فيديو السؤال: حساب مجموع متسلسلة هندسية منتهية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

مجموع حدود المتتابعة يسمى المتسلسلة. المتسلسلة الهندسية هي مجموع المتتابعة الهندسية. يمكن كتابة المتسلسلة الهندسية التي عدد حدودها ﻥ كالتالي: ﺟﻥ يساوي ﺃ زائد ﺃﺭ زائد ﺃﺭ تربيع زائد ﺃﺭ تكعيب، وهكذا دواليك إلى أن تصل إلى ﺃﺭ أس ﻥ ناقص واحد، حيث ﺃ هو الحد الأول، وﺭ هو أساس المتتابعة الهندسية، أي العدد الذي تضرب فيه حدًا للحصول على الحد التالي في المتتابعة، لكن ﺭ لا يمكن أن يساوي واحدًا.

قبل أن نتناول المسألة، سنلقي نظرة على هذه العبارة التي تنص على أن ﺭ لا يمكن أن يساوي واحدًا. لا يمكن لأساس المتتابعة الهندسية أن يساوي واحدًا، لأنه إذا كان كذلك، فسيكون لديك متتابعة بهذا الشكل، ما يعني أنه إذا كان لديك ﺃ، وﺃ في واحد، وﺃ في واحد تربيع، وﺃ في واحد تكعيب، فدائمًا سيكون ناتج كل منها هو ﺃ، إذن كل حد سيكون ﺃ، وبالتالي لن تكون متتابعة، بل مجرد تكرار لعدد.

حسنًا، لنتناول الآن الجزء الأخير من المسألة: أوجد مجموع الحدود الستة الأولى لمتسلسلة هندسية فيها ﺃ يساوي ٢٤، وﺭ يساوي نصفًا. لنتمكن من حل هذه المسألة، علينا استخدام هذه الصيغة، التي تنص على أن مجموع أول عدد ﻥ من الحدود يساوي ﺃ في واحد ناقص ﺭ مرفوعًا للقوة ﻥ، على واحد ناقص ﺭ، مع التذكير مجددًا بالمعلومة المعطاة بأن ﺭ لا يمكن أن يساوي واحدًا.

وقد ناقشنا أحد أسباب عدم إمكانية ذلك بالنظر إلى كل حد من حدود المتتابعة، وبالنظر إلى المعادلة كذلك. فالمقام واحد ناقص ﺭ سيساوي صفرًا، ومن الواضح أن هذا غير ممكن، إذ إنه لن يعطينا حلًا حقيقيًا.

عند حل مسألة كهذه، سنستخدم صيغة. أود أن أكتب القيم التي لدينا والقيم التي نبحث عنها. بداية، نعلم أن ﺃ يساوي ٢٤، إذن أول حد هو ٢٤. لدينا أيضًا ﺭ يساوي نصفًا، ومن ثم فنحن نعلم أن أساس المتتابعة الهندسية يساوي نصفًا. سيكون علينا أيضًا إيجاد قيمة ﻥ، كما نرى في الصيغة، وبالتالي فإن ﻥ يساوي ستة لأن هذا هو عدد الحدود.

وإذا تأملنا المسألة، فإنها تقول الحدود الستة الأولى. وأخيرًا، مجموع الحدود الستة الأولى، الذي نكتبه بالرمز ﺟ ستة، هو ما نريد إيجاده في المسألة.

والآن بعد أن حصلنا على القيم، يمكننا التعويض بها في الصيغة لإيجاد مجموع الحدود الستة الأولى، فيصبح لدينا ﺟ ستة أو مجموع الحدود الستة الأولى يساوي ٢٤ في واحد ناقص نصف أس ستة، على واحد ناقص نصف.

ثم نبسط ذلك، فيصبح لدينا ١٨٩ على ثمانية على نصف، أي ١٨٩ على أربعة، إذ نتذكر معلومة سريعة مفادها أن القسمة على نصف كالضرب في اثنين. وأخيرًا، يمكن تبسيط ذلك بالتحويل إلى عدد كسري، لنحصل على مجموع الحدود الستة الأولى للمتسلسلة الهندسية، وهو ٤٧ وربع.

مرة أخرى يرجع السبب في أن الناتج هو ٤٧ وربع إلى أن العدد أربعة يتكرر في العدد ١٨٩، ٤٧ مرة، ويتبقى واحد، فنحصل على ٤٧ وربع.