نسخة الفيديو النصية
سنتناول في هذا الفيديو حقيقة أساسية حول زوايا المثلثات، ثم نستخدمها لحل بعض المسائل المتعلقة بها.
الحقيقة الأساسية التي علينا أن نعرفها حول زوايا المثلثات هي التالي. مجموع قياسات الزوايا الداخلية في أي مثلث يساوي ١٨٠ درجة. والزوايا الداخلية هي الزوايا الموجودة داخل المثلث. وهي المشار إلى قياساتها بـ ﺃ وﺏ وﺟ في الشكل. والآن، سنتناول إحدى الطرق لإثبات هذه الحقيقة.
سأستخدم هذا الشكل. أول ما سأفعله هو رسم خط مستقيم مواز لقاعدة المثلث. وهذا الخط الذي رسمته أعلى الشكل مواز للقاعدة. وكما ترى، وضحت ذلك باستخدام الأسهم. يعتمد إثبات الأمر على بعض الحقائق الأساسية حول الزوايا الناتجة عن قطع المستقيمات المتوازية. ولذلك أضفت هذا الخط.
أنظر أولًا إلى هذه الزاوية التي حددتها باللون الأحمر. بالنظر إلى الشكل يمكنك ملاحظة أنها تربطها علاقة خاصة بالزاوية التي قياسها ﺃ — هذه الزاوية. وتعرف هاتان الزاويتان بالزاويتين المتبادلتين داخليًا بين مستقيمين متوازيين. ولنتذكر حقيقة أساسية حول هاتين الزاويتين: إن الزاويتين المتبادلتين داخليًا متساويتان في القياس؛ وهذا يعني أن قياس هذه الزاوية يساوي قياس الزاوية الأخرى ﺃ. إذن، يمكنني الإشارة إليها بـ ﺃ. والسبب الذي سأكتبه هو أن — كما ذكرنا — الزاويتين المتبادلتين داخليًا متساويتان في القياس.
فلننتقل الآن إلى هذه الزاوية. مرة أخرى، بالنظر إلى الشكل نلاحظ أن هذه الزاوية، التي ميزتها باللون الأخضر، تربطها علاقة خاصة بالزاوية التي قياسها ﺏ. وهي العلاقة نفسها كما سبق. فهما أيضًا زاويتان متبادلتان داخليًا بين مستقيمين متوازيين. وبما أن الزاويتين المتبادلتين داخليًا متساويتان في القياس، فإن هذا يعني أنه يمكنني تسمية قياس هذه الزاوية أيضًا، وأشير إليه بالحرف ﺏ. وذلك للسبب نفسه الذي ذكرناه سابقًا، ولكن في جزء آخر من الشكل.
حسنًا. وأخيرًا، ننظر إلى هذا الجزء العلوي من الشكل. لدينا الآن الزوايا التي قياسها ﺃ وﺟ وﺏ متجاورة على خط مستقيم واحد. مرة أخرى، حقيقة أساسية حول الزوايا الواقعة على خط مستقيم واحد هي أن مجموع قياساتها ١٨٠ درجة. وما نفهمه من ذلك هو أن ﺃ زائد ﺏ زائد ﺟ — وأكتبها بهذا الترتيب — يساوي ١٨٠. تذكر أن السبب هو أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم واحد هو ١٨٠ درجة.
هذا هو ما نحاول توضيحه. نحاول توضيح أن ﺃ وﺏ وﺟ، وهي قياسات الزوايا داخل المثلث، مجموعها ١٨٠ درجة، وذلك باستخدام حقائق حول الزوايا الناتجة عن قطع المستقيمات المتوازية، وتحديدًا الزوايا المتبادلة داخليًا. وأيضًا باستخدام حقيقة أن الزوايا الواقعة على خط مستقيم واحد مجموع قياساتها ١٨٠ درجة، أثبتنا الأمر. حسنًا، فلننظر كيف يمكننا استخدام هذه الحقيقة لحل بعض المسائل.
لدينا شكل، والمطلوب هو إيجاد قياس الزاوية ﺏﺃﺟ. وهي الزاوية المتكونة عند الانتقال من ﺏ إلى ﺃ إلى ﺟ؛ وهي هذه الزاوية هنا.
هذه هي الزاوية التي نريد إيجاد قياسها. ولكن لا يمكننا الحل مباشرة لأننا لا نعرف إلا قياس زاوية واحدة في المثلث. لكن يمكننا إيجاد قياس الزاوية الأخرى في المثلث، وهي الزاوية ﺏﺟﺃ. وذلك لأنه كما تلاحظ، فإن الزاوية ﺏﺟﺃ تقع على خط مستقيم واحد مع الزاوية التي قياسها ١٦٣ درجة.
إذن، يمكننا استخدام حقيقة حول الزوايا الواقعة على خط مستقيم واحد لإيجاد قياس الزاوية ﺏﺟﺃ أولًا. ومن ثم فإن قياس الزاوية ﺏﺟﺃ هو ١٨٠ ناقص ١٦٣، ما يساوي ١٧ درجة. والسبب في ذلك، كما كتبت على الجانب، أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم واحد هو ١٨٠ درجة. يمكنني إذن تحديد قياس الزاوية ﺏﺟﺃ على الشكل. ها هو.
لدينا الآن معلومات كافية لإيجاد قياس الزاوية ﺏﺃﺟ المطلوب منا إيجادها بالأساس، وذلك لأننا نعرف أن مجموع قياسات الزوايا في المثلث ١٨٠ درجة. فإذا عرفت قياس زاويتين، يمكنني إيجاد قياس الثالثة. إذن، لإيجاد قياس الزاوية ﺏﺃﺟ، نحسب ١٨٠ ناقص ١٠٠ ناقص ١٧. ويعني ذلك أننا سنطرح قياسي زاويتي المثلث الأخريين. فنحصل على ٦٣ درجة قياس الزاوية ﺏﺃﺟ. والسبب، كما ذكرنا، أن مجموع قياسات زوايا المثلث ١٨٠ درجة.
عادة لا يمكنك في مثل هذه المسائل إيجاد قياس الزاوية التي تريدها مباشرة. قد يكون عليك أولًا إيجاد قياسات زوايا أخرى في الشكل باستخدام الحقائق حول زوايا المثلث أو الزوايا الواقعة على خط مستقيم واحد. وبمجرد معرفة هذه القياسات، يصبح بإمكانك إيجاد قياس الزاوية التي تريدها.
وهنا مسألة أخرى.
لدينا شكل مثلث. والمطلوب منا هو إيجاد قيمة ﺱ. بالنظر إلى الشكل، يمكنك ملاحظة أن قياسات زوايا المثلث الثلاث ممثلة بدلالة هذا المتغير المجهول ﺱ.
وبالتفكير في طريقة لحل هذه المسألة، نجد أن علينا أن نعرف الحقيقة الأساسية حول زوايا المثلث. وهي أن مجموع قياسات زوايا المثلث ١٨٠ درجة. فكر إذن في طريقة لحل المسألة باستخدام هذه الحقيقة. حسنًا، نحن لا نعرف قياسات الزوايا بالصورة العددية، ولكننا نعرفها بدلالة هذا الحرف المجهول ﺱ.
إذن يمكننا كتابة معادلة. سنجمع قياسات الزوايا المختلفة في هذا المثلث. إذن، ﺱ زائد اثنين ﺱ ناقص ١٠، زائد ﺱ زائد ٣٠، وبجمعها لا بد أن يكون الناتج ١٨٠ درجة. لدينا إذن معادلة، أو شكل أولي لمعادلة، يمكننا استخدامها لإيجاد قيمة ﺱ.
ما علي فعله الآن هو تبسيط هذه المعادلة. بالنظر إلى الطرف الأيمن، نجد لدينا ﺱ زائد اثنين ﺱ زائد ﺱ، وإجمالي ذلك أربعة ﺱ. ثم لدينا سالب ١٠ زائد ٣٠، وإجمالي ذلك موجب ٢٠. وبتبسيط هذه المعادلة، يصبح لدينا أربعة ﺱ زائد ٢٠ يساوي ١٨٠. والآن علينا حل المعادلة. الخطوة الأولى هي طرح ٢٠ من كلا الطرفين. فنحصل على أربعة ﺱ يساوي ١٦٠.
ثم لإيجاد قيمة ﺱ، علينا قسمة كلا طرفي المعادلة على أربعة. وبذلك نحصل على ﺱ يساوي ٤٠، وهو إذن حل هذه المسألة. تضمنت المسألة استخدام الحقيقة الأساسية حول مجموع قياسات زوايا المثلث، وأيضًا بعض المهارات الحسابية الجبرية لتكوين معادلة ثم حلها، لإيجاد قيمة الحرف المجهول ﺱ.
ننتقل الآن إلى المسألة التالية.
النسبة بين قياسات الزوايا الثلاث في مثلث هي خمسة إلى أربعة إلى تسعة. أوجد قياس أصغر زاوية.
في الأسئلة التي تتضمن نسبة، ثمة العديد من الطرق التي يمكنك استخدامها. سأشرح طريقتين منها، ومن ثم يمكنك اختيار أيهما تفضل. الطريقة الأولى طريقة جبرية، إذ نقول إننا لا نعرف قياسات هذه الزوايا، لكننا نعرف أن النسبة بينها خمسة إلى أربعة إلى تسعة. معنى ذلك أنه يمكننا كتابة قياسات هذه الزوايا بالشكل خمسة ﺱ وأربعة ﺱ وتسعة ﺱ، حيث ﺱ قيمة مجهولة. ويبقي هذا على النسبة بينها: خمسة إلى أربعة إلى تسعة.
تذكر الحقيقة الأساسية؛ وهي أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة. ومن ثم يمكنني تحويل ذلك إلى معادلة. وإذا أضفت علامة زائد بين هذه الحدود الثلاثة، سيساوي ذلك ١٨٠. وبذلك أكون قد كونت معادلة تتضمن الحرف المجهول ﺱ. ويمكننا الآن تبسيط المعادلة. خمسة ﺱ زائد أربعة ﺱ زائد تسعة ﺱ يساوي ١٨ﺱ. إذن، يصبح لدينا ١٨ﺱ يساوي ١٨٠. ولحل هذه المعادلة، علينا قسمة طرفي المعادلة على ١٨، ما يعطينا ﺱ يساوي ١٠.
تذكر أن المطلوب في رأس المسألة هو إيجاد قياس أصغر زاوية. وأصغر زاوية هي هذه التي قياسها أربعة ﺱ، وهي الزاوية التي قياسها ممثل بأقل أجزاء النسبة. ولإيجاد قياس أصغر زاوية، علينا ضرب ﺱ في أربعة. لدينا إذن أربعة ﺱ. أربعة في ١٠ يساوي ٤٠. يعطينا هذا حل المسألة، وهو أن قياس أصغر زاوية يساوي ٤٠ درجة.
وكانت هذه إحدى طرق الحل: التعامل مع المسألة باعتبارها مسألة جبرية وتكوين معادلة. الطريقة الأخرى للتفكير في مسائل النسب هي التفكير في أجزاء النسبة. لدينا النسبة خمسة إلى أربعة إلى تسعة. بجمعها معًا: خمسة زائد أربعة زائد تسعة يساوي ١٨. إذن، يوجد إجمالي ١٨ جزءًا متساويًا في هذه النسبة. وكما ذكرنا أكثر من مرة، مجموع قياسات الزوايا في أي مثلث هو ١٨٠ درجة. أي إن القيمة الكلية المكافئة للأجزاء الـ ١٨ هي ١٨٠. وأريد إيجاد قياس أصغر زاوية، ولذلك أريد أن أعرف القيمة المكافئة لأربعة أجزاء من النسبة.
وهناك العديد من الطرق لفعل ذلك. يمكننا إيجاد القيمة المكافئة للجزء الواحد، بالقسمة على ١٨. فنجد أن الجزء الواحد يساوي ١٠. ولإيجاد القيمة المكافئة لأربعة أجزاء، نضرب في أربعة. وبالطبع نحصل على الإجابة نفسها التي حصلنا عليها من قبل؛ وهي ٤٠ درجة. لكن ربما كان بإمكاني التعامل مع النسبة بطريقة مختلفة قليلًا.
فبدلًا من إيجاد القيمة المكافئة للجزء الواحد، كان بإمكاني إيجاد قيمة جزأين. وهذا يعني قسمة الطرفين على تسعة، ثم مضاعفة الناتج لإيجاد القيمة المكافئة لأربعة أجزاء، وهي ٤٠. إذن، لا يهم أي طريقة تفضل، سواء كانت الطريقة الجبرية التي تتضمن تكوين معادلة، أو طريقة التعامل مع النسبة بدلالة الأجزاء المتساوية، ثم القسمة، ثم الضرب مرة أخرى في الكمية القياسية المكافئة لعدد الأجزاء التي تريد معرفة قيمتها.
والآن المسألة الأخيرة لدينا.
وهي تذكر أن قياس إحدى الزوايا في مثلث متساوي الساقين هو ٥٠ درجة. فكم يمكن أن يكون قياس الزاويتين الأخريين؟
لفت انتباهي بضع كلمات في المسألة. بداية: مثلث متساوي الساقين. تذكر أن المثلث متساوي الساقين هو نوع معين من المثلثات له ضلعان متساويان في الطول. ومن حيث الزوايا، فإن اثنتين من زواياه متساويتان في القياس أيضًا. الكلمة الأخرى التي لفتت انتباهي هي كلمة «يمكن». لأنه عندما نرى هذه الكلمة، نعرف أنه ربما يكون هناك أكثر من إجابة محتملة لهذا السؤال. إذن علينا التفكير في سبب أن يكون الوضع كذلك.
دعونا نبدأ في حل المسألة. رسمت مثلثًا متساوي الساقين، وحددت ضلعين فيه متساويين في الطول عن طريق وضع هاتين الشرطتين عليهما. تذكر المسألة أن قياس إحدى الزوايا في المثلث المتساوي الساقين ٥٠ درجة. إذن ربما تكون هذه هي الزاوية التي قياسها ٥٠ درجة. وبذلك، فإن المثلث متساوي الساقين به زاويتان متساويتان في القياس، وهما زاويتا القاعدة التي يتصل عندهما الضلعان المتساويان بالضلع الثالث. فإن ذلك يعني أن هذه الزاوية لا بد أن يكون قياسها أيضًا ٥٠ درجة؛ لأن الزاويتين لا بد أن تكونا متساويتين في القياس.
وبالنسبة للزاوية الثالثة، وهي هذه هنا، فيمكننا إيجاد قياسها باستخدام الحقيقة التي نعرفها عن الزوايا في المثلث. إذا كان مجموع قياسات زوايا المثلث ١٨٠ درجة، فإن هذه الزاوية يمكن إيجاد قياسها بحساب ١٨٠ ناقص ٥٠ ناقص ٥٠، أي بطرح قياسي الزاويتين الأخريين. ومن ثم نحصل على ٨٠ درجة قياس الزاوية الثالثة. إذن ثمة احتمال واحد لقياسات الزوايا الثلاث في هذا المثلث. إذ قد تكون قياساتها ٥٠ درجة و٥٠ درجة و٨٠ درجة.
ولكن ذكرت كلمة «يمكن». وكما قلت، يعني هذا أنه ربما يكون هناك أكثر من إجابة. سأرسم الشكل مرة أخرى. ربما لا تكون الزاوية التي قياسها ٥٠ إحدى زاويتي القاعدة المتساويتين في القياس، بل تكون هي الزاوية الثالثة في المثلث. وهي هذه الزاوية هنا. والآن، نريد إيجاد قياس الزاويتين الأخريين. نعلم أن مجموع قياسات زوايا المثلث ١٨٠ درجة. وإذا طرحت ٥٠ درجة، فسيتبقى ١٣٠ درجة.
وبما أن هاتين الزاويتين متساويتان في القياس، لا بد أن يكون قياس كل منهما نصف ذلك. إذن، فإن قياس كل منهما يساوي ١٨٠ ناقص ٥٠ ثم نقسم على اثنين. وهو ما يعطينا ٦٥ درجة لقياس كل من هاتين الزاويتين. وبذلك نرى احتمالًا آخر، وهو أن تكون القياسات ٥٠ درجة، و٦٥ درجة، و٦٥ درجة لزوايا هذا المثلث. وهكذا، يصبح لدينا احتمالان.
خلاصة القول، تناولنا في هذا الفيديو الحقيقة الأساسية أن الزوايا الداخلية في أي مثلث مجموع قياساتها ١٨٠ درجة. ورأينا كيف نثبت ذلك باستخدام الحقائق حول الزوايا المتبادلة داخليًا الناتجة عن قطع مستقيمات متوازية. ثم استخدمنا هذه الحقيقة لحل بعض المسائل.
