فيديو الدرس: تحديد الدوال الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد دالة من علاقة موضحة بواسطة مجموعة من الأزواج المرتبة أو مخطط علاقات أو معادلة أو تمثيل بياني.

لعلنا نتذكر أن العلاقة أو المخطط يربط عناصر مجموعة ما بعناصر مجموعة أخرى. وإذا كانت كل قيمة مدخلة في هذا المخطط لها قيمة مخرجة واحدة فقط، فإن هذه العلاقة تسمى دالة. دعونا نبدأ بتعريف ذلك بشكل منهجي. تربط الدالة كل عنصر من مجموعة المدخلات بعنصر واحد فقط من مجموعة المخرجات. ويمكن أن تكون الدالة واحدًا إلى واحد، حيث تكون كل قيمة مدخلة لها قيمة مخرجة واحدة؛ أو أن تكون دالة متعدد إلى واحد، حيث يرتبط العديد من القيم المدخلة بالقيمة المخرجة نفسها. فإذا كانت الدالة ﺩ تربط عناصر ﺱ بـ ﺹ، فيمكننا استخدام الترميز التالي. يمكن تمثيل الدوال بواسطة أزواج مرتبة من الأعداد ومخططات سهمية ومعادلات وتمثيلات بيانية. وفي المثال الأول، سنوضح كيف نطبق تعريف الدالة هذا لمعرفة إذا ما كانت مجموعة من الأزواج المرتبة تحدد دالة أو لا.

أي علاقة من العلاقات الآتية تمثل دالة؟

في هذا السؤال، لدينا العلاقتان ﺃ وﺏ، وتتكون كلتاهما من خمسة أزواج مرتبة. دعونا نبدأ بتذكر أن الدالة هي قاعدة تربط كل عنصر في مجموعة ما بعنصر واحد فقط من عناصر مجموعة ثانية. إذا كانت لدينا مجموعة من الأزواج المرتبة (ﺱ،‏ ﺹ)، فإن القيمة المدخلة هي ﺱ والقيمة المخرجة هي ﺹ. وهذا يعني أنه لكي تمثل مجموعة من الأزواج المرتبة دالة ما، لا يمكن أن يتضمن أي زوجين من الأزواج المرتبة القيمة المدخلة نفسها مع مخرجات مختلفة. بعبارة أخرى، إذا اشترك زوج مرتب مع آخر في القيمة ﺱ نفسها، فلا بد أن تكون لكل منهما القيمة ﺹ نفسها أيضًا.

نلاحظ أن العلاقة ﺃ بها زوجان مرتبان، قيمة ﺱ في كل منهما تساوي أربعة. ولكي تمثل العلاقة ﺃ دالة، يجب أن تكون قيمتا ﺹ المناظرتان في هذين الزوجين المرتبين متماثلتين أيضًا. لكن الزوجين المرتبين هما أربعة، ١٢، وأربعة، ١٥. وبما أن قيمتي ﺹ مختلفتان، فإن العلاقة ﺃ لا يمكن أن تمثل دالة. وكذلك، تتضمن العلاقة ﺃ زوجين مرتبين، قيمة ﺱ في كل منهما تساوي خمسة. لكن قيمتي ﺹ في كل منهما مختلفتان، وهذان الزوجان المرتبان هما خمسة، ١٨، وخمسة، ٢١. إذن، نستنتج أن العلاقة ﺃ لا تمثل دالة.

تتضمن الأزواج المرتبة في العلاقة ﺏ قيمًا مختلفة لـ ﺱ، وهي الأعداد الصحيحة أربعة وخمسة وستة وسبعة وثمانية. وهذا يحقق الشرط الذي ينص على أن تربط الدالة كل عنصر في مجموعة ما بعنصر واحد فقط في مجموعة ثانية. ومن ثم، نستنتج أن العلاقة التي تمثل دالة هي العلاقة ﺏ.

يمكننا أيضًا تمثيل هذه الأزواج المرتبة على مخطط سهمي. إذا بدأنا بالعلاقة ﺃ، فسنلاحظ أن العنصرين أربعة وخمسة في عمود المدخلات أو العمود ﺱ يرتبطان بأكثر من عنصر في عمود المخرجات أو العمود ﺹ. ومن ثم، هذا المخطط السهمي لا يمكن أن يمثل دالة. ولكي يمثل المخطط السهمي دالة، يجب أن تكون كل قيمة مدخلة لها قيمة مخرجة واحدة. عندما ننظر إلى العلاقة ﺏ، فإننا نجد أن كل قيمة مدخلة، وهي الأعداد الصحيحة أربعة وخمسة وستة وسبعة وثمانية، لها قيمة مخرجة واحدة، وهي الأعداد الصحيحة ١٢ و١٥ و١٨ و٢١ و٢٤. وعلى الرغم من أن ذلك غير مطلوب في هذا السؤال، فإننا نلاحظ أن قيم ﺹ تساوي ثلاثة أمثال قيم ﺱ. وبذلك، يمكن كتابة الدالة على صورة المعادلة ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ.

في المثال الأول هذا، عرفنا أنه يمكننا تحديد إذا ما كانت العلاقة تمثل دالة أو لا باستخدام الأزواج المرتبة أو المخطط السهمي. دعونا الآن نتعرف على ما يحدث عند تمثيل العلاقة بيانيًّا. بما أنه يمكن تمثيل الدالة باستخدام مجموعة من الأزواج المرتبة، يمكننا أيضًا استخدام التمثيل البياني على أنه تمثيل مرئي للدالة. يعرف التمثيل البياني للدالة ﺩ من خلال مجموعة من الأزواج المرتبة (ﺱ،‏ ﺹ)؛ حيث ﺹ يساوي ﺩﺱ. على سبيل المثال، نفترض أن لدينا الدالة ﺩ التي تربط ﺱ بـ ﺱ تربيع. مجموعة الأزواج المرتبة التي تمثل هذه الدالة هي (ﺱ،‏ ﺱ تربيع). والتمثيل البياني للدالة هو التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺱ تربيع، كما هو موضح.

هذا مثال لدالة متعدد إلى واحد؛ لأن هناك قيمًا في مدى الدالة مرتبطة بأكثر من قيمة واحدة في المجال. على سبيل المثال، النقطتان اثنان، أربعة؛ وسالب اثنين، أربعة لهما قيمة ﺹ نفسها، ولكن مع اختلاف قيمتي ﺱ. ولتحديد إذا ما كان التمثيل البياني يمثل دالة أو لا، نستخدم اختبار المستقيم الرأسي. ولإجراء اختبار المستقيم الرأسي، نبدأ برسم مستقيم مواز للمحور ﺹ. إذا كان المستقيم الرأسي يتقاطع مع المنحنى أكثر من مرة، فإن التمثيل البياني لا يمثل دالة. أما إذا كان المستقيم يتقاطع مع المنحنى مرة واحدة فقط لمجموعة من المدخلات، فإن التمثيل البياني يمثل دالة.

دعونا الآن نتناول مثالين. في الشكل الأول، نلاحظ أن المستقيم الرأسي يتقاطع مع المنحنى مرتين. وهذا يعني أن هذا التمثيل البياني لا يمثل دالة. لكن في الشكل الثاني، يتقاطع أي مستقيم رأسي مع المنحنى مرة واحدة فقط. وهذا يعني أن هذا التمثيل البياني يمثل دالة. سنتناول الآن تطبيقًا على اختبار المستقيم الرأسي.

أي العلاقات الآتية تمثل دالة، علمًا بأن ﺱ القيمة المدخلة، وﺹ القيمة المخرجة؟

للإجابة عن هذا السؤال، سنستخدم اختبار المستقيم الرأسي. وهذه طريقة بيانية لمعرفة إذا ما كان التمثيل البياني يمثل دالة أو لا. إذا كان التمثيل البياني يمثل دالة، فإن أي مستقيم رأسي سيتقاطع مع الدالة مرة واحدة على الأكثر. لذا، دعونا نرسم مستقيمًا رأسيًّا على المخططين، ونتحقق من عدد نقاط التقاطع مع المنحنيين. في الشكل (أ)، نلاحظ أنه إذا رسمنا المستقيم الرأسي ﺱ يساوي خمسة، فإن المستقيم سيتقاطع مع المنحنى مرتين. وهذا يعني أن التمثيل البياني (أ) لا يمكن أن يمثل دالة. المستقيم الرأسي ﺱ يساوي سالب أربعة يتقاطع مع المنحنى الممثل في الشكل (ب) مرة واحدة فقط. ويمكننا نقل هذا المستقيم الرأسي لأي مسافة أفقيًّا، وسيظل يتقاطع مع المنحنى مرة واحدة دائمًا. ومن ثم، نستنتج أن التمثيل البياني (ب) يمثل دالة. إذن، الإجابة الصحيحة هي (ب).

يخبرنا تعريف الدالة أنها قاعدة تربط قيمة مدخلة بقيمة مخرجة واحدة فقط. وفي كثير من الحالات، يمكننا تعريف هذه القاعدة جبريًّا. على سبيل المثال، يوضح التمثيل البياني (ب) منحنى الدالة ﺹ يساوي اثنين ﺱ زائد أربعة. دعونا نفرغ بعض المساحة ونعرف كيف يمكننا تعريف ذلك في صورة دالة. يمكننا تعريف الدالة باستخدام ترميز الدالة على الصورة ﺩﺱ يساوي اثنين ﺱ زائد أربعة. وبدلًا من ذلك، يمكننا استخدام الترميز السهمي. وهذا يعني أنه يمكننا تحديد إذا ما كانت ﺩ تمثل دالة أو لا من خلال رسم المنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ وإجراء اختبار المستقيم الرأسي.

هل يمكن التعبير عن المعادلة ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي أربعة في صورة دالة؟ إذا كانت الإجابة «نعم»، فاكتب الدالة.

لعلنا نتذكر أنه يمكننا استخدام اختبار المستقيم الرأسي لتحديد إذا ما كان التمثيل البياني يمثل دالة أو لا. وهذا يعني أنه لتحديد إذا ما كان يمكن التعبير عن المعادلة ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي أربعة في صورة دالة أو لا، يمكننا تمثيلها بيانيًّا. أي معادلة على الصورة ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي نق تربيع تمثل دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها نق. وفي هذا السؤال، بما أن نق تربيع يساوي أربعة ونق يجب أن يكون موجبًا، فإن نصف قطر الدائرة يساوي اثنين. عند رسم الدائرة، نلاحظ أنها تتقاطع مع المحور ﺱ والمحور ﺹ عند اثنين وسالب اثنين.

بإضافة مستقيم رأسي إلى الشكل، نلاحظ أنه يتقاطع مع الدائرة مرتين. وبما أن هناك أكثر من نقطة تقاطع، فإن التمثيل البياني لا يمثل دالة. بذلك، نستنتج أن المعادلة ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي أربعة لا يمكن التعبير عنها في صورة دالة. إذن، الإجابة الصحيحة هي لا.

في هذا السؤال، كان من السهل جدًّا تمثيل المعادلة بيانيًّا، لذلك تمكنا من إجراء اختبار المستقيم الرأسي. لكن، بدلًا من ذلك، يمكننا محاولة إعادة كتابة المعادلة بدلالة ﺱ. بطرح ﺱ تربيع من طرفي المعادلة، نحصل على ﺹ تربيع يساوي أربعة ناقص ﺱ تربيع. وبأخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة، نحصل على ﺹ يساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لأربعة ناقص ﺱ تربيع. نلاحظ أنه عند أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، فإننا نأخذ الجذر التربيعي الموجب والسالب للتعبير أربعة ناقص ﺱ تربيع. يعني هذا أنه لأي قيمة من قيم ﺱ، يمكن أن تكون هناك قيمتان مخرجتان ممكنتان، إحداهما موجبة والأخرى سالبة. وبما أن الدالة تربط كل عنصر من مجموعة ما بعنصر واحد فقط من مجموعة ثانية، يمكننا استنتاج أن المعادلة ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي أربعة لا يمكن أن تمثل دالة.

في المثال الأخير، سنوضح كيفية إجراء عملية مشابهة لتمثيل معادلة باستخدام ترميز الدالة.

أي من الآتي يمثل المعادلة ﺹ تكعيب يساوي ﺱ تربيع زائد واحد معبرًا عنها في صورة دالة؟ (أ) ﺩﺱ يساوي ﺱ تربيع زائد واحد. أم (ب) ﺩﺱ يساوي ﺱ تربيع زائد واحد الكل تكعيب. أم (ج) لا يمكن التعبير عنها في صورة دالة. أم (د) ﺩﺱ يساوي الجذر التكعيبي لـ ﺱ تربيع زائد واحد. أم (هـ) ﺩﺹ يساوي ﺱ تربيع زائد واحد.

لكتابة أي معادلة في صورة دالة، علينا أن نعرف إذا ما كان يمكننا التعبير عن ﺹ في صورة دالة في المتغير ﺱ، حيث ﺹ يساوي ﺩﺱ. لذا، سنعيد ترتيب المعادلة لنجعل ﺹ المتغير التابع. ولكي نفعل ذلك، نأخذ الجذر التكعيبي لطرفي المعادلة. وهذا يعطينا ﺹ يساوي الجذر التكعيبي لـ ﺱ تربيع زائد واحد. نلاحظ أن ﺹ مكتوب الآن في صورة دالة في المتغير ﺱ. بعبارة أخرى، لإيجاد قيمة ﺹ، يمكننا التعويض بقيمة ﺱ في التعبير لدينا، وهو الجذر التكعيبي لـ ﺱ تربيع زائد واحد. وللتعبير عن ﺹ تكعيب يساوي ﺱ تربيع زائد واحد في صورة دالة، فإن ﺩﺱ يساوي الجذر التكعيبي لـ ﺱ تربيع زائد واحد. ومن ثم، تكون الإجابة الصحيحة هي الخيار (د).

من المهم ملاحظة أن إعادة ترتيب المعادلة لكتابة ﺹ في صورة دالة في المتغير ﺱ لن تعطينا دالة دائمًا. ويجب التأكد من أن أي قيمة لـ ﺱ في مجال هذه الدالة تعطينا قيمة واحدة فقط لـ ﺹ عند التعويض بها. ولهذا السبب، فإن أي إعادة ترتيب علينا فيها عكس أس زوجي، مثل الجذر التربيعي أو الجذر الرابع، لا ينتج عنها دالة.

دعونا نختتم هذا الفيديو بتلخيص بعض النقاط الرئيسية. تربط الدالة كل عنصر من مجموعة المدخلات بعنصر واحد فقط من مجموعة المخرجات. يمكن أن تكون الدالة واحدًا إلى واحد، أي إن كل قيمة مدخلة لها قيمة مخرجة واحدة، أو أن تكون دالة متعدد إلى واحد، حيث يرتبط العديد من القيم المدخلة بالقيمة المخرجة نفسها. عرفنا أنه يمكننا تمثيل الدوال بواسطة الأزواج المرتبة من الأعداد، والمخططات السهمية، والمعادلات، والتمثيلات البيانية. ترميز الدالة ﺹ تساوي ﺩﺱ يعني أن ﺹ دالة في المتغير ﺱ. والترميز السهمي الموضح يعني أن الدالة ﺩ تربط عناصر المجموعة ﺱ بعنصر في المجموعة ﺹ. عرفنا أيضًا في هذا الفيديو أن هناك عدة طرق لاختبار إذا ما كانت العلاقة تمثل دالة أو لا. وإحدى طرق إجراء ذلك بيانيًّا هي استخدام اختبار المستقيم الرأسي.