فيديو السؤال: إيجاد المشتقة الأولى لدالة باستخدام الاشتقاق اللوغاريتمي | نجوى فيديو السؤال: إيجاد المشتقة الأولى لدالة باستخدام الاشتقاق اللوغاريتمي | نجوى

فيديو السؤال: إيجاد المشتقة الأولى لدالة باستخدام الاشتقاق اللوغاريتمي الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في حصص الرياضيات المباشرة على نجوى كلاسيز وتعلم المزيد حول هذا الدرس من أحد مدرسينا الخبراء!

أوجد ﺩﺹ‏/‏ﺩﺱ إذا كان ﺹ = (٦ﺱ^٩ + ٧)^(٨ﺱ).

٠٧:٠٩

نسخة الفيديو النصية

أوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ، إذا كان ﺹ يساوي ستة ﺱ أس تسعة زائد سبعة الكل أس ثمانية ﺱ.

مطلوب منا في هذا السؤال إيجاد المشتقة بالنسبة إلى ﺱ للدالة المركبة ﺹ يساوي ستة ﺱ أس تسعة زائد سبعة الكل أس ثمانية ﺱ. وإذا كان الأس في هذه الدالة عددًا ثابتًا، فيمكننا استخدام قاعدة السلسلة. لكن الأس هنا هو دالة في ﺱ، مما يعني أنه لا يمكننا تطبيق أي قاعدة من قواعد الاشتقاق المعتادة هنا. لذا علينا أن نجرب طريقة أخرى لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. وفي الواقع، يمكننا استخدام طريقة تسمى الاشتقاق اللوغاريتمي.

تتمثل هذه الطريقة في أنه إذا كان لدينا ﺹ يساوي ﺩﺱ، فإننا نحسب اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين. وتذكر أن اللوغاريتم الطبيعي هو لوغاريتم للأساس ﻫ، حيث ﻫ عدد أويلر الذي يساوي ٢٫٧١٨٢٨ لأقرب خمس منازل عشرية. ثم باستخدام حقيقة أن اللوغاريتمات تحول القوى إلى حاصل ضرب وتحول حاصل الضرب إلى مجاميع، فإننا نستخدم قوانين اللوغاريتمات لفك الأقواس. ومن ثم، يتفكك المقدار الذي لدينا إلى أجزاء يسهل اشتقاقها. وبعد الانتهاء من الاشتقاق، سيمكننا إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. لذا، دعونا نطبق هذه الخطوات على ما لدينا هنا.

خطوتنا الأولى هي حساب اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين. مع ذلك، لا بد من الإشارة هنا إلى أن هذا ينطبق فقط عندما يكون ﺹ أكبر من صفر. وتذكر أن لوغاريتم صفر غير معرف، وأن دالة اللوغاريتم غير موجودة عند القيم السالبة. ولكي تشمل القيم السالبة، يمكننا حساب اللوغاريتم الطبيعي للقيم المطلقة للطرفين. ومن ثم، يمكننا تحديد أن ﺹ لا يساوي صفرًا. لكن في هذه الحالة، سنحدد أن ﺹ أكبر من صفر. وبذلك نستطيع أن نحسب اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين، وخطوتنا الثانية هي استخدام قوانين اللوغاريتمات لفك الأقواس.

في هذه الحالة، بما أن المقدار يتضمن أسًّا، فعلينا استخدام قاعدة القوة للوغاريتمات. تنص هذه القاعدة على أن لوغاريتم ﺃ أس ﺏ يساوي ﺏ في لوغاريتم ﺃ. وهذا يعني أننا سنكتب الأس أمام اللوغاريتم. الأس هو ثمانية ﺱ، لذا، لدينا في الطرف الأيسر ثمانية ﺱ في لوغاريتم ستة ﺱ أس تسعة زائد سبعة. وعلى الرغم من أن ذلك يبدو معقدًا إلى حد كبير، ففي الواقع، يمكننا اشتقاق كلا الطرفين. في الطرف الأيسر، يمكننا استخدام قاعدة السلسلة وقاعدة الضرب. وفي الطرف الأيمن، سنستخدم الاشتقاق الضمني. وتذكر أننا نستخدم الاشتقاق الضمني عند اشتقاق دالة في ﺹ، وليس ﺹ فقط في طرف بمفرده. وفي هذه الحالة، لدينا اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ، وهو نفسه دالة في ﺱ.

إذن، بوجه عام، إذا كانت لدينا الدالة ﺭ التي هي دالة في ﺹ الذي هو دالة في ﺱ، فإننا نستخدم قاعدة السلسلة لإيجاد ﺩﺭ على ﺩﺱ، الذي يساوي ﺩﺭ على ﺩﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ. وسنستخدم أيضًا النتيجة التي توضح أن ﺩ على ﺩﻉ للوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ يساوي واحدًا على ﻉ عندما يكون ﻉ أكبر من صفر. وباستخدام الترميز ﺩ شرطة يساوي ﺩﺩ على ﺩﺱ، فإن قاعدة الضرب للاشتقاق تنص على أن مشتقة حاصل ضرب ﺩﺭ تساوي ﺩ شرطة ﺭ زائد ﺩﺭ شرطة. إذن، في الطرف الأيمن، بما أن ﺭ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ، وباستخدام نتيجة اللوغاريتمات، نحصل على مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ التي تساوي واحدًا على ﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ.

والآن، علينا اشتقاق الطرف الأيسر. في الطرف الأيسر، إذا افترضنا أن ﻉ يساوي ثمانية ﺱ، وﻕ يساوي ستة ﺱ أس تسعة زائد سبعة، وﻭ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻕ، فإن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي ثمانية، وﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي ٥٤ في ﺱ أس ثمانية، حيث استخدمنا هنا قاعدة القوة للاشتقاق. والتي توضح أنه إذا كان لدينا دالة ما تساوي ﺃ في ﺱ أس ﻥ، فإن المشتقة بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻥﺃﺱ أس ﻥ ناقص واحد. إذن، نضرب في الأس ونطرح واحدًا من الأس.

ولاشتقاق ﻭ بالنسبة إلى ﺱ، نستخدم حقيقة أن ﻭ هو دالة في ﻕ الذي هو دالة في ﺱ، وعليه، نستخدم قاعدة السلسلة. وبما أن ﻭ هو اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻕ، سنستخدم نتيجة اللوغاريتمات. من ثم، نحصل على ﺩﻭ على ﺩﻕ يساوي واحدًا على ﻕ، وﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي ٥٤ﺱ أس ثمانية، وهو ما حسبناه للتو. وبما أن واحدًا على ﻕ يساوي واحدًا على ستة ﺱ أس تسعة زائد سبعة، فإن ﺩﻭ على ﺩﺱ يساوي ٥٤ﺱ أس ثمانية على ستة ﺱ أس تسعة زائد سبعة. وفي هذه المرحلة، يمكن تطبيق قاعدة الضرب على حاصل الضرب ﻉ في ﻭ.

وفي قاعدة الضرب، إذا افترضنا أن ﻉ هو ﺩ وﻭ هو ﺭ، فما علينا إيجاده هو ﻉ شرطة ﻭ زائد ﻉﻭ شرطة. والآن، لنفرغ بعض المساحة. في الطرف الأيسر، نريد ﻉ شرطة في ﻭ، أي ثمانية في اللوغاريتم الطبيعي لستة ﺱ أس تسعة زائد سبعة، زائد ﻉ في ﻭ شرطة، ما يساوي ثمانية ﺱ في ٥٤ﺱ أس ثمانية على ستة ﺱ أس تسعة زائد سبعة. ولدينا العامل المشترك ثمانية، الذي يمكن أن ننقله للخارج. وبحساب حاصل الضرب في الحد الثاني، يصبح أس ﺱ يساوي تسعة.

والآن، تذكر أننا نحاول إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. والخطوة الرابعة في الاشتقاق اللوغاريتمي هي إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. وبما أن لدينا واحدًا على ﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ في الطرف الأيمن، يمكننا ضرب الطرفين في ﺹ. وسيحذف ﺹ من الطرف الأيمن. وبذلك يصبح لدينا ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ثمانية في ﺹ مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لستة ﺱ أس تسعة زائد سبعة زائد ٥٤ﺱ أس تسعة على ستة ﺱ أس تسعة زائد سبعة.

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من مدرس خبير!

  • حصص تفاعلية
  • دردشة ورسائل
  • أسئلة امتحانات واقعية

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية