نسخة الفيديو النصية
ﺃﺏﺟﺩ متوازي أضلاع، فيه المتجه ﺃﺏ مركباته: سالب واحد، واحد، ثلاثة؛ والمتجه ﺃﺩ مركباته: ثلاثة، أربعة، واحد. أوجد مساحة ﺃﺏﺟﺩ. قرب الناتج لأقرب منزلة عشرية.
نعرف من السؤال أن ﺃﺏﺟﺩ متوازي أضلاع. دعونا إذن نرسمه. ها هو متوازي الأضلاع. والآن، كل ما علينا فعله هو تسمية رءوسه. بمجرد أن نسمي أحد الرءوس ﺃ، يصبح لدينا خياران فقط لموضع ﺏ. لأنه يجب أن يكون مجاورًا لـ ﺃ. إذن، ﺏ يجب أن يكون إما هنا أو هنا. وبمجرد اختيار موضعي ﺃ وﺏ، فلن تكون لدينا حرية اختيار موضعي ﺟ وﺩ. وذلك لأن ﺟ يجب أن يكون مجاورًا لـ ﺏ. ويتبقى لدينا موضع واحد فقط لـ ﺩ. بدءًا من ﺃ، يمكننا الانتقال عبر رءوس متوازي الأضلاع، بحيث نمر أولًا عبر ﺏ، ثم ﺟ، وأخيرًا ﺩ قبل أن ينتهي بنا المطاف عند ﺃ مرة أخرى. بعبارة أخرى، يمكننا الانتقال عبر الرءوس بالترتيب نفسه الذي تظهر به في اسم متوازي الأضلاع ﺃﺏﺟﺩ.
حسنًا، ماذا لدينا أيضًا في نص المسألة؟ لدينا مركبات المتجه ﺃﺏ. دعونا نضعها على الرسم ونضع أيضًا مركبات المتجه ﺃﺩ. ما الذي نبحث عنه؟ نحن نريد إيجاد مساحة متوازي الأضلاع ﺃﺏﺟﺩ.
لإيجاد هذه المساحة، نستعين بحقيقة أن معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﻡ وﻕ هو مساحة متوازي الأضلاع الذي ضلعاه المتجاوران يمثلان المتجهين ﻡ وﻕ. نحن نريد إيجاد مساحة متوازي الأضلاع الذي مركبات ضلعيه المتجاورين هي: سالب واحد، واحد، ثلاثة؛ وثلاثة، أربعة، واحد. وتخبرنا القاعدة أعلاه أن هذه المساحة هي معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين. لذا، دعونا نفرغ بعض المساحة ونوجد هذا المعيار.
قبل أن نوجد معيار حاصل الضرب الاتجاهي، علينا أولًا إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي نفسه. ويمكننا كتابة حاصل الضرب الاتجاهي هذا على صورة محدد المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة، والتي يحتوي صفها الأول على متجهات الوحدة في اتجاهات المحاور ﺱ، وﺹ، وﻉ، وهي ﺱ، وﺹ، وﻉ. ويحتوي الصف الثاني على مركبات المتجه الأول في حاصل الضرب الاتجاهي، وهي سالب واحد، واحد، وثلاثة. ويحتوي الصف الثالث على مركبات المتجه الثاني في حاصل الضرب الاتجاهي، وهي ثلاثة، أربعة، وواحد.
يمكننا فك المحدد باستخدام الصف الأول. وبحساب قيمة كل محدد من كل مصفوفة صغرى من الرتبة اثنين في اثنين، فإننا نحصل على سالب ١١ﺱ زائد ١٠ﺹ ناقص سبعة ﻉ، وهو ما يمكننا كتابته على صورة المركبات: سالب ١١، ١٠، سالب سبعة. وهذا هو حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين الذي نبحث عنه لإيجاد المساحة، التي تساوي بدورها معيار حاصل الضرب الاتجاهي هذا. إذن، نحن نبحث عن معيار المتجه الذي مركباته: سالب ١١، ١٠، وسالب سبعة.
ومعيار المتجه هو ببساطة الجذر التربيعي لمجموع مربعات المركبات. إذن، لدينا الجذر التربيعي لسالب ١١ تربيع زائد ١٠ تربيع زائد سالب سبعة تربيع. ويمكننا كتابة هذا على صورة الجذر التربيعي لـ ٢٧٠ أو على صورة ثلاثة في الجذر التربيعي لـ ٣٠. ولكن لم يطلب منا السؤال إيجاد الإجابة الدقيقة. وإنما المطلوب منا هو إيجاد الإجابة مقربة لأقرب منزلة عشرية. وبالتقريب لمنزلة عشرية واحدة، نجد أن الجذر التربيعي لـ ٢٧٠ يساوي ١٦٫٤. إذن، مساحة متوازي الأضلاع ﺃﺏﺟﺩ تساوي ١٦٫٤ وحدة مربعة مقربة لمنزلة عشرية واحدة.
لقد أوجدنا هذا بحساب معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين اللذين يمثلان ضلعين متجاورين في متوازي الأضلاع. ولحسن الحظ، كان لدينا في المعطيات مركبات متجهين يمثلان ضلعين متجاورين في المسألة. ولم يكن لدينا في المعطيات، على سبيل المثال، مركبات المتجه الذي يمثل أحد القطرين سواء ﺃﺟ أو ﺏﺩ. كان لا بد من التأكد من أن المتجهين المعطيين يقعان على طول ضلعين متجاورين. ولذا، كان علينا أن نتوخى الحذر في كيفية تسمية رءوس متوازي الأضلاع.
متوازي الأضلاع الذي رسمناه للتو ليس شكلًا صحيحًا لمتوازي الأضلاع ﺃﺏﺟﺩ. وذلك لأننا إذا انتقلنا عبر الرءوس بالترتيب، فإننا قد نحصل على ﺃﺏﺩﺟ أو ﺃﺟﺩﺏ، ولكن ليس ﺃﺏﺟﺩ. ولو كنا قد استخدمنا هذا الشكل غير الصحيح، كنا سنحصل على إجابة خاطئة؛ ولذلك كان من المفيد تخصيص بعض الوقت في البداية لتسمية الرءوس بطريقة صحيحة.
