فيديو السؤال: إيجاد الصورة القطبية لأعداد مركبة ممثلة على مخطط أرجاند الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد الصورة المثلثية للعدد المركب ﻉ الممثل على مخطط أرجاند المعطى.

نبدأ بتذكر أن الصورة المثلثية للعدد المركب تكتب على الصورة ﻉ يساوي ﻝ مضروبًا في جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃؛ حيث ﻝ هو مقدار أو طول العدد المركب و𝜃 هي سعته. من المخطط الموضح، يمكننا ملاحظة أن ﻝ، أي مقدار ﻉ، يساوي أربعة. لكن إيجاد قيمة 𝜃 يعد أكثر تعقيدًا. إذ إنها تمثل الزاوية التي يكونها ﻉ مع المحور الحقيقي الموجب. ولعلنا نتذكر أن الزوايا المقيسة في عكس اتجاه عقارب الساعة تكون موجبة، والزوايا المقيسة في اتجاه عقارب الساعة تكون سالبة. وهذا يعني أنه يمكننا إضافة الزوايا من صفر إلى ٣٦٠ درجة على المخطط؛ بحيث تقع ﻉ عند زاوية قياسها ٣٠٠ درجة في الاتجاه الموجب. وبالمثل، إذا فكرنا في الاتجاه السالب، فسنجد أن ﻉ تقع عند زاوية قياسها سالب ٦٠ درجة من المحور الحقيقي الموجب.

لدينا الآن قيمتان محتملتان لـ 𝜃. إلا أن سعة أي عدد مركب يجب أن تكتب بوحدة الراديان؛ بحيث تكون 𝜃 أكبر من سالب ‏𝜋‏‎ وأصغر من أو تساوي ‏𝜋‏‎. وبتذكر أن ‏𝜋‏‎ راديان يساوي ١٨٠ درجة، يمكننا إضافة ‏𝜋‏‎ على اثنين، و‏𝜋‏‎، وسالب ‏𝜋‏‎ على اثنين إلى المخطط. وبالقسمة على ثلاثة، نجد أن ‏𝜋‏‎ على ثلاثة راديان يساوي ٦٠ درجة، ومن ثم فإن 𝜃، أي سعة ﻉ، يساوي سالب ‏𝜋‏‎ على ثلاثة.

إذن، الصورة المثلثية للعدد المركب الممثل على مخطط أرجاند هي ﻉ يساوي أربعة مضروبًا في جتا سالب ‏𝜋‏‎ على ثلاثة زائد ﺕ جا سالب ‏𝜋‏‎ على ثلاثة.