فيديو السؤال: تحويل الأعداد المركبة من الصورة الجبرية إلى الصورة القطبية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد مقياس العدد المركب واحد زائد ﺕ.

لنرسم المستوى المركب، حيث يحتوي محور ﺱ على جميع الأعداد الحقيقية، ويحتوي محور ﺹ على جميع الأعداد التخيلية، والأعداد الأخرى في المستوى أعداد مركبة وليست حقيقية أو تخيلية بالكامل.

يمكننا تحديد موضع العدد الذي يهمنا، وهو واحد زائد ﺕ. مقياس هذا العدد المركب هو المسافة بينه وبين مركز إحداثيات المستوى المركب، وهو الصفر. إذن رسمت القطعة المستقيمة من صفر إلى واحد زائد ﺕ.

ويمكننا رسم مثلث قائم الزاوية بضلعين طول كل منهما واحد. ومن ثم وفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن طول القطعة المستقيمة بين صفر وواحد زائد ﺕ، وهي المسافة من صفر إلى واحد زائد ﺕ، هي الجذر التربيعي لواحد تربيع زائد واحد تربيع، أي الجذر التربيعي لاثنين. مقياس العدد المركب واحد زائد ﺕ هو إذن الجذر التربيعي لاثنين.

عادة يكون مقياس العدد المركب ﺃ زائد ﺏﺕ هو الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع، ويمكننا التأكد من أن استخدام هذه الصيغة يعطينا النتيجة نفسها بالفعل، وهي الجذر التربيعي لاثنين.

لم نفرغ من حل هذه المسألة بعد؛ فعلينا كذلك إيجاد سعة هذا العدد المركب. سعة العدد المركب هي قياس الزاوية بين العدد المركب ومحور الأعداد الحقيقية الموجبة.

ولدينا بالفعل مثلث قائم الزاوية مرسوم وموضح عليه طول الضلع المقابل وطول الضلع المجاور، وهو «واحد» للضلعين. ومن ثم فإن القياس 𝜃 لهذه الزاوية هو الدالة العكسية للظل واحد على واحد، والذي يمكننا إيجاده بالاستعانة بالآلة الحاسبة مع ضبطها على نظام الراديان، وسنجد أنها تعطينا 𝜋 على أربعة راديان.

عادة ما تكون سعة العدد المركب ﺃ زائد ﺏﺕ هي الدالة العكسية للظل ﺏ على ﺃ إذا كان ﺃ أكبر من الصفر، والدالة العكسية للظل ﺏ على ﺃ زائد 𝜋 إذا كان ﺃ أقل من الصفر.

الجزء الأخير من السؤال، إذن، هو: اكتب العدد المركب واحد زائد ﺕ في الصورة القطبية. الصورة القطبية للعدد المركب ﻉ هي ﻝ في جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃، حيث ﻝ هو مقياس العدد المركب ﻉ و𝜃 هي السعة. وكما أوجدنا في الجزء الأول من الحل، فإن مقياس واحد زائد ﺕ هو الجذر التربيعي لاثنين وسعة واحد زائد ﺕ هي 𝜋 على أربعة، فإيجاد الصورة القطبية لواحد زائد ﺕ ما هي إلا تعويض بهذه القيم. إذن توصلنا إلى أن العدد المركب واحد زائد ﺕ في الصورة القطبية هو جذر اثنين في جتا 𝜋 على أربعة زائد ﺕ جا 𝜋 على أربعة.

ويمكننا مباشرة التأكد من أن ذلك يمثل بالفعل واحد زائد ﺕ بفك أقواس الصورة القطبية. ربما تريد أيضًا إيجاد الدلالة الهندسية للأجزاء الحقيقية والتخيلية لهذا العدد في الصورة القطبية، أي ما هي الدلالة الهندسية لجذر اثنين في جتا 𝜋 على أربعة وجذر اثنين في جا 𝜋 على أربعة في الشكل المرسوم أمامنا في المستوى المركب.