نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نختار عينة عشوائية بسيطة من مجتمع إحصائي.
الإحصاء فرع من فروع الرياضيات يتعلق بجمع البيانات وتنظيمها وتحليلها وعرضها. على سبيل المثال، قد نريد جمع بيانات لمعرفة عدد الطلاب الذين يفضلون السلطة على الحساء؛ لكي نتمكن من تحديد قائمة الغداء. بدلًا من ذلك، قد نرغب في معرفة عادات الإنفاق لدى عملاء أحد المتاجر؛ لنتمكن من تحديد أسعار المنتجات.
لكن في هذه الحالات، قد يكون من الصعب جمع معلومات من جميع الأشخاص. إذا فكرنا مرة أخرى في فكرة تحديد قائمة الغداء في المدرسة، فقد يكون من الصعب أن نسأل كل طالب على حدة عن أكلاته المفضلة. ومن ثم يمكننا التعامل مع هذه الفكرة بسؤال جزء من الطلاب فقط، واستخدام هذه المجموعة الصغرى لتكوين فكرة عن تفضيلات المجموعة الكبرى. هذه المجموعة الصغرى تسمى «عينة»؛ لذا دعونا نعرفها بشكل منهجي.
المجموعة الكاملة للعناصر التي نريد تحليلها تسمى «المجتمع الإحصائي». في مثال قائمة الغداء في المدرسة، المجتمع الإحصائي هو جميع الطلاب في تلك المدرسة. والمجموعة الجزئية الصغرى التي نحللها بالفعل ونستخدمها لتحديد تفضيلات المجموعة الكبرى تسمى العينة. وأخيرًا حجم مجموعة العينة يسمى بديهيًّا «حجم العينة».
قبل أن نستعرض أي أمثلة، دعونا نتناول بعض مزايا هذه الطريقة في اختيار العينات وعيوبها. أولًا: سؤال الأفراد الذين تشملهم العينة الصغرى عن آرائهم طريقة أسرع بكثير من طلب آراء أفراد المجتمع الإحصائي بأكمله. ولهذا السبب قد يكون استخدام مجموعة جزئية أصغر من المجتمع الإحصائي أقل تكلفة.
لكن علينا هنا أن ننتبه. قد نحصل على نتائج غير صحيحة إذا قصرنا النظر في عينة صغيرة فقط. في مثال قائمة الغداء، إذا سألنا ٢٠ طالبًا ووجدنا أن جميعهم يفضلون الحساء، فيجب أن نضع في اعتبارنا إمكانية أن يكون هؤلاء الطلاب العشرون هم الوحيدين الذين لهم هذا الرأي.
ثانيًا: يجب أن ندرك أن هناك احتمالية لوجود تحيز في مجموعة العينة. على سبيل المثال، لنفترض أننا تحدثنا إلى أول ٢٠ طالبًا فقط في طابور الغداء. قد تبدو هذه طريقة عادلة لاختيار العينات. ولكن ماذا لو كان الحساء يقدم في بداية استراحة الغداء ثم يصبح باردًا بمرور الوقت، في حين تظل السلطة طازجة دائمًا؟ في هذه الحالة، قد يريد الطلاب الذين يفضلون الحساء الوقوف في الطابور مبكرًا، وهو ما يؤدي إلى وجود تحيز في العينة. لهذه الأسباب تجدر الإشارة إلى أنه كلما زاد حجم العينة؛ زاد احتمال أن تمثل هذه العينة المجتمع الإحصائي تمثيلًا دقيقًا. إذن مع وضع ما سبق في الاعتبار، كيف نختار العينة؟
افترض أن مدرستنا بها ٥٠٠ طالب. هذا هو المجتمع الإحصائي. لنفترض أيضًا أن العينة التي سنختارها تتضمن ٥٠ طالبًا. يمكننا أن نبدأ بترتيب جميع الطلاب أبجديًّا حسب اسم العائلة، وتقسيمهم إلى مجموعات من ١٠ طلاب، ثم نختار الطالب العاشر من كل مجموعة ليكون حجم العينة في النهاية ٥٠. تسمى هذه الطريقة اختيار العينات المنتظمة. على الرغم من ذلك فإن هناك احتمالًا ضئيلًا لوجود تحيز. هذا لأن الطلاب الذين يتشاركون اسم العائلة نفسه لا يمكن اختيارهم جميعًا، فهذه الطريقة في اختيار العينة ستتخطى هؤلاء الطلاب.
لذا دعونا نجد طريقة أخرى لاختيار العينة عشوائيًّا. يمكن اختيار العينة عشوائيًّا بأن نعطي كل طالب عددًا من واحد إلى ٥٠٠، ونستخدم زر توليد الأعداد العشوائية لاختيار ٥٠ عددًا من هذه الأعداد. بتطبيق هذه الطريقة نضمن أن جميع عناصر المجتمع الإحصائي لديها فرص متساوية في أن يقع عليها الاختيار. وعليه تعد العينة العشوائية هي الطريقة المثلى لتجنب حدوث أي تحيز.
هذا يقودنا إلى تعريف منهجي لهذه الطريقة. العينة العشوائية البسيطة هي عينة تتساوى فيها فرص جميع عناصر المجتمع الإحصائي في أن يقع عليها الاختيار في العينة. بعبارة أخرى، يجب أن تكون احتمالات أن يقع الاختيار على أي عنصرين في العينة متساوية. كما يجب أن تكون فرص اختيار أي عنصر من عناصر مجموعة لا يزيد حجمها عن حجم العينة متساوية.
دعونا الآن نتناول مثالًا يوضح لنا كيفية تحديد السبب في أن طرق اختيار العينة قد لا تعطينا عينة عشوائية بسيطة.
لماذا لا تعبر العبارة «يمكن قياس جودة المصنع عن طريق جميع الملابس التي ينتجها» عن وصف لعينة عشوائية بسيطة؟ أ: لأن العينة دائمًا تكون أكبر من المجتمع الإحصائي الأصلي. ب: لأن العينة يجب أن تكون جزءًا من المجتمع الإحصائي كله، وليس المجتمع الإحصائي نفسه. ج: لأن هذه العينة بسيطة، لكنها ليست عشوائية.
تذكر أن العينة تكون عينة عشوائية بسيطة عندما تتساوى فرص جميع عناصر المجتمع الإحصائي في أن يقع عليها الاختيار في هذه العينة. عندما نختار عينة فإننا بالطبع نختارها من مجتمع إحصائي. المجتمع الإحصائي هو جميع العناصر التي يمكن اختيارها. إذا رسمنا شكلًا توضيحيًّا لذلك يمكننا ملاحظة أن العينة يجب أن تكون مجموعة جزئية من المجتمع الإحصائي. هذا يعني أنه من الضروري أن تكون العينة أصغر من المجتمع الإحصائي. وهذا يعطينا الإجابة الصحيحة عن السؤال. الإجابة هي الخيار ب؛ لأن العينة يجب أن تكون جزءًا من المجتمع الإحصائي كله، وليس المجتمع الإحصائي نفسه.
لنتناول الآن مثالًا نحدد فيه إذا ما كانت طريقة اختيار العينات ستعطينا عينة عشوائية بسيطة أم لا.
افترض أن مدرستك بها ٥٠٠ طالب، وعليك إجراء دراسة مسحية قصيرة عن جودة الأغذية المقدمة في المقصف. قررت أن عينة من ١٠ طلاب تكفي لأغراض الدراسة المسحية. ومن ثم تختار ١٠ طلاب عن طريق إعطاء كل طالب عددًا، ثم تستخدم زر توليد الأعداد العشوائية في الآلة الحاسبة لاختيار ١٠ طلاب عشوائيًّا من بين ٥٠٠ طالب وتجري الدراسة المسحية عليهم. هل يمكن اعتبار ذلك عينة عشوائية بسيطة؟
تذكر أن العينة العشوائية البسيطة مجموعة جزئية غير فارغة من المجتمع الإحصائي؛ حيث تتساوى فرص جميع العناصر في أن يقع عليها الاختيار لهذه المجموعة الجزئية. في هذا السؤال نريد اختيار ١٠ طلاب من بين ٥٠٠ طالب. لذا يبدو للوهلة الأولى أن لدينا عينة عشوائية بسيطة. ولكن دعونا نتحقق من أن هذا الاختيار عشوائي بالفعل.
في الواقع ترد كلمة «عشوائي» في صياغة السؤال. ونحن نعلم من المعطيات أن كل طالب لديه عدد معين، ثم يستخدم زر توليد الأعداد العشوائية في الآلة الحاسبة. بهذه الطريقة سيكون لأي طالبين من الطلاب نفس احتمال أن يقع عليهما الاختيار. إذن الإجابة الصحيحة هي نعم. يمكن اعتبار ذلك بالفعل عينة عشوائية بسيطة.
في المثال الآتي، سنجري بعض العمليات الحسابية لتحديد النسبة المئوية لحجم العينة.
تتكون حديقة من ٢٠٠ شجرة. نرغب في أخذ عينة تشمل ٢٠ شجرة. عبر عن حجم العينة المختارة بالنسبة المئوية.
تذكر أن حجم العينة هو عدد العناصر في هذه العينة التي تمثل مجموعة جزئية من المجتمع الإحصائي. في هذا السؤال، سنأخذ عينة تشمل ٢٠ شجرة، إذن حجم العينة هو ٢٠. تتكون الحديقة من ٢٠٠ شجرة، إذن هذا هو إجمالي حجم المجتمع الإحصائي. ومن ثم يمكننا التعبير عن حجم العينة في صورة نسبة مئوية من المجتمع الإحصائي عن طريق قسمة حجم العينة على حجم المجتمع الإحصائي، ثم ضرب الناتج في ١٠٠. هذا يساوي ٢٠ مقسومًا على ٢٠٠ في ١٠٠، وهو ما يساوي ١٠. وبذلك نكون قد عبرنا عن حجم العينة في صورة نسبة مئوية. إنه يساوي ١٠ بالمائة.
في المثال الأخير، سنتناول كيفية تحديد طريقة اختيار العينات التي تعطينا عينة عشوائية بسيطة.
أراد ممثل في إحدى المسرحيات اختيار أشخاص عشوائيًّا ليصعدوا على المسرح ويشاركوه التمثيل. أي الاختيارات الآتية يعد أسلوبًا عشوائيًّا لاختيار العينات؟ أ: اختياره الأشخاص المتجاوز طولهم ١٩٠ سنتيمترًا. ب: اختياره النساء فقط. ج: اختياره أشخاصًا اختيرت أرقام مقاعدهم من وعاء يحتوي على جميع أرقام المقاعد. د: اختياره ثلث العينة من النساء وثلثيها من الرجال. هـ: اختياره من يرتدي النظارات.
تذكر أنه في طريقة اختيار العينات العشوائية، تتساوى فرص جميع عناصر المجتمع الإحصائي في أن يقع عليها الاختيار للعينة. هذا يجعلنا نستبعد الخيار أ مباشرة. فرصة أي شخص طوله أقل من ١٩٠ سنتيمترًا في أن يقع عليه الاختيار هي صفر بالمائة. وبالمثل، إذا نظرنا إلى الخيار ب، فسنلاحظ أن فرصة اختيار أي رجل في العينة هي صفر بالمائة.
إذن ماذا عن الخيار الثالث لدينا؟ إذا وضعنا جميع أرقام المقاعد في وعاء واخترنا أحدها، فسيضمن ذلك تساوي فرص اختيار جميع أرقام المقاعد في العينة. لذا دعونا نتحقق من الخيارين الأخيرين.
في الخيار د سيكون ثلث العينة فقط من النساء، في حين سيكون ثلثاها الآخران من الرجال. الرجال والنساء هنا ليس لديهم فرص متساوية في أن يقع عليهم الاختيار. وأخيرًا، إذا نظرنا إلى الخيار هـ، فسنلاحظ أن فرصة أي شخص لا يرتدي نظارة في أن يقع عليه الاختيار هي صفر بالمائة.
ومن ثم الإجابة الصحيحة هي الخيار ج. إحدى طرق اختيار العينات العشوائية هي اختيار أشخاص اختيرت أرقام مقاعدهم من وعاء يحتوي على جميع أرقام المقاعد.
والآن دعونا نلخص النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. عرفنا أن المجموعة الكاملة للأشخاص أو العناصر أو الأشياء التي نريد تحليلها تسمى المجتمع الإحصائي. عرفنا أيضًا أن العينة مجموعة جزئية غير فارغة أصغر من المجتمع الإحصائي. عدد العناصر الموجودة في هذه المجموعة الجزئية يسمى حجم العينة. العينة العشوائية البسيطة عينة تتساوى فيها فرص جميع عناصر المجتمع الإحصائي في أن يقع عليها الاختيار في العينة. عرفنا أنه كلما زاد حجم العينة؛ زاد احتمال أن تكون النتائج أدق. ولكن قد يؤدي ذلك إلى أن تكون عملية جمع البيانات أكثر صعوبة وأكثر تكلفة.
