فيديو الدرس: مساحة سطح الهرم الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعلم كيف نحسب مساحة السطح الجانبية والكلية للهرم. سنتذكر تعريف الهرم، وكيف نوجد مساحة سطحه، ثم سنلقي نظرة على كيفية حل بعض المسائل النموذجية التي تتضمن ذلك.

لنبدأ بالتفكير في مفهوم الهرم. الأشكال الهرمية هي أشكال ثلاثية الأبعاد قاعدتها على شكل مضلع، فعلى سبيل المثال، قد تكون إما مثلثًا، أو مربعًا، أو حتى شكلًا خماسيًا. وجميع الأوجه الأخرى مثلثات تلتقي عند القمة. في الشكل الأول، لدينا هرم ذو قاعدة مربعة. وفي الشكل الثاني، لدينا هرم ذو قاعدة مثلثة. وفي الشكل الثالث، لدينا هرم ذو قاعدة خماسية الشكل.

في هذا الفيديو، سنركز على الأشكال الهرمية ذات القواعد المربعة، والمستطيلة، والمثلثة. سنتناول أيضًا نوعين محددين من الأشكال الهرمية، وهما الأشكال الهرمية القائمة والمنتظمة. الهرم القائم هو الهرم الذي توجد قمته أعلى مركز القاعدة مباشرة. في حين أن الهرم المنتظم هو هرم قائم قاعدته على شكل مضلع منتظم. بعد ذلك، دعونا نلخص تعريف مساحة السطح. مساحة السطح هي المساحة الكلية لشكل ثلاثي الأبعاد. على سبيل المثال، إذا أردنا إيجاد مساحة السطح لهذا المكعب، يمكننا إجراء ذلك بسهولة أكبر عن طريق تصور شبكة المكعب.

إذن لإيجاد مساحة سطح المكعب، سنوجد مساحة الأوجه الستة كل على حدة ثم نجمعها معًا. وعند إيجاد مساحة السطح لشكل ثلاثي الأبعاد، فإن الوحدات ستكون وحدات مربعة. من المهم أن نتذكر أن مساحة السطح مختلفة عن الحجم، على الرغم من أن كليهما يتضمن أشكالًا ثلاثية الأبعاد. عند إيجاد الحجم، نحسب مقدار الحيز الذي يشغله الجسم من الفراغ. أما عند إيجاد مساحة السطح، فإننا نحسب المساحة الكلية لكل وجه من الأوجه على حدة.

والآن، هيا نلق نظرة على الهدف الرئيسي لهذا الفيديو. وهو كيفية إيجاد مساحة سطح الهرم. ها هو هرم نموذجي ذو قاعدة مربعة. لإيجاد مساحة السطح، علينا إيجاد مساحة القاعدة المربعة ثم مساحة المثلث الخلفي. ونوجد كذلك مساحة المثلثين الجانبيين ثم مساحة المثلث الأمامي، ثم نجمع كل ذلك معًا. في الواقع، هذا الشكل غير واضح بعض الشيء ويصعب التعامل معه. لذا في بعض الأحيان، قد يجعل رسم الشبكة الأمور أبسط.

بمجرد رسم الشبكة، يمكننا أن نلاحظ أن هناك مربعًا وأربعة مثلثات. يمكننا بعد ذلك إضافة أي معلومات معطاة عن أبعاد الهرم. يجب أن ننتبه جيدًا إلى ارتفاع الهرم. وعندما نتعامل مع مساحة سطح الهرم، فإن أحد الأمور التي قد تكون مطلوبة منا هو مساحة السطح الجانبية. وهي المساحة الكلية للأوجه الجانبية فقط باستثناء القاعدة. في هذا الهرم ذي القاعدة المربعة، ستتمثل هذه المساحة في مساحة المثلثات الجانبية الأربعة فقط، لكنها لا تتضمن مساحة القاعدة المربعة.

عند تضمين مساحة القاعدة، فإننا نشير بذلك إلى مساحة السطح الكلية. إذن، لإيجاد مساحة السطح الكلية لهذا الهرم ذي القاعدة المربعة، نحسب المساحات الكلية للمثلثات الأربعة زائد مساحة القاعدة المربعة. وعندما نتناول أسئلة تتضمن مساحة السطح لهرم ما، علينا أن نتحقق مما إذا كانت كلمة «جانبية» موجودة أم لا.

والآن، لنلق نظرة على بعض الأسئلة.

إذا طوي الشكل التالي ليشكل هرمًا رباعيًا، فأوجد مساحة سطحه الجانبية.

لدينا هنا شبكة هرم رباعي. إذا طوينا هذه الشبكة لتشكل هرمًا، فسيكون لدينا قاعدة مربعة وأربعة أوجه جانبية مثلثة الشكل. مطلوب منا هنا إيجاد مساحة السطح الجانبية. هذا يعني أننا سنوجد مساحة المثلثات الأربعة ثم نجمعها معًا. ولا تعنينا مساحة القاعدة المربعة في هذا الهرم. وبما أننا نعلم أن هذا مربع، فإننا نعلم أن جميع أطوال الأضلاع الأربعة الموجودة في القاعدة متطابقة. وبذلك سيكون لدينا أيضًا أربعة مثلثات متطابقة.

لإيجاد مساحة أحد هذه المثلثات، نعلم من معطيات السؤال أن طول القاعدة يساوي ١٤ سنتيمترًا وأن الارتفاع يساوي ١٥ سنتيمترًا. ولإيجاد مساحة أي مثلث، نحسب نصفًا مضروبًا في طول القاعدة مضروبًا في الارتفاع. إذن لأحد هذه المثلثات، الذي طول قاعدته ١٤ وارتفاعه ١٥، سنحصل على نصف مضروبًا في ١٤ مضروبًا في ١٥. يمكن تبسيط ذلك إلى سبعة في ١٥، ما يعطينا ١٠٥. والوحدة هنا ستكون بالسنتيمترات المربعة؛ حيث إننا نتعامل مع مساحة.

ها قد أوجدنا مساحة مثلث واحد، ومن ثم يمكننا إيجاد مساحة السطح الجانبية عن طريق جمع مساحات المثلثات الأربعة معًا. وبما أن هذه المثلثات متطابقة، فهذا يعني أننا سنحسب أربعة في ١٠٥، وهو ما يساوي ٤٢٠ سنتيمترًا مربعًا. إذن هذه هي مساحة السطح الجانبية، وتذكر أننا لم نحتج إلى حساب مساحة القاعدة المربعة.

لنلق نظرة الآن على سؤال آخر يتضمن هرمًا رباعيًا.

أوجد مساحة سطح الهرم الرباعي الموضح، إذا كانت جميع أوجهه المثلثية متطابقة.

في هذا الهرم الرباعي، يمكننا ملاحظة أن له قاعدة مربعة الشكل أبعادها ٣٧ بوصة في ٣٧ بوصة. ونلاحظ أيضًا أن له أربعة أوجه جانبية مثلثة الشكل. لدينا ارتفاع المثلث، وهو ٤٤ بوصة. ونعلم من رأس السؤال أن هذه المثلثات الأربعة جميعها متطابق. مطلوب منا حساب مساحة سطح هذا الهرم. ويمكننا ملاحظة أن الشبكة المرسومة هنا ستسهل علينا الأمر قليلًا. لإيجاد مساحة سطح أي هرم، نوجد مساحة جميع الأوجه الجانبية ونجمعها مع مساحة القاعدة. إذن في هذا المثال، علينا إيجاد مساحة المثلثات الأربعة ثم جمعها مع مساحة المربع.

هيا نبدأ بإيجاد مساحة أحد هذه المثلثات. نتذكر أن مساحة المثلث تساوي نصفًا مضروبًا في طول القاعدة مضروبًا في الارتفاع. في هذا المثلث، لدينا قاعدة طولها ٣٧، وارتفاع طوله ٤٤. إذن نحسب نصفًا مضروبًا في ٣٧ مضروبًا في ٤٤. يمكننا تبسيط هذه العملية الحسابية إلى ٣٧ في ٢٢، وهو ما يعطينا الناتج ٨١٤ بوصة مربعة. لاحقًا، يمكننا ضرب هذا الناتج في أربعة لإيجاد مساحة المثلثات الأربعة. لكن دعونا الآن نتابع لنوجد مساحة المربع.

يمكننا أن نتذكر أن مساحة المربع تساوي طول الضلع مضروبًا في نفسه، أي ٣٧ في ٣٧. وبهذا، تكون مساحة المربع ١٣٦٩ بوصة مربعة. لاحظ أنه على الرغم من أننا نتعامل مع أشكال ثلاثية الأبعاد، فإن الوحدات هنا ستكون وحدات مربعة؛ لأننا ما زلنا نتعامل مع مساحة. الوحدة المكعبة تشير إلى الحجم. وأخيرًا، لإيجاد مساحة السطح الكلية، لدينا مساحة المثلثات الأربعة، وهي أربعة مضروبًا في ٨١٤، زائد مساحة المربع، وهي ١٣٦٩. يمكننا حساب ذلك ليصبح لدينا ٣٢٥٦ زائد ١٣٦٩، ما يعطينا إجابة نهائية تساوي ٤٦٢٥ بوصة مربعة، وهي مساحة سطح الهرم.

في السؤال التالي، سنرى مثالًا ليس لدينا فيه جميع الأبعاد التي نحتاج إليها، ومن ثم علينا استخدام نظرية فيثاغورس.

أوجد مساحة السطح الكلية للشبكة الآتية، لأقرب جزء من مائة.

يمكننا أن نرى أن الشبكة هنا مكونة من مربع وأربعة مثلثات. عند تشكيلها على هيئة شكل ثلاثي الأبعاد، سيكون لدينا هرم رباعي. لإيجاد مساحة السطح الكلية للشبكة أو للهرم، علينا إيجاد مساحة المثلثات الأربعة ومساحة المربع، ثم جمعهما معًا. هيا نبدأ بإيجاد مساحة أحد هذه المثلثات. إذا نظرنا إلى قاعدة هذا المثلث، فسنلاحظ من هذه العلامات أن قاعدته متطابقة مع أضلاع المربع، ما يعني أن طولها سيساوي سنتيمترين أيضًا. لا نعرف ارتفاع المثلث، لكننا نعرف أن طول أحد الضلعين الآخرين يساوي ٣٫١ سنتيمترات.

بتمثيل هذا على أنه مثلث قائم الزاوية، يمكننا اعتبار أن الارتفاع المجهول يساوي ﺱ ثم نستخدم نظرية فيثاغورس. تنص نظرية فيثاغورس على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. إذن في هذا المثلث، لدينا طول الوتر ٣٫١، وطول مجهول يساوي ﺱ، وطول القاعدة يساوي نصف اثنين، أي واحدًا. إذن يصبح لدينا ٣٫١ تربيع يساوي ﺱ تربيع زائد واحد تربيع. بحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ، يمكننا طرح واحد تربيع من كلا الطرفين، لنحصل على ٣٫١ تربيع ناقص واحد تربيع يساوي ﺱ تربيع.

يمكننا بعد ذلك حساب القيم المربعة. ‏‏٣٫١ تربيع هو نفسه ٣٫١ في ٣٫١. وبذلك، يصبح لدينا ٩٫٦١ ناقص واحد يساوي ﺱ تربيع. إذن، ٨٫٦١ يساوي ﺱ تربيع. وبأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين، نحصل على ﺱ يساوي الجذر التربيعي لـ ٨٫٦١. وبما أننا سنستخدم قيمة ﺱ هذه في العملية الحسابية التالية، فسنحتفظ بها على صورة الجذر التربيعي بدلًا من تقريبها إلى عدد عشري. بالعودة إلى المثلث، بما أننا أوجدنا أن الارتفاع العمودي يساوي الجذر التربيعي لـ ٨٫٦١، فيمكننا إيجاد مساحته باستخدام الصيغة التي تنص على أن مساحة المثلث تساوي نصفًا مضروبًا في طول القاعدة مضروبًا في الارتفاع.

يمكننا بعد ذلك التعويض بالقيمتين في الصيغة؛ حيث إن طول القاعدة يساوي اثنين، والارتفاع يساوي الجذر التربيعي لـ ٨٫٦١. وبما أنه يمكننا اختزال نصف مضروبًا في اثنين إلى واحد، فإن مساحة المثلث تساوي جذر ٨٫٦١. والوحدة هنا هي السنتيمتر المربع. بعد ذلك، نحسب مساحة قاعدة الهرم المربعة. وبما أنها تساوي حاصل ضرب طول الضلع في نفسه، سيصبح لدينا اثنان مضروبًا في اثنين، وهو ما يساوي أربعة سنتيمترات مربعة.

لإيجاد مساحة السطح الكلية، سنضرب أربعة في مساحة المثلث ونجمعها مع مساحة المربع، ما يعطينا أربعة في الجذر التربيعي لـ ٨٫٦١ زائد أربعة. باستخدام الآلة الحاسبة، يمكننا حساب أن قيمة ذلك تساوي ١٥٫٧٣٧١٢ سنتيمترًا مربعًا وهكذا مع توالي الأرقام. ولتقريب الإجابة لأقرب جزء من مائة، نتحقق من ثالث رقم يمين العلامة العشرية لنرى ما إذا كان خمسة أو أكثر. وفي هذه الحالة، سنقرب الناتج لأعلى إلى ١٥٫٧٤ سنتيمترًا مربعًا. وهذه هي الإجابة النهائية لمساحة سطح الشبكة الكلية.

في السؤال الأخير، سنرى مثالًا لدينا فيه مساحة السطح الجانبية ومطلوب منا إيجاد مساحة السطح الكلية.

هرم رباعي مساحة سطحه الجانبية ٤٢ ياردة مربعة. إذا كان ارتفاعه الجانبي ثلاث ياردات، فأوجد مساحة سطحه الكلية.

هيا نبدأ برسم الهرم الرباعي ونكتب عليه المعطيات ذات الصلة. نعلم من رأس السؤال أن مساحة السطح الجانبية لهذا الهرم الرباعي تساوي ٤٢ ياردة مربعة. مساحة السطح الجانبية لأي هرم تساوي المساحة الكلية للأوجه الجانبية أو للمثلثات، باستثناء مساحة القاعدة. إذن مساحة السطح الجانبية لهذا الهرم الرباعي تساوي مساحة المثلث الخلفي زائد مساحة المثلثين الجانبيين زائد مساحة المثلث الأمامي. وبما أننا نعلم أن مساحة السطح الجانبية تساوي ٤٢ ياردة مربعة، فهذا يماثل قولنا إن أربعة في مساحة أحد هذه المثلثات يساوي ٤٢. ومن ثم، فإن مساحة المثلث الواحد تساوي ٤٢ مقسومًا على أربعة أو ١٠٫٥ ياردات مربعة.

يمكننا بعد ذلك ضم هذه المعلومة عن مساحة المثلث مع طول الارتفاع العمودي لإيجاد طول قاعدة هذا المثلث. إذا عرفنا ذلك، فسنتمكن من حساب مساحة القاعدة المربعة لهذا الهرم. لعلنا نتذكر أن مساحة المثلث تساوي نصفًا مضروبًا في طول القاعدة مضروبًا في الارتفاع. في هذا المثلث، المساحة تساوي ١٠٫٥، وطول قاعدته مجهول، وهو ﺏ، وارتفاعه يساوي ثلاثة. بالتبسيط، يصبح لدينا ١٠٫٥ يساوي ثلاثة أنصاف ﺏ. في خطوة إعادة الترتيب التالية، نقسم على ثلاثة أنصاف، وهو ما يساوي الضرب في ثلثين. وبذلك، نجد أن طول القاعدة ﺏ في المثلث يساوي سبع ياردات.

وبما أن طول قاعدة المثلث يساوي أيضًا طول أحد أضلاع المربع، نعرف من ذلك أن كل طول من أطوال أضلاع المربع يساوي سبع ياردات. لإيجاد مساحة أي مربع، نضرب طول الضلع في نفسه، أي سبعة في سبعة، ما يعطينا قيمة تساوي ٤٩ ياردة مربعة. وأخيرًا لإيجاد مساحة السطح الكلية، نعلم أن مساحة السطح الجانبية تساوي ٤٢ ياردة مربعة. هذه هي مساحة جميع المثلثات الأربعة التي فوق قاعدة الهرم. ومن ثم، لإيجاد مساحة السطح الكلية، علينا أن نجمع مساحة المربع مع مساحة السطح الجانبية هذه، لنحصل على قيمة تساوي ٩١ ياردة مربعة لمساحة السطح الكلية.

والآن لنلخص ما تعلمناه في هذا الفيديو. الأشكال الهرمية هي أشكال هندسية ثلاثية الأبعاد، قاعدتها على شكل مضلع، وجميع الجوانب الأخرى مثلثات تلتقي عند قمة الهرم. ورأينا أنه يوجد فرق بين مساحة السطح الجانبية ومساحة السطح الكلية للهرم. مساحة السطح الجانبية هي مساحة الأوجه الجانبية فقط ولا تتضمن القاعدة، في حين أن مساحة السطح الكلية تساوي مساحة كل الأوجه بما في ذلك القاعدة. عرفنا أيضًا أن مساحة السطح تقاس بالوحدات المربعة، مثل السنتيمتر المربع أو البوصة المربعة أو الياردة المربعة. وأخيرًا، رأينا أنه قد يكون من المفيد رسم شبكة للهرم. وذلك يتيح لنا تصور كل وجه بوضوح كي نتمكن من إيجاد جميع المساحات كل على حدة قبل جمعها معًا.