثي القياسي لـ ﺃﺩ في ﺏﺃ وﺏﺟ، فإننا نحصل على الضرب القياسي للمتجهين الموضحين. وهذا قيمته تساوي سالب خمسة في سالب ١٢ زائد سالب ١٠ في ١٢ زائد ﻙ زائد اثنين في ستة. هذا يعني ٦٠ ناقص ١٢٠ زائد ستة ﻙ زائد ١٢، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ستة ﻙ ناقص ٤٨. إذا كان المتجهان في المستوى نفسه، فلا بد أن يساوي هذا صفرًا. وبإضافة ٤٨ إلى كلا الطرفين، يعطينا هذا ستة ﻙ يساوي ٤٨. وبقسمة الطرفين على ستة، نحصل على ﻙ يساوي ثمانية. ومن ثم، قيمة ﻙ التي تجعل كل النقاط الأربع المعطاة تقع في مستوى واحد هي ﻙ تساوي ثمانية.

الخاصية الأخيرة التي سنتناولها لحاصل الضرب الثلاثي القياسي تنشأ عما يعنيه ذلك هندسيًّا. تذكر أن حاصل الضرب الاتجاهي لـ ﺏ ضرب اتجاهي ﺟ يساوي متجهًا عموديًّا على المستوى المحدد بالمتجهين ﺏ وﺟ. معيار حاصل الضرب الاتجاهي هذا يساوي مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهين ﺏ وﺟ. والآن إذا أضفنا متجهًا آخر ﺃ وفكرنا في متوازي السطوح المبني على المتجهات ﺃ وﺏ وﺟ في ثلاثة أبعاد، فإننا نعلم أن حجمه يساوي مساحة متوازي الأضلاع الذي يتكون من المتجهين ﺏ وﺟ مضروبًا في الارتفاع العمودي ﻉ. نعلم أيضًا أن هذا الارتفاع ﻉ يساوي معيار المتجه ﺃ في جتا 𝜃، وهي الزاوية الحادة المحصورة بين ﺃ وﻉ.

إذن، يصبح حجم متوازي السطوح يساوي معيار حاصل الضرب الاتجاهي لـ ﺏ في ﺟ في معيار المتجه ﺃ في جتا 𝜃. وبحسب التعريف، هذا هو معيار حاصل الضرب الثلاثي القياسي لـ ﺃ في ﺏ ضرب اتجاهي ﺟ. من المهم ملاحظة أنه إذا تغير اتجاه ﺏ ضرب اتجاهي ﺟ لأسفل، فإن الزاوية المحصورة بين ﺃ وﺏ ضرب اتجاهي ﺟ ستساوي 𝜃 شرطة، أي ١٨٠ ناقص 𝜃. وبما أن جتا ١٨٠ ناقص 𝜃 يساوي سالب جتا 𝜃، فإننا نحصل على القيمة المطلقة لـ جتا 𝜃 شرطة تساوي القيمة المطلقة لـ جتا 𝜃. ومن ثم، بحساب معيار حاصل الضرب الثلاثي القياسي، فإننا نحصل على حجم متوازي السطوح، أيًّا كان اتجاه ﺏ ضرب اتجاهي ﺟ. دعونا نتناول الآن مثالًا على إيجاد حجم متوازي السطوح باستخدام حاصل الضرب الثلاثي القياسي.

أوجد حجم متوازي السطوح الذي أضلاعه المتجاورة ﻉ يساوي واحدًا، واحدًا، ثلاثة، والمتجه ﻕ يساوي اثنين، واحدًا، أربعة، والمتجه ﻭ يساوي خمسة، واحدًا، سالب اثنين.

متوازي السطوح كما هو معطى في السؤال مكون من المتجهات ﻉ وﻕ وﻭ. ونعلم أنه لإيجاد حجم متوازي السطوح، يمكننا استخدام حاصل الضرب الثلاثي القياسي. هذا يعني أن حجم متوازي السطوح الذي أضلاعه المتجاورة ﻉ وﻕ وﻭ يساوي معيار حاصل الضرب الثلاثي القياسي. ونعلم أيضًا أن حاصل الضرب الثلاثي القياسي يساوي محدد المصفوفة التي تتكون صفوفها من عناصر المتجهات ﻉ وﻕ وﻭ. إذن، الحجم يساوي معيار ذلك.

في هذه الحالة، هذا هو معيار محدد المصفوفة التي عناصرها واحد، واحد، ثلاثة؛ واثنان، واحد، أربعة؛ وخمسة، واحد، سالب اثنين. هذا يعني أن الصفوف تمثل المتجهات ﻉ، وﻕ، وﻭ. هذا يساوي واحدًا في محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها واحد، أربعة، واحد، سالب اثنين ناقص واحد في المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها اثنان، أربعة، خمسة، سالب اثنين زائد ثلاثة في محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها اثنان، وواحد، وخمسة، وواحد.

وبالاستفادة من حقيقة أن محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ يساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ، فإن قيمة ذلك تساوي مقدار سالب ستة زائد ٢٤ ناقص تسعة، وهو ما يساوي تسعة. وعليه، فإن حجم متوازي السطوح الذي أضلاعه المتجاورة ﻉ وﻕ وﻭ يساوي تسع وحدات مكعبة.

دعونا نستكمل هذا الفيديو بالإشارة إلى بعض النقاط الأساسية التي تناولناها. نحن نعلم أن حاصل الضرب الثلاثي القياسي لثلاثة متجهات ﺃ وﺏ وﺟ يساوي كمية قياسية. حاصل الضرب الثلاثي القياسي يكافئ محدد المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة وصفوفها تمثل مركبات المتجهات ﺃ وﺏ وﺟ. تكون حواصل الضرب الثلاثي القياسي متساوية في حالة عدم تغير الترتيب الدوري. إذا كانت المتجهات ﺃ وﺏ وﺟ في المستوى نفسه، فإن حاصل الضرب الثلاثي القياسي لها يساوي صفرًا. وأخيرًا، حجم متوازي السطوح المبني على المتجهات ﺃ وﺏ وﺟ يساوي معيار حاصل الضرب الثلاثي القياسي لها.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.