فيديو الدرس: حل أنظمة المعادلات الخطية بيانيًّا الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل نظامًا من معادلتين خطيتين من خلال تمثيليهما البيانيين وتحديد نقطة تقاطعهما.

دعونا نتذكر أولًا أن المعادلة الخطية معادلة تكون فيها أعلى قوة لكل متغير موجود بها هي القوة الأولى، كما أنها لا تحتوي على حدود تتضمن متغيرات مضروبًا بعضها في بعض. على سبيل المثال، المعادلة اثنان ﺱ زائد ﺹ يساوي ستة معادلة خطية.

النظام المكون من معادلتين خطيتين، ببساطة، زوج من معادلتين من هذا النوع. على سبيل المثال، إذا كان لدينا أيضًا المعادلة ﺱ زائد ﺹ يساوي اثنين، فسيكون لدينا نظام من المعادلات الخطية، يعرف أحيانًا بزوج من المعادلات الآنية. هناك العديد من الطرق المختلفة التي يمكن استخدامها لحل أنظمة المعادلات هذه، ولكن في هذا الفيديو، سنركز على الطريقة البيانية. ونتيجة لذلك سنجد أن الحرفين اللذين نستخدمهما عادة لتمثيل المتغيرين هما ﺱ وﺹ، ولكن ليس بالضرورة أن يكونا كذلك دومًا.

يمكن إيجاد حل لنظام مكون من معادلتين خطيتين برسم تمثيل بياني للخطين المستقيمين اللذين تمثلهما هاتان المعادلتان، ثم تحديد إحداثيات نقطة تقاطعهما. وذلك لأن هذه النقطة تقع على الخطين المستقيمين، ومن ثم تحقق المعادلتين آنيًّا.

في المثال الأول سنستعرض كيفية إيجاد معادلة خط مستقيم من تمثيلها البياني. وهذا بدوره سيمكننا من تحديد نظام المعادلات الخطية الذي يمكن حله باستخدام تمثيل بياني معطى.

أي من مجموعات المعادلات الآنية الآتية يمكن حلها باستخدام التمثيل البياني الموضح؟ أ: ﺹ يساوي اثنين ﺱ ناقص أربعة، ﺹ يساوي ﺱ زائد خمسة. ب: ﺹ يساوي سالب أربعة ﺱ زائد اثنين، ﺹ يساوي خمسة ﺱ ناقص واحد. ج: ﺹ يساوي اثنين ﺱ ناقص أربعة، ﺹ يساوي سالب ﺱ زائد خمسة. د: ﺹ يساوي اثنين ﺱ زائد أربعة، ﺹ يساوي سالب ﺱ زائد خمسة. هـ: ﺹ يساوي سالب أربعة ﺱ زائد اثنين، ﺹ يساوي خمسة ﺱ زائد واحد.

لدينا تمثيل بياني لخطين مستقيمين. دعونا نسمهما ﻝ واحدًا وﻝ اثنين. مطلوب منا تحديد زوج المعادلات الآنية الذي يمكننا حله باستخدام هذا التمثيل البياني. وهذا يعني أنه علينا إيجاد معادلتي الخطين المستقيمين.

ولكي نفعل ذلك، نتذكر الصورة العامة للخط المستقيم بصيغة الميل والمقطع، وهي ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ. ونتذكر أن معامل ﺱ، وهو ﻡ، يعطينا ميل الخط المستقيم. أما الحد الثابت، وهو ﺏ، فيعطينا الجزء المقطوع من المحور ﺹ للتمثيل البياني. وهذا يعطينا قيمة ﺹ التي يقطع عندها الخط المستقيم المحور ﺹ.

يمكننا تحديد هاتين القيمتين من الشكل. أولًا الخط المستقيم ﻝ واحد يقطع المحور ﺹ عند خمسة، والخط المستقيم ﻝ اثنان يقطع المحور ﺹ عند سالب أربعة. بعد ذلك نحدد ميل كل خط مستقيم باستخدام حقيقة أن الخط المستقيم المار بنقطتين إحداثيتين، ﺱ واحد، ﺹ واحد، وﺱ اثنين، ﺹ اثنين، له الميل ﻡ يساوي ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد. ‏ﻝ واحد يمر بالنقطتين صفر، خمسة، وواحد، أربعة. كان بإمكاننا اختيار أي نقطتين على هذا الخط المستقيم. لكن اختيار نقطة ثانية قريبة من نقطة التقاطع مع المحور ﺹ يجعل الحل أسهل.

ميل الخط المستقيم الأول هو ﻡ يساوي أربعة ناقص خمسة على واحد ناقص صفر. إذن ميل ﻝ واحد يساوي سالب واحد. الخط المستقيم الثاني ﻝ اثنان يمر بالنقطتين صفر، سالب أربعة، وواحد، سالب اثنين. يحسب ميل هذا الخط المستقيم بالعلاقة ﻡ يساوي سالب أربعة ناقص سالب اثنين على صفر ناقص واحد. إذن ميل ﻝ اثنين يساوي موجب اثنين. ومن ثم فإن ﺏ للخط المستقيم ﻝ واحد يساوي خمسة وﻡ يساوي سالب واحد. إذن معادلة الخط المستقيم ﻝ واحد بصيغة الميل والمقطع هي ﺹ يساوي سالب ﺱ زائد خمسة، وهي إحدى المعادلات المعطاة في الخيارين ج، د.

‏ﺏ للخط المستقيم ﻝ اثنين يساوي سالب أربعة وﻡ يساوي اثنين. إذن معادلة الخط المستقيم ﻝ اثنين هي ﺹ يساوي اثنين ﺱ ناقص أربعة. وهذا يعطينا النظام المكون من المعادلتين: ﺹ يساوي اثنين ﺱ ناقص أربعة، ﺹ يساوي سالب ﺱ زائد خمسة. إن حل هذا النظام المكون من معادلتين خطيتين يعطى عن طريق إحداثيي نقطة التقاطع وهما ﺱ يساوي ثلاثة وﺹ يساوي اثنين. إذن يوضح التمثيل البياني المعطى النظام المكون من معادلتين خطيتين آنيتين في الخيار ج: ﺹ يساوي اثنين ﺱ ناقص أربعة، وﺹ يساوي سالب ﺱ زائد خمسة.

دعونا نتناول الآن مثالًا آخر.

استخدم التمثيل البياني الآتي لحل المعادلتين الآنيتين الموضحتين: ﺹ يساوي أربعة ﺱ ناقص اثنين، ﺹ يساوي سالب ﺱ زائد ثلاثة.

لعلنا نتذكر أن حل نظام من المعادلات يعطى بإحداثيات نقطة التقاطع بين التمثيلات البيانية لجميع المعادلات. وهذا يعني أن إحداثيات نقطة التقاطع بين الخطين المستقيمين تعطينا حل المعادلتين الآنيتين. نلاحظ أن الإحداثي ﺱ لهذه النقطة يساوي واحدًا، والإحداثي ﺹ يساوي اثنين. يخبرنا هذا بأن ﺱ يساوي واحدًا وﺹ يساوي اثنين يمثلان حل المعادلتين الآنيتين.

يمكننا التحقق من ذلك بالتعويض بهاتين القيمتين في المعادلتين. إذا عوضنا بـ ﺱ يساوي واحدًا في المعادلة الأولى، فسنحصل على ﺹ يساوي أربعة في واحد ناقص اثنين، وهو ما يساوي اثنين، وهو ما يتوافق مع الحل الذي توصلنا إليه. وبالمثل إذا عوضنا بـ ﺱ يساوي واحدًا في المعادلة الثانية، فسنحصل على ﺹ يساوي سالب واحد زائد ثلاثة، وهو ما يساوي اثنين، وهو ما يتوافق مع الحل الذي توصلنا إليه أيضًا. وبما أن المعادلتين صحيحتان، فهذا يؤكد أن الحل صحيح. وبما أن هذه النقطة هي نقطة التقاطع الوحيدة، فهي تمثل الحل الوحيد للمعادلتين الآنيتين. إذن الحل الوحيد هو ﺱ يساوي واحدًا وﺹ يساوي اثنين.

في المثال الآتي، سنحتاج إلى رسم التمثيلين البيانيين للمعادلتين اللتين نريد حلهما. لذا سنذكر أنفسنا ببعض الطرق الأساسية لفعل ذلك.

من خلال تمثيل ﺹ يساوي ﺱ ناقص واحد، ﺹ يساوي خمسة ﺱ زائد سبعة بيانيًّا، أوجد النقطة التي تحقق المعادلتين آنيًّا.

نتذكر أنه إذا كان زوج الإحداثيين ﺱ وﺹ يحقق كلتا المعادلتين آنيًّا، فإن النقطة يجب أن تقع على الخطين المستقيمين الممثلين لكلتا المعادلتين. ومن ثم فهي نقطة تقاطعهما، وبناء على ذلك هي الحل لنظام المعادلتين. ومن ثم يمكننا إيجاد حلول هذا النظام بإيجاد إحداثيات نقاط التقاطع. نفعل ذلك برسم كلا الخطين المستقيمين على نفس المستوى الإحداثي. نلاحظ أن كلا الخطين المستقيمين على الصورة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ. نتذكر أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ لهذا الخط المستقيم هو ﺏ، وميله ﻡ، بشرط ألا يساوي ﻡ صفرًا.

يمكننا تفسير المعلومات المهمة بشأن كل خط مستقيم بالرجوع إلى هذه الصيغة. أولًا: الجزء المقطوع من المحور ﺹ للخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ ناقص واحد يساوي سالب واحد. نعلم أن معامل ﺱ يساوي واحدًا، إذن ميل الخط المستقيم الأول يجب أن يكون واحدًا. نتذكر أن ميل الخط المستقيم هو التغير في ﺹ بالنسبة إلى التغير في ﺱ. ومن ثم فإن الميل الذي قيمته واحد يمثل زيادة مقدارها واحد في ﺹ وزيادة مقدارها واحد في ﺱ. بعد تغير الإحداثيين، بمقدار واحد لأعلى وواحد لليمين، نحصل على نقطة إحداثية أخرى على الخط المستقيم: وهي واحد، صفر. وبتوصيل هاتين النقطتين بعضهما ببعض، يمكننا رسم الخط المستقيم بميل قيمته واحد وجزء مقطوع من المحور ﺹ قيمته سالب واحد.

بالانتقال إلى المعادلة الخطية الثانية، لدينا الجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي سبعة، والميل يساوي خمسة. وهذا يعني أن التغير في الإحداثي ﺹ يساوي خمسة، والتغير في الإحداثي ﺱ يساوي واحدًا. لذا نبدأ من الجزء المقطوع من المحور ﺹ، ثم نتحرك لأعلى بمقدار خمسة، ولليمين بمقدار واحد. لكن لأن موضع الجزء المقطوع من المحور ﺹ قريب من حافة المستوى الإحداثي الذي لدينا، يمكننا عكس هذين الاتجاهين حسب الحاجة لإيجاد نقطة على الخط المستقيم على يسار صفر، سبعة. إذن سنتحرك لأسفل بمقدار خمسة ولليسار بمقدار واحد. لقد وجدنا نقطة على الخط المستقيم إحداثياها هما ﺱ يساوي سالب واحد وﺹ يساوي اثنين.

وأخيرًا: نصل هاتين النقطتين بعضهما ببعض لرسم الخط المستقيم ﺹ يساوي خمسة ﺱ زائد سبعة. يمكننا أن نلاحظ أن كلا الخطين المستقيمين يحتويان على النقطة سالب اثنين، سالب ثلاثة. هذه هي نقطة تقاطعهما، وهو ما يعنى أن ﺱ يساوي سالب اثنين وﺹ يساوي سالب ثلاثة يحققان كلتا المعادلتين.

يمكننا التحقق من أن هذين الإحداثيين يحققان كلتا المعادلتين بالتعويض بـ ﺱ يساوي سالب اثنين. نلاحظ أن كلتا المعادلتين تعطي ﺹ يساوي سالب ثلاثة. وبما أن المعادلتين صحيحتان، فإن هذا يؤكد صحة الحل الذي توصلنا إليه عن طريق التمثيل البياني. ومن ثم فإن ﺱ يساوي سالب اثنين وﺹ يساوي سالب ثلاثة يحققان كلتا المعادلتين. ويمكننا القول إن النقطة التي تحقق كلتا المعادلتين هي النقطة سالب اثنين، سالب ثلاثة.

ارسم المعادلتين الآنيتين بيانيًّا: ﺹ يساوي اثنين ﺱ زائد سبعة، ﺹ يساوي اثنين ﺱ ناقص أربعة، ثم حل هذا النظام.

نتذكر أن نقاط تقاطع الخطين المستقيمين لكلتا المعادلتين تعطينا حلول نظام المعادلتين. وهذا يعني أنه يمكننا حل النظام برسم كلتا المعادلتين على مستوى إحداثي واحد. وبما أن هاتين المعادلتين خطيتان ومعطاتان بصيغة الميل والمقطع، فإننا سنرسم خطيهما المستقيمين باستخدام الميل والجزء المقطوع من المحور ﺹ للمعادلتين.

سنبدأ بالمعادلة الأولى، وهي ﺹ يساوي اثنين ﺱ زائد سبعة. نلاحظ أن اثنين هو معامل ﺱ، وسبعة هو الحد الثابت. وهذا يعني أن اثنين هو الميل وسبعة هو الجزء المقطوع من المحور ﺹ. لذا نرسم الجزء المقطوع من المحور ﺹ للخط المستقيم الأول عند سبعة. الخط المستقيم الثاني له نفس ميل الخط المستقيم الأول، ولكن له جزء مقطوع من المحور ﺹ مختلف، وهو سالب أربعة.

الآن، نتذكر أن الميل هو التغير في ﺹ بالنسبة إلى التغير في ﺱ. ومن ثم يمكن تفسير الميل الذي قيمته اثنان بأنه إضافة اثنين إلى الإحداثي ﺹ وإضافة واحد إلى الإحداثي ﺱ. لإيجاد نقطة أخرى على الخط المستقيم الثاني، نتحرك لأعلى بمقدار اثنين ولليمين بمقدار واحد. بعد ذلك، لرسم التمثيل البياني للخط المستقيم ﺹ يساوي اثنين ﺱ ناقص أربعة، نرسم خطًّا مستقيمًا يصل نقطة التقاطع مع المحور ﺹ بالنقطة الجديدة. هذا هو الخط المستقيم المعطى بالمعادلة ﺹ يساوي اثنين ﺱ ناقص أربعة.

بما أن الخط المستقيم الأول له نفس ميل الخط المستقيم الثاني، إذن يمكننا رسم التمثيل البياني للخط المستقيم الأول برسم خط مستقيم مواز يمر بالجزء المقطوع من المحور ﺹ، وهو سبعة. هذا هو الخط المستقيم المعطى بالمعادلة ﺹ يساوي اثنين ﺱ زائد سبعة. وبما أن هذين الخطين المستقيمين متوازيان، فإننا نعلم أنه لا توجد نقاط تقاطع، ومن ثم فإن هذا النظام ليس له حلول.

في الواقع، كان بإمكاننا توفير الجهد المبذول في رسم الخطين المستقيمين من خلال النظر بعناية إلى معادلتي الخطين المستقيمين. يمكننا أن نلاحظ أن كلا الخطين المستقيمين لهما الميل نفسه، لكن يقطعان جزأين مختلفين من المحور ﺹ. وهذا يخبرنا بأن هذين الخطين المستقيمين متوازيان، ولهما نفس الميل. ويخبرنا بأن الخطين المستقيمين مختلفان؛ فهما يمران بجزأين مقطوعين من المحور ﺹ مختلفين. ومن ثم فإن الخطين المستقيمين لا يتقاطعان، ولا توجد حلول للنظام.

في الأمثلة التي تناولناها حتى الآن، رأينا احتمالين. أولًا: يمكن أن يتقاطع الخطان المستقيمان عند نقطة واحدة، وفي هذه الحالة يوجد حل واحد لنظام المعادلات الخطية. نسمي ذلك نظامًا مستقلًّا من المعادلات الخطية. ثانيًا: يمكن أن يكون الخطان المستقيمان متوازيين، إذا كان لهما نفس الميل لكنهما يقطعان جزأين مختلفين من المحور ﺹ. وفي هذه الحالة لا يوجد حل لنظام المعادلات الآنية؛ لأن الخطين المستقيمين لن يتقاطعا أبدًا. ونسمي ذلك نظامًا غير متسق من المعادلات. تعد الأنظمة التي لها حل واحد على الأقل أنظمة متسقة، كما هو الحال في الحالة الأولى.

في الواقع، يوجد خيار ثالث. دعونا نفترض أن المطلوب منا هو حل نظام المعادلتين: ﺹ يساوي اثنين ﺱ ناقص أربعة، وأربعة ﺱ ناقص اثنين ﺹ يساوي ثمانية. إذا رسمنا هذين الخطين المستقيمين، فسنلاحظ أن هاتين المعادلتين تصفان الخط المستقيم نفسه بالضبط. وهذا لأننا إذا كتبنا المعادلة الثانية بصيغة الميل والمقطع، فسنحصل على ﺹ يساوي اثنين ﺱ ناقص أربعة. وهذا يعني أن المعادلة الثانية طريقة مكافئة لكتابة معادلة الخط المستقيم الأول. في هذه الحالة، يوصف الخطان المستقيمان بأنهما منطبقان. يقع أحدهما على الآخر تمامًا. ومن ثم فإن كل نقطة على هذا الخط المستقيم الممتد إلى ما لا نهاية ستحقق نظام المعادلات الخطية. ومن ثم نقول إن هناك عددًا لا نهائيًّا من الحلول. نسمي هذا النظام نظامًا غير مستقل من المعادلات الخطية، ويعتبر النظام أيضًا متسقًا؛ لأن هذا النوع من الأنظمة له حلول.

حسنًا، هذه هي الخيارات الثلاثة لحل زوج من المعادلات الخطية الآنية بيانيًّا.

دعونا نراجع النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. أولًا: لاحظنا أنه يمكن حل أنظمة المعادلات الخطية برسم تمثيلاتها البيانية وتحديد نقاط إحداثيات تقاطعها. لكننا لاحظنا أيضًا أنه ليس كل الخطوط المستقيمة تتقاطع. توجد ثلاثة احتمالات؛ الاحتمال لأول: أن تتقاطع الخطوط المستقيمة عند نقطة واحدة، وهو ما يعني أن هناك حلًّا واحدًا يتكون من إحداثي ﺱ وإحداثي ﺹ. الاحتمال الثاني: أن يكون الخطان المستقيمان متوازيين. ولا يتقاطعان أبدًا، ومن ثم لا توجد أي حلول. الاحتمال الثالث: أن يكون الخطان المستقيمان منطبقين، وفي هذه الحالة يوجد عدد لا نهائي من الحلول لنظام المعادلات الخطية.