فيديو السؤال: إيجاد الصورة القطبية لأعداد مركبة ممثلة على مخطط أرجاند الرياضيات

أوجد الصورة المثلثية للعدد المركب ‪𝑧‬‏ الممثل على مخطط أرجاند المعطى.

٠٢:٣١

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد الصورة المثلثية للعدد المركب ‪𝑧‬‏ الممثل على مخطط أرجاند المعطى.

حسنًا، في الصورة القياسية، يمكن تمثيل العدد المركب باستخدام الإحداثيين الكارتيزيين ‪𝑎‬‏، ‪𝑏‬‏. في هذه الحالة، ‪𝑧‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏‬‏ مضروبًا في ‪𝑖‬‏؛ حيث ‪𝑎‬‏ يمثل الإحداثي ‪𝑥‬‏، و‪𝑏‬‏ يمثل الإحداثي ‪𝑦‬‏.

وبدلًا من ذلك، يمكن أن يمثل الإحداثي ‪𝑥‬‏ القيم الحقيقية، ويمثل الإحداثي ‪𝑦‬‏ القيم التخيلية. لكننا نلاحظ أن لدينا قيمتي ‪𝑟‬‏ و‪𝜃‬‏ من النظام الإحداثي القطبي. في هذه الحالة، يمكننا استخدام الصيغتين: ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑟 cos 𝜃‬‏، و‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑟 sin 𝜃‬‏، لتحويل الأعداد في المستوى القطبي إلى الصورة المثلثية.

حسنًا، الجزء الأول من هذه العملية سهل إلى حد ما. يمكننا تعريف قيمة ‪𝑟‬‏ بأنها تساوي أربعة، كما هو موضح في السؤال. لكن ما قيمة ‪𝜃‬‏؟ في هذه الحالة، ‪𝜃‬‏ ليست هي الزاوية المعطى قياسها. بل هي الزاوية المحصورة بين المحور ‪𝑥‬‏ و‪𝑜𝑧‬‏. ولمعرفة قياسها نطرح 30 من 90 درجة، وهو ما يساوي 60 درجة.

تذكر أن قياس ‪𝜃‬‏ يجب أن يكون بالراديان وليس بالدرجات. يمكننا إذن تحويل 60 درجة إلى راديان عن طريق الضرب في ‪𝜋‬‏ على 180. ‏60 مضروبًا في ‪𝜋‬‏ على 180 يساوي ‪𝜋‬‏ على ثلاثة راديان. في الواقع، بالنظر إلى دائرة الوحدة، نجد أن القياس الذي أوجدناه سيكون سالب ‪𝜋‬‏ على ثلاثة راديان؛ لأننا تحركنا في اتجاه دوران عقارب الساعة.

والآن، بعد أن حددنا قيمتي ‪𝑟‬‏ و‪𝜃‬‏، يمكننا التعويض بهما في صيغتي التحويل اللتين تناولناهما سابقًا. ‏‪𝑥‬‏ يساوي أربعة ‪cos‬‏ سالب ‪𝜋‬‏ على ثلاثة، و‪𝑦‬‏ يساوي أربعة ‪sin‬‏ سالب ‪𝜋‬‏ على ثلاثة. وأخيرًا، نحن نعلم أن ‪𝑧‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏‬‏ مضروبًا في ‪𝑖‬‏؛ حيث ‪𝑎‬‏ هو الإحداثي ‪𝑥‬‏ و‪𝑏‬‏ هو الإحداثي ‪𝑦‬‏. إذن، ‪𝑧‬‏ يساوي أربعة ‪cos‬‏ سالب ‪𝜋‬‏ على ثلاثة زائد أربعة ‪sin‬‏ سالب ‪𝜋‬‏ على ثلاثة مضروبًا في ‪𝑖‬‏. بأخذ العامل المشترك نصل إلى الحل؛ وهو أن ‪𝑧‬‏ يساوي أربعة في ‪cos‬‏ سالب ‪𝜋‬‏ على ثلاثة زائد ‪𝑖‬‏ مضروبًا في ‪sin‬‏ سالب ‪𝜋‬‏ على ثلاثة.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.