فيديو السؤال: تحديد مدى الدوال المتعددة التعريف الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد مدى الدالة ﺩﺱ يساوي ثمانية ﺱ إذا كان ﺱ ينتمي إلى الفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار من صفر إلى واحد، وﺩﺱ يساوي ثمانية إذا كان ﺱ ينتمي إلى الفترة المغلقة من واحد إلى سبعة، وﺩﺱ يساوي ١٥ ناقص ﺱ إذا كان ﺱ ينتمي إلى الفترة المفتوحة من اليمين والمغلقة من اليسار من سبعة إلى ١٥.

في هذا السؤال، المطلوب هو إيجاد مدى دالة متعددة التعريف. يمكننا البدء بتذكر أن مدى أي دالة هو مجموعة كل القيم المخرجة الممكنة للدالة بمعلومية مجالها أو مجموعة القيم المدخلة. وهناك العديد من الطرق المختلفة لإيجاد مدى دالة. وبما أن لدينا دالة متعددة التعريف، حيث كل من الدوال الجزئية الثلاثة دوال خطية، فسنوجد مدى الدالة عن طريق رسم تمثيلها البياني.

قبل أن نرسم التمثيل البياني، دعونا نحدد مجال هذه الدالة. وهو مجموعة القيم المدخلة الممكنة للدالة. نعرف أن لدينا دالة متعددة التعريف. ومجال أي دالة متعددة التعريف هو اتحاد مجالاتها الجزئية. بعبارة أخرى، لا يمكن أن تكون مدخلات الدالة سوى قيم ﺱ التي تنتمي لهذه الفترات الثلاث. ومن ثم، سنبدأ برسم محوري الإحداثيات، حيث يتعين علينا تحديد النقاط الحدية للمجالات الجزئية على المحور ﺱ. وهذه النقاط هي صفر، وواحد، وسبعة، و١٥. من الجدير بالملاحظة أنه قد يتعين علينا مد هذا المحور ليشمل القيم السالبة لمحور ﺹ. لكننا سنجد أن هذا الأمر ليس ضروريًّا في الحالة التي لدينا.

علينا الآن رسم كل دالة جزئية على حدة على مجالها الجزئي. دعونا نبدأ بالدالة الجزئية الأولى المعرفة على الفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار من صفر إلى واحد. يمكننا أن نلاحظ أن هذه الدالة هي الدالة الخطية ثمانية ﺱ. وبما أن هذه دالة خطية معرفة على فترة معينة، فستكون على صورة قطعة مستقيمة. وأسهل طريقة لرسم القطعة المستقيمة هي إيجاد إحداثيات نقطتي طرفيها. لإيجاد نقطتي طرفي هذه القطعة المستقيمة، علينا التعويض بالنقطتين الحديتين للمجال الجزئي في الدالة الجزئية.

دعونا نبدأ بالتعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا في الدالة الجزئية. نحصل على العدد ثمانية مضروبًا في صفر، وهو ما يساوي صفرًا. بما أن الصفر يقع ضمن المجال الجزئي لهذه الدالة، فهذا يخبرنا بأن قيمة ﺩ عند صفر تساوي صفرًا، وهذا بدوره يوضح أن التمثيل البياني للدالة يمر بنقطة الأصل. سنشير إلى ذلك بنقطة مصمتة. الآن، نريد أن ننتقل إلى النقطة الحدية الأخرى لهذا المجال الجزئي. لكن علينا ملاحظة أن هذا الجانب من الفترة مفتوح. هذا يعني أنه لا يمكننا إيجاد قيمة ﺩ عند واحد بالتعويض به في الدالة الجزئية ثمانية ﺱ. ومع ذلك، يمكننا استخدام هذه القيمة لإيجاد النقطة الحدية الأخرى للدالة الجزئية.

بالتعويض بـ ﺱ يساوي واحدًا في الدالة الجزئية ثمانية ﺱ، نحصل على العدد ثمانية مضروبًا في واحد، وهو ما يساوي ثمانية. وهذه إذن هي قيمة الإحداثي ﺹ للنقطة الحدية للدالة الجزئية الأولى. إذن، النقطة الحدية لهذه الدالة الجزئية هي واحد، ثمانية. وعليه، سنحدد العدد ثمانية على المحور ﺹ. ثم نرسم دائرة مفرغة عند النقطة التي إحداثياتها واحد، ثمانية. إذا وصلنا هاتين النقطتين بقطعة مستقيمة، نكون قد رسمنا الخط ﺹ يساوي ثمانية ﺱ، حيث يجب أن تنتمي قيم ﺱ إلى الفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار من صفر إلى واحد. وهذا يعني أننا رسمنا الدالة الجزئية الأولى بنجاح.

دعونا نفرغ بعض المساحة ثم نتبع الخطوات نفسها لرسم الدالة الجزئية الثانية. هذه المرة، تنتمي قيم ﺱ إلى الفترة المغلقة من واحد إلى سبعة. لكن هذه المرة نرى أن القيمة المخرجة للدالة هي قيمة ثابتة تساوي ثمانية. وهذا يعني أنه عند رسم التمثيل البياني لهذه الدالة الجزئية، تكون قيمة الإحداثي ﺹ لكل نقطة على التمثيل البياني ثمانية. مرة أخرى، يمكننا إيجاد النقطتين الحديتين لهذه الدالة الجزئية. أولًا، عندما ﺱ يساوي سبعة، فإننا نعرف أن ﺹ يساوي ثمانية. إذن، إحداثيات النقطة الحدية الأولى هي سبعة، ثمانية. يمكننا تمثيل هذه النقطة بدائرة مصمتة؛ لأن الفترة مغلقة من هذا الجانب. هذا يتكرر مرة أخرى عندما ﺱ يساوي واحدًا. قيمة الإحداثي ﺹ تساوي ثمانية، مع العلم أن هذه الفترة مغلقة. لذا نمثل هذه النقطة بدائرة مصمتة. ثم نصل هاتين النقطتين بخط مستقيم أفقي لرسم الدالة الجزئية الثانية.

والجدير بالذكر هنا أن لدينا شيئًا مثيرًا للاهتمام عند النقطة واحد، ثمانية. ففي الدالة الجزئية الأولى كانت لدينا دائرة مفرغة عند هذه النقطة، لكن في الدالة الثانية كانت لدينا دائرة مصمتة عند هذه النقطة. وبما أن هناك دائرة مصمتة عند هذه النقطة، فإننا نعرف أن قيمة ﺩ عند واحد تساوي ثمانية. لذا، يجب تضمين هذه النقطة في التمثيل البياني. ومن ثم، علينا رسم هذه النقطة كجزء من التمثيل البياني. بعبارة أخرى، الدائرة المصمتة تأخذ مكان الدائرة المفرغة.

الآن، دعونا ننتقل إلى الدالة الجزئية الثالثة. هذه المرة، تنتمي قيم ﺱ إلى الفترة المفتوحة من اليمين والمغلقة من اليسار من سبعة إلى ١٥. ومرة أخرى، لدينا دالة خطية. لذا، سنرسم هذه الدالة الجزئية بإيجاد النقطتين الحديتين لها. أولًا، دعونا نبدأ بالتعويض بـ ﺱ يساوي سبعة في الدالة الجزئية. وبذلك، نجد أن قيمة الإحداثي ﺹ المناظرة لهذه القيمة تساوي ١٥ ناقص سبعة، وبحساب ذلك، نجد أنها تساوي ثمانية. وعليه، فإن إحداثيي النقطة الحدية الأولى لهذه الدالة الجزئية هما سبعة، ثمانية. كان علينا رسم دائرة مفرغة عند هذه النقطة على التمثيل البياني. لكننا نرى أن التمثيل البياني للدالة يمر بالفعل بهذه النقطة؛ لذا لا نحتاج إلى رسم هذه النقطة على الشكل. كل ما علينا فعله هو معرفة أن هذه النقطة هي النقطة الحدية الأولى لهذه الدالة الجزئية.

الآن، دعونا نوجد النقطة الحدية الثانية لهذه الدالة الجزئية. سنعوض بـ ﺱ يساوي ١٥ في الدالة الجزئية لنجد أن قيمة الإحداثي ﺹ المناظرة لهذه القيمة تساوي ١٥ ناقص ١٥، وبحساب ذلك، نجد أنها تساوي صفرًا. تذكر أن فترة هذا المجال الجزئي مغلقة عند القيمة ١٥. القيمة ١٥ تقع ضمن مجال الدالة ﺩﺱ. ومن ثم، علينا تضمين هذه النقطة في التمثيل البياني. لذا، فإننا نمثلها بنقطة مصمتة. وأخيرًا، نصل بين النقطتين الحديتين بقطعة مستقيمة.

بذلك، نكون قد رسمنا الأجزاء الثلاثة للدالة متعددة التعريف ﺩﺱ. إذن، هذا التمثيل البياني بالكامل يعبر عن الدالة ﺩﺱ، حيث استخدمنا ثلاثة ألوان مختلفة لتمييز الدوال الجزئية الثلاثة. الآن، يمكننا تحديد مدى هذه الدالة باستخدام تمثيلها البياني. فكل ما علينا فعله هو تحديد مجموعة كل القيم المخرجة الممكنة بمعلومية مجالها.

في الشكل الموضح، القيم المخرجة لدالة معينة هي قيم الإحداثي ﺹ لكل النقاط على منحنى الدالة. على سبيل المثال، في التمثيل البياني، يمكننا ملاحظة أن أكبر قيمة مخرجة ممكنة للدالة هي ثمانية. ويمكننا أيضًا ملاحظة أصغر قيمة مخرجة ممكنة للدالة. أصغر قيمة للإحداثي ﺹ لأي نقطة على المنحنى تساوي صفرًا. نلاحظ أنه عندما ﺱ يساوي صفرًا، وﺱ يساوي ١٥، يكون لدينا نقاط مصمتة. ومن ثم، نعلم أن المنحنى يمر بهذه النقاط. يمكننا أن نلاحظ من الشكل أيضًا أن أي قيمة للإحداثي ﺹ بين هاتين القيمتين هي قيمة مخرجة ممكنة للدالة. إذن، مدى الدالة هو جميع القيم الواقعة بين صفر وثمانية. يمكننا كتابة ذلك على صورة الفترة المغلقة من صفر إلى ثمانية، وهذه هي الإجابة النهائية.

إذن، استطعنا تحديد مدى الدالة الخطية المتعددة التعريف ﺩﺱ عن طريق رسم تمثيلها البياني. حيث إننا تمكنا من إثبات أن مدى هذه الدالة هو الفترة المغلقة من صفر إلى ثمانية.