فيديو الدرس: استخدام إكمال المربع لحل المعادلات التربيعية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنستخدم طريقة إكمال المربع لإيجاد جذور المعادلات التربيعية. وسنرى أمثلة مختلفة ونتحدث قليلًا عن بعض فوائد حل الأسئلة بهذه الطريقة. إنك على الأرجح تعرف بالفعل كيفية حل المعادلات باستخدام التحليل أو باستخدام القانون العام وكلاهما جيد. لكن الآن، سنركز فقط على طريقة إكمال المربع.

وها هو المثال الأول.

حل ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ثلاثة يساوي صفرًا. وهذا يعني أن نوجد قيم ﺱ التي تجعل هذه المعادلة صحيحة. وأحيانًا نسمي ذلك «إيجاد جذور المعادلة». في الواقع، حل هذه المعادلة سيكون أسهل باستخدام التحليل. إذ نلاحظ أنه يمكننا تحليلها إلى ﺱ زائد ثلاثة في ﺱ ناقص واحد. إذا استخدمنا طريقة التحليل، فسيكون الأمر مباشرًا إلى حد كبير. لقد حصلنا على قوسين مضروبين معًا وحاصل ضربهما صفر. إما أن القوس الأول يساوي صفرًا وإما أن القوس الثاني يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، إما أن ﺱ يساوي سالب ثلاثة وإما أن ﺱ يساوي واحدًا. والآن، دعونا نر طريقة إكمال المربع بدلًا من ذلك.

لدي خياران: إما أن أكمل المربع لهذا المقدار بالكامل وإما أن أكمل المربع لهذا الجزء من المقدار، ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ. ويتضح أن هذا أسهل قليلًا؛ لذا فهذا ما سأفعله. دعونا إذن نضف ثلاثة لكلا طرفي تلك المعادلة. وهذا يعطينا ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ يساوي ثلاثة. إذن نبحث عن قوس يمكننا تربيعه في الطرف الأيمن لكي نحصل على مقدار مكافئ لـ ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ، علينا ببساطة إيجاد شيء إذا ضربناه في نفسه يعطينا ﺱ تربيع؛ إنه ﺱ. أما الحد الآخر، فنريد شيئًا إذا أضفناه إلى نفسه يعطينا اثنين؛ إذن سنأخذ نصف معامل ﺱ، وسيكون هذا هو الحد الآخر. لكن تذكر، إذا فككنا ﺱ زائد واحد، الكل تربيع، فسنحصل على ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ. وسنحصل أيضًا على زائد واحد نتيجة ضرب واحد في واحد، أي الحد الأخير واحد تربيع. إذا أردت أن يكون هذا المقدار هنا مساويًا للمقدار الذي في الأعلى، فسيكون علينا طرح الواحد الذي حصلنا عليه هنا. إذن ﺱ زائد واحد، الكل تربيع، يعطينا هذا. إذا طرحت واحد تربيع، فسأتخلص من ذلك وسأحصل على المقدار الذي كنت أبحث عنه.

نوجد قيمة واحد تربيع — من الواضح أنها واحد — والآن نضيف واحدًا إلى طرفي المعادلة لكي يتبقى لنا ﺱ زائد واحد، الكل تربيع، في الطرف الأيمن، وسيساوي أربعة. والآن أريد معرفة قيمة ﺱ. لذا، سنحسب الجذر التربيعي لطرفي المعادلة. والجذر التربيعي لـ ﺱ زائد واحد، الكل تربيع يساوي ﺱ زائد واحد، والجذر التربيعي لأربعة — نعرف أنه يساوي اثنين. لكن في الواقع هناك إجابتان: يمكننا ضرب اثنين في اثنين للحصول على أربعة أو سالب اثنين في سالب اثنين للحصول على أربعة. لذا علينا وضع إشارة موجب أو سالب هنا. إذن، لدينا ﺱ زائد واحد يساوي موجب أو سالب اثنين. ولأن لدينا قوسًا في الطرف الأيمن هنا، ولن أحتاجه بعد الآن، يمكننا حذفه. إذن، ﺱ زائد واحد يساوي موجب أو سالب اثنين. والآن نريد أن نجعل ﺱ في طرف بمفرده. وعكس إضافة واحد هو طرح واحد. لذا سأطرح واحدًا من كلا طرفي المعادلة. ولا يهم الترتيب الذي سأكتب به الطرف الأيسر. يمكنني القول إنني سأبدأ بموجب أو سالب اثنين ثم سأطرح واحدًا، أو يمكنني القول إنني سأبدأ بسالب واحد ثم سأضيف اثنين أو سأطرح اثنين. وفي الواقع، أرى أن هذه النسخة الثانية أسهل في الحل، لكن الأمر عائد إليك في اختيار الطريقة التي تناسبك.

ووجود علامتي زائد وناقص يعني أن لدينا عمليتين حسابيتين مختلفتين علينا إجراؤهما. إذن ﺱ يمكن أن يساوي سالب واحد زائد اثنين، ما يساوي واحدًا بالتأكيد، أو أن ﺱ يمكن أن يساوي سالب واحد ناقص اثنين، ما يساوي سالب ثلاثة. دعونا نحط إجابتنا بمستطيل كبير لكي تكون واضحة أمامنا.

من حسن الحظ أن الإجابة مطابقة للإجابة التي حصلنا عليها من قبل باستخدام طريقة التحليل. وهذا جيد. ومن الواضح الآن أن الطريقة الثانية تطلبت خطوات حل أكثر قليلًا لأنني على الأرجح كنت كريمًا جدًا في تفصيل الخطوات التي كتبتها. لكن ليس من الضروري أن تكتب كل خطوة من خطوات حل المسألة. فها هي بعض الاختصارات التي يمكنك إجراؤها. لكن من الواضح أن هذه الطريقة كانت أطول وأصعب من طريقة التحليل. فإذا كان تحليل المعادلات التربيعية التي لديك سهلًا، فعلى الأرجح ستكون طريقة التحليل هي الأسهل والأسرع. لكن كما سنرى لاحقًا، هناك بعض المميزات لحل السؤال بهذه الطريقة تحديدًا، لكن سنلقي الضوء عليها في مثال آخر.

حسنًا، هيا ننتقل إلى السؤال التالي. ومرة أخرى، هذه المعادلة يسهل تحليلها، لكن دعنا من هذا الآن. السبب في استخدامي لعوامل شائعة هو أن بها أعدادًا يسهل التعامل معها، مما سيوضح الطريقة بسهولة أكبر.

حل ﺱ تربيع زائد سبعة ﺱ زائد ١٠ يساوي صفرًا. أولًا، أريد عزل ﺱ تربيع زائد سبعة ﺱ لكي أجعل الأمر أسهل قليلًا. لذا سأطرح ١٠ من كلا الطرفين لكي أحصل على ﺱ تربيع زائد سبعة ﺱ يساوي سالب ١٠. والآن سأكمل المربع لهذا المقدار. إذن، نحصل على ﺱ زائد سبعة على اثنين. نصف السبعة، يمكنني كتابته في صورة ٣٫٥. لكن من الأسهل عمومًا أن نترك هذه الكسور ذات البسط الأكبر من المقام، كما سنرى في باقي الأمثلة. الآن، إذا قمت بتربيع هذا المقدار، فسأحصل في الحد الأخير على زائد سبعة على اثنين الكل تربيع وهو ما علي التخلص منه. فلكي نجعل هذا المقدار مكافئًا للمقدار الذي في الأعلى، علي أن أضع هذا الحد هنا، أي أطرح سبعة على اثنين الكل تربيع. وهذا يساوي سالب ١٠. والآن سأضيف سبعة على اثنين الكل تربيع لكلا الطرفين.

وبالطبع سبعة على اثنين الكل تربيع يساوي ٤٩ على أربعة. إذن يتبقى لنا في الطرف الأيمن ﺱ زائد سبعة على اثنين الكل تربيع يساوي سالب ١٠ زائد ٤٩ على أربعة. ولكي نوجد قيمة الطرف الأيسر هنا، علينا تحويل ١٠ إلى كسر بسطه أكبر من مقامه بحيث يكون المقام المشترك أربعة. وبالطبع سيكون ٤٠ على أربعة، لأن ٤٠ على أربعة يساوي ١٠. والآن، علينا إيجاد قيمة ذلك. إذن، سالب ٤٠ على أربعة زائد ٤٩ على أربعة يعطينا تسعة على أربعة. بالتالي نحصل على هذا المقدار المربع يساوي تسعة على أربعة. وإذا أخذت الجذر التربيعي لكلا الطرفين، فسأكون في طريقي للحصول على معادلة يكون فيها ﺱ في طرف بمفرده.

والجذر التربيعي للطرف الأيمن يساوي ﺱ زائد سبعة على اثنين والجذر التربيعي لتسعة على أربعة يساوي الجذر التربيعي لتسعة على أربعة. لكن لا تنس أنه يجب أن يكون لدينا النسختان الموجبة والسالبة لهذا العدد، والآن يمكنني القول إن الجذر التربيعي لتسعة يساوي ثلاثة والجذر التربيعي لأربعة يساوي اثنين. ومرة أخرى، وضعت الطرف الأيمن بالكامل بين قوسين. تخلصنا من القوس لكي يتبقى لنا ﺱ زائد سبعة على اثنين. والآن نريد أن نجعل ﺱ في طرف بمفرده. لذا سيكون علينا طرح سبعة على اثنين من كلا الطرفين. وعندما نقوم بذلك في الطرف الأيمن، سيتبقى لنا ﺱ.

وفي الطرف الأيسر، سيتبقى لنا سالب سبعة على اثنين زائد أو ناقص ثلاثة على اثنين. مرة أخرى، يمكنني كتابة ذلك بأي ترتيب. لكنني أجد من الأسهل إجراء الحساب بهذا الترتيب. ومن حسن الحظ أن لدينا بالفعل مقامات مشتركة هنا. بالتالي فإن الاحتمال الأول هو أن ﺱ يساوي سالب سبعة على اثنين زائد ثلاثة على اثنين، ما يساوي سالب أربعة على اثنين. وسالب أربعة على اثنين يساوي سالب اثنين. والاحتمال الثاني هو أن ﺱ يساوي سالب سبعة على اثنين ناقص ثلاثة على اثنين، ما يساوي سالب ١٠ على اثنين وبالتالي يساوي سالب خمسة. إذن، إجابة هذا السؤال هي أن هناك قيمتين لـ ﺱ تحققان المعادلة التي بدأنا بها: ﺱ يمكن أن يساوي سالب اثنين ويمكن أن يساوي سالب خمسة.

في المثالين السابقين، كنت على الأرجح تفكر لماذا أشرح لك هذه الطريقة المعقدة بينما سيقودنا التحليل إلى الإجابة نفسها بصورة أسرع. وهذه لمعلوماتك نقطة جيدة جدًا، لكن غالبًا ما يكون هناك تعقيدات أكبر في السؤال. على سبيل المثال، دعني أعطك مثالًا على أنواع الأسئلة التي قد تحتاج إلى استخدام طريقة إكمال المربع في حلها. لنقل إنه مطلوب منا رسم المنحنى ﺹ يساوي ﺱ تربيع زائد سبعة ﺱ زائد ١٠ وإيجاد إحداثيات أدنى نقطة على المنحنى. فالسبب الذي جعلنا نستخدم هذا النوع من الطرق الحسابية هنا لحل ﺱ تربيع زائد سبعة ﺱ زائد ١٠ يساوي صفرًا، هو أنه لكي نرسم هذا المنحنى، علينا أن نعرف أين سيتقاطع المنحنى مع المحور ﺱ. فإذا كان حل المعادلة هو كل ما نريده، فسيكون التحليل طريقة مناسبة بلا شك. لكن إذا كنا نريد أن نرسم رسمًا توضيحيًّا للمسألة ونوجد إحداثيات أدنى نقطة على المنحنى، فإن وضع المعادلة في صورة إكمال المربع سيجعل الأمر أسهل كثيرًا.

إذن، ما سنفعله هنا هو أن نجعل قيمة ﺹ مساوية للصفر. وإذا أعدنا ترتيب هذا السطر فسيصبح ﺱ زائد سبعة على اثنين الكل تربيع ناقص تسعة على أربعة يساوي صفرًا. تذكر أن الإحداثي ﺹ يساوي صفرًا، لذا يمكننا التعويض عن الصفر بـ ﺹ. هذه هي المعادلة في صورة إكمال المربع، والآن يمكننا بسهولة إيجاد إحداثيات أدنى نقطة على المنحنى، لأنه لكي نحصل على أقل قيمة ممكنة، علينا إيجاد الإحداثي ﺱ الذي عندما نعوض به في المعادلة نحصل على أقل قيمة ممكنة. لكن تذكر أن ﺱ لا يظهر إلا في هذا الحد المربع هنا. وسواء كانت قيمة ﺱ كبيرة جدًا وموجبة أم كبيرة جدًا وسالبة، فلا يهم العدد السالب الذي سنحصل عليه بعد إضافة سبعة على اثنين إليها، مهما كان كبيرًا. سنقوم بتربيع تلك القيمة. وبهذا سنحصل على قيمة موجبة. لذا فأصغر قيمة لهذا الحد هي صفر، وهذا سيحدث إذا كان ﺱ يساوي سالب سبعة على اثنين. وعندما تكون قيمة ﺱ سالب سبعة على اثنين وتصبح قيمة هذا الحد صفرًا، فسيكون الإحداثي ﺹ المقابل هو صفر ناقص تسعة على أربعة. إذن، لدينا الآن إحداثيات أدنى نقطة على المنحنى، ولدينا الإحداثيات التي يتقاطع عندها مع المحور ﺱ، ولدينا الإحداثيات التي يتقاطع عندها مع المحور ﺹ، ونعرف أن قيمة ﺱ تربيع هنا موجبة. إذن، نعرف أنه منحنى مبتسم وسعيد نوعًا ما. نعرف أنه يتخذ هذا الشكل؛ لذا يمكننا رسمه بسهولة. بالتالي فإن استخدام طريقة إكمال المربع يكون ضروريًا عندما يكون هناك تفاصيل أكثر مطلوبة في السؤال.

لنلق نظرة على سؤال آخر.

إليك صورة مختلفة قليلًا، أوجد قيمة ﺱ: ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ زائد ٢٤ يساوي ٢٠. لدينا أعداد في كلا طرفي علامة التساوي. لذا سنطرح ٢٤ من كلا الطرفين ليتبقى لنا ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ في الطرف الأيمن الذي يمكننا تطبيق طريقة إكمال المربع عليه. والآن عدنا حيث كنا من قبل — إلى النوع نفسه من الأسئلة التي حللناها عدة مرات. سنكمل المربع في الطرف الأيمن. تذكر أن لدينا ﺱ تربيع واحدة. وهذا يعطينا الحد الأول ﺱ ثم نقسم معامل ﺱ على اثنين لنحصل على الحد الثاني. ثم علينا أن نطرح مربع هذا الحد الثاني. لذا نطرح سالب خمسة على اثنين الكل تربيع. والآن لدينا هذان السطران، هذا المقدار هنا مكافئ تمامًا لهذا المقدار هنا. وهذا يساوي سالب أربعة. وبإيجاد قيمة سالب خمسة على اثنين الكل تربيع، نحصل على ٢٥ على أربعة. إذن نطرح ٢٥ على أربعة. وسأحاول التخلص منه عن طريق إضافة ٢٥ على أربعة لكلا الطرفين. والتخلص من أعداد على صورة كسر بسطه أكبر من مقامه وإجراء جمع الكسور وطرحها هو على الأرجح، صدق أو لا تصدق، أصعب جزء في المسألة. وهذا ما يجده معظم الناس صعبًا في هذه الأسئلة التي تتضمن إكمال المربع. لكن بمجرد أن تعتاد عليه، ستجد أنه سهل جدًا. سالب أربعة زائد ٢٥ على أربعة، علي تحويل سالب أربعة إلى كسر مكافئ — بسطه أكبر من مقامه — بمقام مشترك هو أربعة. إذن سيكون سالب ١٦ على أربعة. لدينا إذن في الطرف الأيسر سالب ١٦ على أربعة زائد ٢٥ على أربعة، ما يساوي تسعة على أربعة.

والآن علينا أن نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين لكي نتمكن من تبسيط الطرف الأيمن. والجذر التربيعي للطرف الأيمن هو ببساطة ﺱ ناقص خمسة على اثنين. وفي الطرف الأيسر، لدينا الجذر التربيعي لتسعة والجذر التربيعي لأربعة. لكن تذكر أننا نريد النسختين الموجبة والسالبة لهذا العدد. والآن علينا أن نجعل ﺱ بمفرده في طرف — لكي نوجد قيمته. لذا علينا إضافة خمسة على اثنين لكلا الطرفين. بالتالي هناك قيمتان ممكنتان لـ ﺱ: ﺱ يمكن أن يساوي خمسة على اثنين زائد ثلاثة على اثنين ويمكن أن يساوي خمسة على اثنين ناقص ثلاثة على اثنين. وعندما أحسب هاتين القيمتين، سأجد أن ﺱ إما أنه يساوي أربعة وإما أنه يساوي واحدًا. إذن هذه هي الإجابة. الشيء الوحيد المختلف هنا هو هذا الذي في البداية؛ كان لدينا أعداد في كلا طرفي المعادلة، لكن يمكنك إعادة ترتيبها بسرعة لتحصل على صورة مألوفة أكثر.

دعونا إذن نحل مثالًا آخر.

حل ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ ناقص ستة يساوي صفرًا. سنستخدم نفس الطريقة؛ وحتى ننتهي من هذا السؤال، ستكون الأعداد أصعب قليلًا. لكن لا عليك، سنرى كيفية التعامل مع ذلك عندما نصل إليه. سنفرغ بعض المساحة على الطرف الأيمن بإضافة ستة لكلا الطرفين ثم سنطبق طريقة إكمال المربع في الطرف الأيمن. نحصل على ﺱ ثم نطرح نصف معامل ﺱ، ثلاثة على اثنين، ونقوم بتربيع المقدار. ولكي نجعل هذا المقدار مساويًا للمقدار أعلاه، سيكون علينا طرح الحد ثلاثة على اثنين الكل تربيع. وهذا يساوي ستة. سأوجد قيمة ثلاثة على اثنين الكل تربيع. لدينا ﺱ زائد ثلاثة على اثنين تربيع ناقص تسعة على أربعة يساوي ستة وسنضيف تسعة على أربعة لكلا الطرفين. لدينا إذن ستة زائد تسعة على أربعة في الطرف الأيسر. لذا علينا إيجاد قيمة مكافئة لستة، تكون كسرًا بسطه أكبر من مقامه ومقامه أربعة. حصلنا بذلك على مقام مشترك. وأصبح لدينا ٢٤ على أربعة لأن ٢٤ على أربعة يساوي ستة. ‏٢٤ على أربعة زائد تسعة على أربعة يساوي ٣٣ على أربعة. إذن لدينا ﺱ زائد ثلاثة على اثنين تربيع يساوي ٣٣ على أربعة. والآن سنأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين. والجذر التربيعي للطرف الأيمن يساوي ﺱ زائد ثلاثة على اثنين، ولدينا قيمتان ممكنتان للطرف الأيسر: إما أنه يساوي النسخة الموجبة للجذر التربيعي لـ ٣٣ على أربعة وإما أنه يساوي النسخة السالبة. ومن الواضح أن هذا هو نفسه جذر ٣٣ على جذر أربعة. وجذر أربعة يساوي اثنين.

هذا مختلف قليلًا عن الأسئلة السابقة، لأننا عندما كنا نصل إلى خطوة حساب الجذر التربيعي هذه، كنا دائمًا نجد أعدادًا بسيطة وسهلة. لكن الجذر التربيعي لـ ٣٣ ليس بسيطًا ولا سهلًا على الإطلاق. لذا سنتركه كما هو، جذر ٣٣. وفي الخطوة التالية وهي جعل ﺱ بمفرده في الطرف الأيمن هنا، سأطرح ثلاثة على اثنين من كلا الطرفين. وبالتالي سيصبح الطرف الأيسر سالب ثلاثة على اثنين زائد أو ناقص جذر ٣٣ على اثنين. ولحسن الحظ، لدينا مقام مشترك هنا. بالتالي، لدينا الآن قيمتان ممكنتان لـ ﺱ: يمكن أن يساوي سالب ثلاثة على اثنين زائد جذر ٣٣ على اثنين، ويمكن أن يساوي سالب ثلاثة على اثنين ناقص جذر ٣٣ على اثنين. والآن يمكنني تجميع هذين الحدين، لكن لأن هذه الأعداد تحديدًا ليست بسيطة، فعلينا أن نتركها بهذه الصورة التي هي عليها. وقد يطلب السؤال أن أكتب الإجابة بالتقريب لأقرب منزلة عشرية أو قد يطلب أن أتركها بهذه الصورة كما هي. فلنفترض جدلًا أن السؤال يطلب أن أترك الإجابة بنفس الصورة التي هي عليها في هذا المثال. أحيانًا تكون الإجابات بسيطة جدًا وأحيانًا تكون الأعداد أكثر تعقيدًا بعض الشيء، لكن تظل الطريقة هي نفسها.

لنلق نظرة على سؤال آخر.

في هذه الحالة، لدينا سالب واحد ﺱ تربيع، ونحن لا نعرف كيف يمكننا إكمال المربع عندما يكون معامل ﺱ تربيع لا يساوي واحدًا. لذا، ما سأفعله هنا هو أنني سأقوم بتعديل السؤال قليلًا. سأضرب جميع حدود طرفي المعادلة في سالب واحد، لأحصل على موجب ﺱ تربيع التي يمكنني التعامل معها. بضرب كل من هذه الحدود في سالب واحد، أحصل على سالب خمسة ناقص اثنين ﺱ زائد ﺱ تربيع يساوي صفرًا. في الواقع، سأقوم بإعادة ترتيب الطرف الأيمن قليلًا. وسأكتب الحدود بالترتيب التنازلي من القوة الأكبر لـ ﺱ إلى القوة الأصغر، والآن أصبح لدينا سؤال مثل الأسئلة التي رأيناها من قبل. وسريعًا نضيف خمسة إلى كلا الطرفين. ثم نكمل المربع في الطرف الأيمن، ما يعطينا ﺱ ناقص واحد لأن نصف الاثنين يساوي واحدًا، الكل تربيع. بطرح سالب واحد، الكل تربيع، نحصل على ﺱ ناقص واحد، الكل تربيع، ناقص واحد يساوي خمسة. والآن نضيف واحدًا لكلا الطرفين، لنحصل على ﺱ ناقص واحد، الكل تربيع، يساوي ستة. نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين. ومرة أخرى، علينا أن نحصل على موجب أو سالب الجذر التربيعي لستة. ومرة أخرى، يتضح أن جذر ستة ليس عددًا بسيطًا وسهلًا، ونضيف واحدًا لكلا الطرفين. وهذا يعطينا قيمتين ممكنتين لـ ﺱ: واحد زائد جذر ستة أو واحد ناقص جذر ستة. وبالطبع يمكننا تقريب هاتين القيمتين لأقرب منزلة عشرية، إذا كان هذا هو ما يطلبه السؤال.

وأخيرًا لدينا مثال آخر سريع ومختلف قليلًا.

لدينا هذه المرة اثنان ﺱ تربيع. وكل ما علينا فعله هنا هو قسمة جميع حدود المعادلة على اثنين. ولأن لدينا معادلة، يمكننا إجراء العمليات نفسها في كلا الطرفين للحفاظ على المعادلة كما هي. فإذا قسمت المعادلة بالكامل على اثنين، فسأحصل على معادلة مكافئة تمامًا. ويمكنك أن ترى هنا أن لدينا ﺱ تربيع واحدة، لذا يمكنني استخدام الطريقة كما فعلت من قبل. وباقي الطريقة هي نفسها وسأحصل على الإجابة ﺱ يساوي ثلاثة أو ﺱ يساوي سالب سبعة.

دعونا إذن نلخص الدرس. طريقة إكمال المربع أصعب قليلًا من التحليل أو استخدام المعادلة التربيعية، لكنها تعطيك معلومات أكثر عن المنحنى. وأحيانًا عليك القيام ببعض التعديلات في البداية. أفضل القيام بهذه الخطوة هنا، حيث نحصل على مقدار أبسط نطبق عليه طريقة إكمال المربع. وعليك دائمًا أن تتذكر أنك عندما تأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين، ستحصل على إجابتين ممكنتين مختلفتين.