فيديو السؤال: إيجاد نهاية الدوال المثلثية

نسخة الفيديو النصية

أوجد نهاية اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ على ‪𝑥‬‏ عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ما لا نهاية.

قد نتسرع ونحاول إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام حقيقة أن نهاية خارج قسمة دالتين هو خارج قسمة نهايتي كل منهما. وبتطبيق ذلك على هذه المسألة، سنحصل على نهاية اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ما لا نهاية، على نهاية ‪𝑥‬‏ عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ما لا نهاية.

والآن نرى بكل وضوح أن النهاية الموجودة في المقام هي ما لا نهاية. ويتضح أن النهاية الموجودة في البسط هي ما لا نهاية أيضًا. وعندما يزداد العدد أكثر فأكثر بلا حدود، فإن قيمة اللوغاريتم الخاص به تزداد أيضًا. للأسف، ما لا نهاية على ما لا نهاية صيغة غير معينة، وهذا لا يعطينا أي فكرة عن قيمة النهاية التي نريد إيجادها. كلا النهايتين اللتين في البسط والمقام عبارة عن ما لا نهاية.

وطريقة إيجاد قيمة هذه النهاية هي استخدام قاعدة لوبيتال. تنص هذه القاعدة على أنه إذا كانت نهاية الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ مع اقتراب ‪𝑥‬‏ من ‪𝑎‬‏، ونهاية الدالة ‪𝑔‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ‪𝑎‬‏، كلتاهما تساويان صفرًا، أو ما لا نهاية، فإن نهاية خارج قسمة الدالتين تساوي نهاية خارج قسمة مشتقتيهما.

في السيناريو الذي أمامنا، نريد إيجاد قيمة نهاية خارج قسمة دالتين. ورأينا أن نهاية الدالة التي في البسط تساوي ما لا نهاية. ونهاية الدالة التي في المقام تساوي ما لا نهاية أيضًا. وبالتالي تنطبق عليهما قاعدة لوبيتال. نهاية خارج القسمة التي نبحث عنها هي نهاية خارج قسمة المشتقتين. بالتالي علينا إيجاد قيمة نهاية المشتقة الأولى للوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏. إنها مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏، على المشتقة الأولى لـ ‪𝑥‬‏. أي مشتقة ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ما لا نهاية.

ما المشتقة الأولى للوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏؟ اشتقاق اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ يعطينا واحدًا على ‪𝑥‬‏. فلنعوض بذلك. ماذا عن اشتقاق ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏؟ حسنًا، إنه واحد. واحد على ‪𝑥‬‏ مقسوم على واحد يساوي واحدًا على ‪𝑥‬‏. بالتالي، النهاية التي نبحث عنها هي نهاية دالة المقلوب واحد على ‪𝑥‬‏ عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ما لا نهاية. وهذه النهاية معروفة: نهاية دالة المقلوب واحد على ‪𝑥‬‏ عند اقتراب ‪𝑥‬‏ من ما لا نهاية تساوي صفرًا.

قبل أن أنهي هذا الفيديو، علي التذكير بأن هناك بعض الشروط لاستخدام قاعدة لوبيتال. الدالتان ‪𝑓‬‏ و‪𝑔‬‏ يجب أن تكونا قابلتين للاشتقاق لكي تكون نهاية خارج قسمة مشتقتيهما منطقية. وقيمة المشتقة الموجودة في المقام؛ المشتقة الأولى للدالة ‪𝑔‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏، يجب ألا تساوي صفرًا بالقرب من نقطة إيجاد النهاية ‪𝑎‬‏. لكن يمكن أن تكون صفرًا عند ‪𝑎‬‏. لا بأس بذلك. وأخيرًا، النهاية الموجودة على يمين قاعدة لوبيتال يجب أن تكون موجودة أو تساوي موجب أو سالب ما لا نهاية. وإلا فلن تكون ذات فائدة.

في هذه المسألة، الدالة ‪𝑓‬‏ هي اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏. وهي بالطبع قابلة للاشتقاق. ومشتقتها، كما رأينا، تساوي واحدًا على ‪𝑥‬‏. والدالة ‪𝑔‬‏ هي ‪𝑥‬‏، وهي بالطبع قابلة للاشتقاق. ومشتقتها تساوي واحدًا. والمشتقة الأولى للدالة ‪𝑔‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏، التي رأينا أنها تساوي واحدًا، لا تساوي صفرًا ولا حتى بالقرب من نقطة إيجاد النهاية ‪𝑎‬‏، التي تساوي ما لا نهاية.

وأخيرًا، نهاية خارج قسمة المشتقتين موجودة بالفعل، لأننا أوجدنا قيمتها. وهي صفر.